二项式定理与其第一第二等价公式的等价性证明和应用

二项式定理与其第一第二等价公式的等价性证明和应用 题 目:二项式定理与其第一第二等价公式 的等价性证明和应用 学 院: 数学与计算科学学院 专 业: 数学与应用数学 学 号: 2009750125 姓 名: 王金震 指导教师: 曾波 完成日期: 2013-5-20 湘 潭 大 学 毕业 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 任务书 论文题目: 二项式定理与其第一第二等价公式的等价性证明和应用 学号:2009750125 姓名: 王金震 专业: 数学与应用数学 指导教师: 系主任: 一、主要内容及基本要求 首先证明二项式定理和二项式定理的第一第二等价公式的等价性,然后通过举例说 明二项式定理的第一第二等价公式在理论上的重要作用. 二、重点研究的问题 二项式定理的第一第二等价公式的应用. 三、进度安排 序号 各阶段完成的内容 完成时间 1 查阅资料、调研 2013-3-10至3-31 2 开题报告 2013-4-1至4-2 3 读论文和相关资料 2013-4-4至4-11 4 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 、讨论 2013-4-12至4-14 2013-4-15至4-20 5 写出初稿 2013-4-21至5-3 6 修改,写出第二稿 2013-5-6至5-20 7 写出正式稿 2013-5-25 8 答辩 四、应收集的资料及主要参考文献 [1] 唐祐华.二项齐次对称多项式与二项式定理[M].浙江大学出版社,2012.ISBN 978-7-30810113-4. [2] 刘兴祥,马彬. 对称多项式及矩阵的应用[J].延安教育学院学报, 2007,21(4):57-58. [3] 黄如富. 对称多项式在初等代数中的应用[J].孝感师专学报:自然科学版，1990，4:81-84. [4] 冯贝叶. 多项式和无理数[M].哈尔滨工业大学出版社,2008,ISBN 978-7-5603-2385-5. [5] 博尔维恩. 多项式和对称不等式[M].世界图书出版公司,2011, ISBN:9787510037573. [6] 王东明. 多项式代数[M].高等教育出版社, 2011, ISBN:9787040316988. 湘 潭 大 学 毕业论文评阅表 学号 2009750125 姓名 王金震 专业 数学与应用数学 毕业论文题目: 二项式定理与其第一第二等价公式的等价性证明和应用 评价项目 评 价 内 容 1.是否符合培养目标,体现学科、专业特点和教学 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 的基本要求,达到综合选题 训练的目的; 2.难度、份量是否适当; 3.是否与生产、科研、社会等实际相结合。 1.是否有查阅文献、综合归纳资料的能力; 2.是否有综合运用知识的能力; 能力 3.是否具备研究 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 的 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 能力、研究方法和手段的运用能力; 4.是否具备一定的外文与计算机应用能力; 5.工科是否有经济分析能力。 1.立论是否正确,论述是否充分,结构是否严谨合理;实验是否正确,设计、计论文 算、分析处理是否科学;技术用语是否准确,符号是否统一,图表图纸是否完质量 备、整洁、正确,引文是否规范; 2.文字是否通顺,有无观点提炼,综合概括能力如何; 3.有无理论价值或实际应用价值,有无创新之处。 综 合 评 价 评阅人: 年 月 日 湘 潭 大 学 毕业论文鉴定意见 学号: 2009750125 姓名: 王金震 专业: 数学与应用数学 毕业论文 10 页 图 表 0 张 论文题目: 二项式定理与其第一第二等价公式的等价性证明和应用 内容提要: 本文先是简单介绍了二项式定理，然后我们从对称多项式基本定理出发,由二元齐 次对称多项式与二项式定理间的关系入手,从而得到两个重要的等价公式,并且命名为 二项式定理第一和第二等价公式.