2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科数学解析

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 数学（理科） 一．选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 是 的共轭复数. 若 ，（ （ 为虚数单位），则 （  ） A.         B.         C.         D. 【答案】D 【解析】 所以选D。 2. 函数 的定义域为（  ） A.         B.     C.       D. 【答案】C 【解析】 所以选C. 3. 已知函数 ， ，若 ，则 （  ） A. 1        B. 2        C. 3        D. -1 【答案】A 【解析】 所以选A。 4.在 中，内角A,B,C所对应的边分别为 ，若 则 的面积（    ） A.3        B.       C.       D. 【答案】C 【解析】 所以选C。 5.一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（    ） 【答案】B 【解析】俯视图为在底面上的投影，易知选：B 6.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，泽宇性别有关联的可能性最大的变量是（    ） A.成绩    B.视力      C.智商    D.阅读量 【答案】D 【解析】根据独立性检验相关分析知，阅读量与性别相关数据较大，选D 7.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（    ） A.7      B.9      C.10      D.11 【答案】B 【解析】 ， ，选B 8.若 则 （    ） A.     B.     C.     D.1 【答案】B 【解析】设 ，则 ， ，所以 . 9.在平面直角坐标系中， 分别是 轴和 轴上的动点，若以 为直径的圆 与直线 相切，则圆 面积的最小值为（    ） A.     B.       C.     D. 【答案】A 【解析】原点O到直线 的距离为 ，则 ，点C到直线 的距离是圆的半径 ，由题意知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过三个顶点，则在直角 中三角形中，圆C过原点O，即 ，圆C的轨迹为抛物线，O为焦点， 为准线，所以 ， ，所以选A。 10.如右图，在长方体 中， =11， =7， =12，一质点从顶点A射向点 ，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将 次到第 次反射点之间的线段记为 ， ，将线段 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（  ） 【答案】C 【解析】A(0,0,0),E(4,3,12), (8,6,0), ( ,7,4), (11, ,9), ， , , …… 二.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 11(1).（不等式选做题）对任意 , 的最小值为（ ） A.               B.               C.               D. 【答案】B 【解析】 11(2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 的极坐标为（ ） A.               B.               C.                         D. 【答案】A 【解析】 所以选A。 3.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 12.10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________. 【答案】 【解析】 13.若曲线 上点 处的切线平行于直线 ，则点 的坐标是________. 【答案】 【解析】 14.已知单位向量 与 的夹角为 ，且 ，向量 与 的夹角为 ，则 =      【答案】 【解析】 15.过点 作斜率为 的直线与椭圆 ： 相交于 ，若 是线段 的中点，则椭圆 的离心率为      【答案】 【解析】 三.简答题 16.已知函数 ，其中 （1）当 时，求 在区间 上的最大值与最小值； (2)若 ，求 的值. 【解析】（1） , ……………………………………………………………3分 ， …………………………………………………………4分 ；……………………………………………………………6分 (2) 又 ， …………………………………………7分 ，…………………………………………8分 …………………………………………10分 ，又 ，所以 ………………12分 17、（本小题满分12分） 已知首项都是1的两个数列 （ ），满足 . (1) 令 ，求数列 的通项公式； (2) 若 ，求数列 的前n项和 . 【解析】（1） 同时除以 ，得到 ……………………………………………………2分 即： ……………………………………………………3分 所以， 是首项为 ，公差为2的等差数列…………………………………4分 所以， ……………………………………………………5分 (2) ， ………………………………………6分 ………………………9分 两式相减得： …………………11分 …………………12分 18、（本小题满分12分） 已知函数 . (1) 当 时，求 的极值； (2) 若 在区间 上单调递增，求b的取值范围. 【解析】1）当 时， 的定义域为 令 ，解得 当 时， ，所以 在 上单调递减； 当 时， ，所以 在 上单调递增； 所以，当 时， 取得极小值 ；当 时， 取得极大值 。 （2） 在 上单调递增 且不恒等于0对x 恒成立……………………7分 ……………………………………8分 ……………………………………10分 ……………………………………11分 ……………………………………12分 19(本小题满分12分) 如图，四棱锥 中， 为矩形，平面 平面 . （1）求证： （2）若 问 为何值时，四棱锥 的体积最大？并求此时平面 与平面 夹角的余弦值. 【解析】 解：（1） 面 面 ,面 面 = , 面 ……………………………………2分 又 面 ……………………………………3分 ……………………………………4分 (2)过P作 ,由（1）有 面ABCD, 作 ,连接PM，作 ……………………………………5分 设AB=x. …7分 当 即 时， ……………………………………9分 如图建立空间直角坐标系， , , , , , , ……………………………………10分 设面 、面 的法向量分别为 ， 设 ，则 ， 同理可得 ……………………………………11分 平面 与平面 夹角的余弦值为 。…………………………………12分 20.（本小题满分13分） 如图，已知双曲线 的右焦点 ,点 分别在 的两条渐近线上， 轴， ∥ ( 为坐标原点）. （1）求双曲线 的方程； （2）过 上一点 的直线 与直线 相交于点 ，与直线 相交于点 ，证明点 在 上移动时， 恒为定值，并求此定值 【答案】（1）   （2） 【解析】(1)A( ),B( ) 且 ，即 ， …………………………… 4分 即 …………………………………………………………………… 6分 （2）A(2， )， ，F（2,0）， M(2， )，N( ， )………………………………………………… 9分 ……………………………………………………………………… 13分 21.（满分14分）随机将 这2n个连续正整数分成A,B两组，每组n个数，A组最小数为 ，最大数为 ；B组最小数为 ，最大数为 ，记 （1）当 时，求 的分布列和数学期望； （2）令C表示事件 与 的取值恰好相等，求事件C发生的概率 ； 对（2）中的事件C, 表示C的对立事件，判断 和 的大小关系，并说明理由。 【解析】（1）随机变量 的取值所有可能是：2，3，4，5 ； 的分布列为： 2 3 4 5           所以， 的数学期望为 2）事件 与 的取值恰好相等的基本事件： 共 时， 3）因为 ，所以要比较 与 的大小，实际上要比较 与 的大小， 由 可知， 当 时， 当 时，