导数的背景
一、导入新课
1. 瞬时速度
问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？
析：大家知道，自由落体的运动公式是
（其中g是重力加速度）.
当时间增量
很小时，从3秒到（3＋
）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.
从3秒到（3＋
）秒这段时间内位移的增量：
从而，
.
从上式可以看出，
越小，
越接近29.4米/秒；当
无限趋近于0时，
无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当
趋向于0时，
的极限是29.4.
当
趋向于0时，平均速度
的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.
一般地，设物体的运动规律是s＝s（t），则物体在t到（t＋
）这段时间内的平均速度为
. 如果
无限趋近于0时，
无限趋近于某个常数a，就说当
趋向于0时，
的极限为a，这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.
2. 切线的斜率
问题2：P（1,1）是曲线
上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.
析：设点Q的横坐标为1＋
，则点Q的纵坐标为（1＋
）2，点Q对于点P的纵坐标的增量（即函数的增量）
，
所以，割线PQ的斜率
.
由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，
变得越来越小，
越来越接近2；当点Q无限接近于点P时，即
无限趋近于0时，
无限趋近于2. 这
表
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明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线. 我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线. 由点斜式，这条切线的方程为：
.
一般地，已知函数
的图象是曲线C，P（
），Q（
）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动. 当点Q沿着曲线无限接近点P，即
趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线. 此时，割线PQ的斜率
无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当
趋向于0时，割线PQ的斜率
的极限为k.
3. 边际成本
问题3：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为
，我们来研究当q＝50时，产量变化
对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：
.
产量变化
对成本的影响可用：
来刻划，
越小，
越接近300；当
无限趋近于0时，
无限趋近于300，我们就说当
趋向于0时，
的极限是300.
我们把
的极限300叫做当q＝50时
的边际成本.
一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为
时，产量变化
对成本的影响可用增量比
刻划. 如果
无限趋近于0时，
无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本. 它表明当产量为
时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）.
二、小结
瞬时速度是平均速度
当
趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率
当
趋近于0时的极限；边际成本是平均成本
当
趋近于0时的极限.
导数的概念
一、导入新课：
上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。
二、新授课：
1.设函数
在
处附近有定义，当自变量在
处有增量
时，则函数
相应地有增量
，如果
时，
与
的比
（也叫函数的平均变化率）有极限即
无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数
在
处的导数，记作
，即
注：1.函数应在点
的附近有定义，否则导数不存在。
2.在定义导数的极限式中，
趋近于0可正、可负、但不为0，而
可能为0。
3.
是函数
对自变量
在
范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线
上点（
）及点
）的割线斜率。
4.导数
是函数
在点
的处瞬时变化率，它反映的函数
在点
处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线
上点（
）处的切线的斜率。因此，如果
在点
可导，则曲线
在点（
）处的切线方程为
。
5.导数是一个局部概念，它只与函数
在
及其附近的函数值有关，与
无关。
6.在定义式中，设
，则
，当
趋近于0时，
趋近于
，因此，导数的定义式可写成
。
7.若极限
不存在，则称函数
在点
处不可导。
8.若
在
可导，则曲线
在点（
）有切线存在。反之不然，若曲线
在点（
）有切线，函数
在
不一定可导，并且，若函数
在
不可导，曲线在点（
）也可能有切线。
一般地，
，其中
为常数。
特别地，
。
如果函数
在开区间
内的每点处都有导数，此时对于每一个
，都对应着一个确定的导数
，从而构成了一个新的函数
。称这个函数
为函数
在开区间内的导函数，简称导数，也可记作
，即
＝
＝
函数
在
处的导数
就是函数
在开区间
上导数
在
处的函数值，即
＝
。所以函数
在
处的导数也记作
。
注：1.如果函数
在开区间
内每一点都有导数，则称函数
在开区间
内可导。
2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数
在点
处的导数就是导函数
在点
的函数值。
3.求导函数时，只需将求导数式中的
换成
就可，即
＝
4.由导数的定义可知，求函数
的导数的一般
方法
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是：
（1）.求函数的改变量
。
（2）.求平均变化率
。
（3）.取极限，得导数
＝
。
几种常见的导函数
函数的和 差 积 商的导数
复合函数的导函数
1.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数
与
复合而成的函数一般形式是
，其中u称为中间变量．
2.求函数
的导数的两种方法与思路：
方法一：
；
方法二：将函数
看作是函数
和函数
复合函数，并分别求对应变量的导数如下：
，
两个导数相乘，得
，
从而有
对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求yu′和u′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.
3.复合函数的导数：设函数u=
(x)在点x处有导数u′x=
′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f(
(x))在点x处也有导数，且
或f′x(
(x))=f′(u)
′(x).
证明：（教师参考不需要给学生讲）
设x有增量Δx，则对应的u，y分别有增量Δu，Δy，因为u=φ(x)在点x可导，所以u=
(x)在点x处连续.因此当Δx→0时，Δu→0.
当Δu≠0时，由
. 且
.
∴
即
(当Δu＝0时，也成立)
4.复合函数的求导法则
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数
5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．
浙公网安备 33021202002483