随后验证了二项式定理与其等价公式的等价性，在此 在此基础上还给出了等价公式的几个简单应用，为一些数学问题的解答提供了新思路. 指导教师评语 该文介绍了二项式定理和它的两个等价公式，并验证了二项式定理与其等价公式的等价性。在此基础上还给出了等价公式的几个简单应用。文章结构安排合理，文字叙述流畅，证明清晰正确。该生具备了较好的查阅文献、综合归纳材料的能力，掌握了一些基本的研究方法与手段，能运用已有的知识和方法分析解决问题，并且论文写作期间态度认真，具备了良好的自学和研究能力。 同意参加答辩。 指导教师: 年 月 日 答辩简要情况及评语 根据答辩情况，答辩小组同意其成绩评定为 答辩小组组长: 年 月 日 答辩委员会意见 经答辩委员会讨论，同意该毕业论文成绩评定为 答辩委员会主任: 年 月 日 目 录 引言-------------------------------------------------------------------1 一.二项式定理及其第一第二等价公式------------------------1 二.二项式定理及其第一第二等价公式等价性的证明-----1 三.第一等价公式的应用------------------------------------------6 四.第二等价公式的应用------------------------------------------7 参考文献------------------------------------------------------------10 二项式定理与其第一第二等价公式的等价性证明和应用 摘要: 本文先是证明了二项式定理与其第一第二等价公式的等价性,然后列举了第一第二等价公 式在理论上的应用. 关键词:二项式定理,第一等价公式,第二等价公式. Binomial theorem and its first and second equivalence formula’s equivalent proof and applications Abstract: This paper first proved the equivalence of the binomial theorem and its first and second equivalence formula, and then listed the first and second equivalence formula in theory. Key words: Binomial theorem, the first equivalence formula ,the second equivalent formula. 引 言 十七世纪英国著名物理学家、数学家牛顿于1676年发现:任意一个二项式的任意次 ,,,,k,,x,k,,1xyxy，,,方幂的展开式的系数全是组合数,即 .这就是著名的牛 ，，,,,,,ky0k,,,,, [1]顿二项式定理,也是二项式定理的最早的形式,但随后的300多年没有大的进展. 由于二项式定理的历史悠久,人们对它的认识也逐渐深刻.近年来,由于实践的需要 与运用方便的促使,人们除了为它建立了若干等价公式外,还将它做了各种形式的推广, 取得了一批理论上的成果. 我们从对称多项式基本定理出发,由二元齐次对称多项式与二项式定理间的关系入 手,从而得到两个重要的等价公式,为一些数学问题的解答提供了新的思路. 一. 二项式定理及其第一第二等价公式 nn,,,nkkn().,，xyxy二项式定理: ? ,,,k0,k,, n，，,,2，，nnk,n，，,,，，n2nnknkk,,.(1)()()xyxyxy，,,，二项式定理第一等价公式: ,? 其中 ,,,,,,,kknk,k0，，,,k,，， n，，,,2n，，nk,,,2knkk,,nkk1.xyxyxy,,，，，，，，，二项式定理第二等价公式: ? ,,,,k00kk,,,, 证明恒等式???为等价公式是本文的重要内容,证明过程将由下文给出. 二.二项式定理及其第一第二等价公式等价性的证明 证明恒等式???等价,我们的思路是先证明??,再证明??,从而得到?,, ?;然后证明??和??,又得到??,根据等价性的传递性知???,,,,,,, 即恒等式???等价. 在进行等价性证明之前需要给出三个引理: nnnr ,,1!