第3讲 绝对值与含绝对值的不等式
一知识要点
1. 实数的绝对值的定义及性质
数轴上
表
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示数
的点与原点的距离，就是数a的绝对值，记为|a|.
根据定义有
思考1：|x-3|的几何意义？ |3x+4| 几何意义?
2. 含有绝对值的不等式的解法
（1）最简单的含有绝对值的不等式解法：
的解为.
无解.
无解.
的解为
的解为
的一切实数.
的解为一切实数.
（2）较简单的含有绝对值的不等式的解法：
（ⅰ）
（ⅱ）
或
.
(ⅲ)
的解法：
先求出使每个绝对值符号内的数学史子等于零的未知数的值（称为零点），将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式去解。这种方法称为零点分段法。
思考2： |x+1|<2的解? |x-1|>2 的解?
|x+5| ≤ 0 的解集？ |x-4| ≥ 0 的解集？
练习1. 求等式的解集.
(1) |3x-5|< -1 的解集？ (2) |x- 4| ≥ -2 的解集？
(3) |2x-1| ≤ 0 的解集？ (4) |x+3| > 0 的解集？
(5) |x2-5x|> 6 的解集？( (6) 3<| 2x+1 | <5 的解集？
（ⅳ）
或
思考3. 解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
练习2. 若不等式|x-a|+3x≤0的解集包含{x|x≤ -1},则实数a的取值范围_________________. [-4, 2]
3. 和差的绝对值与绝对值的和差的关系
（1）
（2）
例1. 解不等式 |x-1|+|x+2|≥ 5
例2. 解不等式 |x+2|-|x-3|<3
练习3：
1. 对任意实数x,使|x+m|+|x-3| ≥ 3成立,则m的取值范围是_____.
2. 对任意实数x,使|x+m|-|x-3| ≤3成立,则m的取值范围是_____.
3. 对任意实数x,使|x-3|-|x+m| ≤3成立,则m的取值范围是_____.
变1. 已知
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数f(x)=a|x+1|-b|2x-4|(a,b∈R).
(1) a=1.b=1/2时,解不等式 f(x) ≤ 0.
(2) b=1 时,函数既有最大值又有最小值,求满足条件的a的取值集合.
例3 解不等式 |2x+1|+|x-3| ≤ 7
例4. 解不等式 |2x+1|-|x-3|<7
变1. 任意实数x,使|x+1| + |2x-3| ≥ a成立, 则a的取值范围是______.
变2. 任意实数x,使 |x+1|- |2x-3| ≤ a成立, 则a的取值范围是______.
变3. 存在实数x,使 |2x-3| -|x+1|≤ a成立, 则a的取值范围是______.
例5. 设实数满足: a<9a3-11a<|a|,则a的取值范围____.
例6. 已知t为常数, f(x)=|x2-2x-t|在区间[0,3]上的最大值为2, 则t=____.
练习3.
1. 设
是满足
的实数，那么（ ）
A.
B.
C.
D.
2.不等式
的解是（ ）
A.
B.
或
C.
D.
或
3.
的解是（ ）
A.
B.
或
C.
或
D.
且
4.解不等式
（1）
； （2）
（3）
5.解不等式
（1）
（2）
6.
6. 解不等式
.
7.解不等式
8.解不等式
9．解关于
的不等式
（m为常数）.
10．若满足不等式
的
值也满足不等式
，求
的取
值范围.
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