，，，，=引理1 若n,r为非负整数,且 , ,当 时则有: ,,rrnr!2! ,，，，， ,? ,? .? 引理1的证明只需带入验证即可. 引理2 设n为正整数,正整数r满足 则有: 1 n ,,, ,,nnnnnn,,,,1112nnrnr1,n!,n ,,,，，，,,,，，，，，,,,,，， n ，， 0,,r, ,，,，,， 1r,, ,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,, ,r2r!()!rn ,,rrr,rrr1rrr1 ，，1 2,, ,, ，，,,,，，，,,,，，， ，，,,,, nnnnnnnrn,,,，2422,,，，,,，，,,，，,,，，rr,1,，,,，,,…110，，，，,,,,,,,,,,,,,,,,rrrrr112211,,,,,，，,,，，,,，，,,，， ,? .? 证明:先用数学归纳法来证明?,易见当n=2,3时可以直接验证?成立. 现在假设直到n=k( )时恒等式成立,证n=k+1时也成立.利用引理1中的?与?以 及 ,当n=k+1时就有 kkkkkkkrk，，,，,，,，，111131231,,，，,,，，,,，，,,，，rr,1 = ,，,,，,…+11，，，，,,,,,,,,,,,,,,,,rrrrr112211,,,,,，，,,，，,,，，,,，， = ,,,,kr,,21kkkkkkk24,,，，,,，，,,，，,,，，，，rr,1,, ,，,,，,…+11，，，，,,,,,,,,,,,,,,,,,,rrrrr11221,,,1,,，，,,，，,,，，，，,,,,,, ,,,,kkk24,,,,，，kkk,,，，，，r,1,,，,，，,…+1，，,,,,,,,,,,,,,,rrr,,,,,11121r,112，，，，，，,,，，，，,,,,,,，， ,, ,,,,kk31,,，，,,kr,,，211kkk,,,111，，,,，，，，rr,,21,,,,，,，,…+11 ，，，，,,,,,,,,,,,,,,rr,,,,1111rr,,111，，，，1,,，，，，,,,,，，,,,, 有归纳假设知,上面右边三个大括号内的表达式都等于0,从而有 kkkkkkkrk，，,，,，,，，111131231,,，，,,，，,,，，,,，，rr,1,，,,，,,…+110，，，，,,,,,,,,,,,,,,,,rrrrr112211,,,,,，，,,，，,,，，,,，，. nnnn,2n,4nn,，22rn k,3这就是说,当正整数n=k+1时式?成立.于是由数学归纳法原理知,对一切正整数,公式? ，，,,，，,,，，,,，，,,成立.公式?的证明方法与公式?类似,限于篇幅此处从略. nnnnk ,,1!，，,,，，n!,,n，，k,=0,,k引理 3 假设n,k为正整数 ,而且 ,,,,,,,,kkknk! ,～knk!2! ,2，，，，，，,,,,，，knknr,,2,,，，r，，,,1.，，则有 ? ,,,,,kkr,,0r,,，，r,1r nrnkrnkr,,,,,,21，，,,,,,kk,,kk,,,1kk,,22,,kk,,,1kk,,44,证明:由恒等式?得到 ,，.,,,,,,krkrkr,,,,1，，,,,, ,,,,，，，，,,,,，，，，,,,, 2 ,kk,,,1kr,，22kr,，,22,,kk1, ，，，，,,,,，，，， r,1r ,，,…+(-1)，,1),0( ,1 ,,,,,,,, ,,,,,,,, ，,，,，，，,， ,,…+1，,，，,1，,, ，，，，,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,, ,,,, ,,,,,,,, r11r,22r,r,11r 0 ，，,,，，,,，，,,，，,, rr,110rr,,1221rr,,23 ，，rr,,1210rr,1 ,,,,，，，，,,,,，，，，,,,, ,,,,,,,,,,，，，，,,,,，，，， ,,,,,, r,1等式两边同时乘以 后,依次令r=0,1,2,…,k,就得到k+1个等式: ，， nnknk,,,1nnknk,,,,,212，，,,,,，，,,,,,,,,;,，,,,,,,,,,,,,,kkk,,,112kkk,1，，,,,,，，,,,, nnknk,,,,,423nknknk,,,,2221，，,,,,，，,,,,kkk,，;……,,,，,111.，，，，，，,,,,,,,,,,,,kkk,,,223001,，，,,,,，，,,,, 将这k+1个等式两边分别相加,就得到: nnnnknknk,,,,,,24221，，，，，，，，,,,,kk,，，,,，,…+11　，，，，,,,,,,,,,,,,kkkk,,,1201，，，，，，，，,,,,. 由于要从n件东西中取出负数件东西来是不可能的,故根据组合数的意义,知上式右边第 knknr,,2,,，，r　,,1，，二项等于0,故得 . ,,,,,kkr,,0r,,，， 下面进行等价性的证明 ,? ? 将公式?中的所有首尾等距离、系数相同的各对应项两两合并后,再适当移项就得到 nnxy， nn,,,,nnnnn,,,,22442()()()()(),，,，,，xyxyxyxyxy,,,,12,,,, ,n,,n,1,,,2()(),xyxyn，为奇数;1n,,,, ,2,,,,,,,,n,,n,2,,,(),xyn为偶数.n,,,2,,, 类似地还有 n,2,,nnnnn,,,,,22244xyxyxyxy，,，,，,,,,()()(),,,1,, n,4,,nnnnn,,,,,44466xyxyxyxy，,，,，,,,,()()(),,,1,, ,,,,,, 3 n，，n，，nnn,,，，，，2，，，，22，，,,1,(),(),,(1)(),,,,,xyxyxyn，，对上述一系列等式,从第一个起依次乘以 ,,,,,,12,,2，，，，，，，， 后,所有等式统统相加,再应用引理2中的恒等式?,立即就得到公式?. ,? ? 由公式?得到 n，，nnnn,2()()()()xyxyxyxy，,，，，,,1，， nn，，，，nn,,4263()()()(),，，，xyxyxyxy,,,,23，，，， ,n,,n,1n,12,,,2(1)()(),,，xyxyn为奇数;1n,,,, ,2,,,,,,，,n,,,nn22,,,(1)(),,xyn为偶数.n,,,2,,, n,2，，nnnn,,,,2224()()()()xyxyxyxy，,，，，,,1，， n,2，，n,62,，()()xyxy,,2，， n,2，，n,83，，,,,,()(),xyxy,,3，， n,4，，nnnn,,,,4446()()()()xyxyxyxy，,，，，,,1，， n,4，，n,82,，()()xyxy,,2，， n,4，，n,103，，,,,,()(),xyxy,,3，， ,,,,,, n,,n，，n，，nn,,,,,,2,,2，，，1对上面 个等式,从第一个起,依次乘以 1,(),(),,()xyxyxy,,,n,,，，,,,,,,2，，12,,,,,,,,2，，,,后统统加起来,再应用引理2中的恒等式?就得到公式?. 所以公式?与公式?等价. 4 ? ? , nnkk,合并中距首尾等距离、系数相同的两个对应项,合并的结果得到 xy,k0, n,,,,,22442nkknnnnnn xyxyxyxyxyxy,，，，，，()，，，，，，，，,,0k nn,,313322,()()()(),xyxyxyxyn，，，为奇数;, ，…+,nn,22222()()(),xyxyxyn，，为偶数(,, 当n为奇数时,把右边的每一项展开得到: nn,2，，，，n22，，，，nn,2，，，，222nknk,,,1nkkkkkk,，xyxyxyxyxy,,，，,，(1)()(1)()，，，，,,,,,,,kk000kkk,,,，，，， 3，，2，，3n,3，，32k,k，k2…+，,，(1)().xyxy，，,,,k0k,，， 将右边每个和号下的项一一写出,合并同类项后,再利用引理给出的恒等式?,就得到 nnnn,,,2，，，，，，nn,2nkk,xyxyxyxy,，,,，，，，，，，,,,,,,,,,010k,0，，，，，，,, ,,,,nnn24，，，，，，n,42，,，， xyxy，，，，,,,,,,,,211，，，，，，,, ,,,,,nnnn246，，，，，，，，n,63 ,,，,，，xyxy…，，，，,,,,,,,,,,3210，，，，，，，，,, n,12nk,,,knkk,2,，1.xyxy=，，，，，，,,,kk,0,, 当n为偶数时,完全同样地可以得到 nn2nk,,,nk,2nkkkk, (1)().xyxyxy,,，，，,,,,kkk,,00,, 综合n为奇数、偶数两种情况,并注意到引理中给出的恒等式?,可以得到恒等式?.?与恒等式?是互为因果关系的两个恒等式.这样,此证明过程也可以作为恒等式?成立的一种证明方法. 并项法在今后处理对称多项式的许多问题的过程中是最用的方法,值得注意,它是建立在公式?成立的基础之上的. ?? , 现在假设恒等式?成立,于是有 5 n，，nn,22，，nk,,,knkk,2nnnkknkk,,,2xyxyxyxyxyxy，,,,,，1，，，，，，，，,,,,,kkkk,,,000,, nn2,，，，，22，，，，nknk,,,2,,,,knkknknkk222,,,,,，,，，,，xyxyxyxyxyxy11，，，，，，，，，，，，，，，，,,,,,,kkkk,,00,,,, n，，2，，nk,,1,,knkk,2，,，1xyxy，，，，，，,,,k,1k,0,, n，，2，，,,,,,nknk1,,,,nkk2,nk，，xyxy.,，，,xy1，，，，，，，，,,,,,,,kk,1k,0,,,,,, 对上式右边求和符号下的大括号应用引理1中的恒等式?,就得到: n，，2，，n，，nkk2,nnk(1).，,,，xyxyxy ，，，，,,,kk0,，， 这就是公式?.因此恒等式?与?等价. 结论:利用等价性的传递性从而公式???,从而恒等式???的等价性得到证,, 明. 三.第一等价公式的应用 [2]例 1 求n倍角的三角余弦和双曲余弦. 证: 由三角余弦函数的定义及其恒等式?,得 n，，,,2，，n2nnnk,，，111k,,,,,,,,,ininiiinin，，,cos1neeeeee,，,，,,，，，，，，，，，，，,,,,,，，k2220k,，， nn，，，，,,,,22，，，，nn，，，，122knk,knk,221nk,,,nk,12cos.,,,12cos,,，，，，，，，，,,,,,,k2k00k,k,，，，， 同样,由双曲余弦函数的定义及其恒等式?有 nn11,,,,,,nn，，chneeee,,，,，，，，，，，,,，，22 nn，，，，,,,,22，，，，nn2nk,，，，，112kknk,,,2,,nk,,,，,,112eech，，，，，，，，,,,,,,kk2200kk,,，，，， n，，,,2，，n，，2knk,21,,nk12.,,,ch，，，，,,,k0k,，， 这两个例子就是从各自的定义出发,利用公式?将n倍角的三角余弦和双曲余弦化成单 角同名函数的各次幂之和. 例 2 费尔马小定理的证明. 6 p设p为质数,为正整数,则 . aap,moda，， 证 费尔马小定理是整数论中关于同余式的三个经典定理之一,它是由法国著名业余数学 家费马于1640年提出的.瑞士著名数学家欧拉与1736年首先给出了它的证明.后来德国 数学家高斯用同余式理论又轻而易举地给出了证明.它的证明方法很多,但用?来证明显 得更加自然、简单. pp，，，，ppp,,242pp由公式?有 abababababab，,，,，，，,…，，，，，，，，，，,,,,12，，，， pp，，ab，当p为质数时,上式右边的 个项中,除了第一个项 之外,其余各项之外,其余，1，，,,2，， ppppabab|，,，，，各项的系数显然都是p的整数倍,所以有 即 ，， p ppababp，,，mod，，，，. 若令 , 并依次将它们带入上式,可以依次得到下面 个等式: a,1b,1aa,,1,2,3,,1,… p112mod;，,p，， pp213mod;，,p，， pp314mod;，,p，， …… ppaap,，,11mod.，，，， ppaap,mod，，所有等式相加,就得到 .根据同余关系的对称性,知 . aap,mod，， 四.第二等价公式的应用 例 1 利用公式?求n倍角的三角正弦和双曲正弦. 由三角正弦函数的定义以及恒等式?,可以得到 nn11,,,,,,ininiineeee,,,,,sin，，，，，，，，ii22 n,1，，2，，nk,,1nk12,,,,1k,,,,iiii,,,,,,eeee1，，，，，，,,,k2ik0,,, n,1，，2，，nk,,1,,knk12,,,,,,sin12cos.，，，，,,,kk0,,, 由双曲正弦函数的定义以及恒等式?,可以得到 nn11,,,,,,nnshneeee,,,,,，，，，，，，，22 7 n,1，，2，，nk,,1nk12,,,,1k,,,,,,,,,,eeee1，，，，，，,,,k2k0,,, n,1，，2，，nk,,1,,knk12,,,,,,s12.hch，，，，,,,kk0,,, 例 2 斐波那契问题的解的化简. 斐波那契问题:假设兔子生产的规律是每对成熟的大兔子每月可以生产出一对幼小兔子,而且每对幼小的兔子出生两个月又开始生产幼小兔子;现在假设在观察期间,大小兔子均不出现死亡等意外现象;同时任何一对兔子生出来的都是一雌一雄.现在问在上述条件下一对成熟的大兔子在一年内可以繁殖多少对兔子? 这是数学分析中的一个问题,容易得到一年内每月兔子的对数所构成的数列为: 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377.为了纪念研究兔子的繁殖规律的创始者斐波那契,人们把数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377…定义为斐波那契数列,它的每一项称为 uuu,,1.一个斐波那契数.设在第n个月兔子的对数为 ,有 然后将它们同递推关系 n01 uuu,，,nnn,,12uuun,，,2,3,4…，， 联系起来考虑,就得到如下的定解问题: ,nnn,,12uu,,　　,101, 15，15,2xx,,,10它的特征方程为: ,容易求得特征方程的两个特征根为 x,,x,,1222 ,,,,，,1515这是一对共轭无理根.于是上式通解为 . uCC,，,,,,n12,,,,22,,,, CC,CC,uu,,1, 其中 为任意常数.利用初始条件 于是得到关于 的线性方程组: 121201 CC，,1,12,,,,,1515，,,CC，,1.　,,,,12,,,,,22,,,,, 115115，,CC,, ,.解这个方程组,就可以确定出122255uuu,，,nnn,,12 ,于是得到方程组的通解为1uu,,01,nn，，11，，,,,,11515，, ,,un0,1,2.,,,…，，,,,,n,,,,225,,,,,,，，这是表示兔子的一个经典公式.但是这个表达式不但结构很复杂,而且极不合理.所以这里我们要用公式?把它转换成整数形式. 11515，,nn，，11uxy,,.令 则 应用公式?得到 ，，xy,,,,n522 8 n，，2，，nk,,,1knkk2,uxyxyxy,,,，1.，，，，，，，，,n,,k5k0,,, n，，2，，nk,,,xyxyxy，,,,,,1,5,1,由于 从而有 　.u,,n,,k0k,,,nk,nk,,,,,由组合数 的组合意义知 是正整数, 因此上式是斐波那契数的一个简洁的,,,,kk,,,, 表达式.它不仅简洁,而且不包含无理数,已是由正整数表示正整数了,从而也更合理表达 nn，，11，，,,,,11515，,,,un0,1,2.,,,…，，式 在实际应用中既有不方便之处,亦兼含,,,,n,,,,225,,,,,,，， u不切实际的成分.例如,对于任意给定的一个正整数n,欲知 的值,直接计算它们右边都nn，，2，，nk,,,u,,是不方便的.但是利用公式?导出新的表达式 之后及更加合理有简化了计n,,kk0,,, 算过程,在理论上有很大的价值. 9 参 考 文 献 [1] 唐祐华.二项齐次对称多项式与二项式定理[M].浙江大学出版社,2012.ISBN 978-7-30810113-4. [2] 刘兴祥,马彬. 对称多项式及矩阵的应用[J].延安教育学院学报, 2007,21(4):57-58. [3] 黄如富. 对称多项式在初等代数中的应用[J].孝感师专学报:自然科学版，1990，4:81-84. [4] 冯贝叶. 多项式和无理数[M].哈尔滨工业大学出版社,2008,ISBN 978-7-5603-2385-5. [5] 博尔维恩. 多项式和对称不等式[M].世界图书出版公司,2011, ISBN:9787510037573. [6] 王东明. 多项式代数[M].高等教育出版社, 2011, ISBN:9787040316988. 10