复变函数与积分变换课程教学大纲

《复变函数与积分变换》课程教学大纲 课程编号：112000531 课程名称：复变函数与积分变换 英文名称：Function of a Complex Variable and interal transformation 课程类型：公共基础课 总 学 时：48 学    分：3 适用对象：非数学专业本科生 先修课程：高等数学 一、课程性质、目的和任务 本课程是理工科学生继高等数学后的又一门数学基础课。本课程主要讲授复变函数与积分变换的基本理论和方法。通过本课程的学习，学生不仅能够学到复变函数与积分变换的基本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着特殊重要的作用。 二、教学基本要求 1．理解复变函数中的概念、理论和方法，掌握其与实变函数的共同点和不同点。 2．掌握复变函数导数和积分概念以及其计算方法，理解解析函数的概念和性质。 3．理解留数的概念，掌握和应用留数定理进行积分计算。 4．了解解析函数所构成的映射特性，理解共形映射的概念和应用。 5．掌握傅里叶变换和拉普拉斯变换的概念、性质和应用。 三、教学内容及要求 第1章 复数与复变函数 主要内容： 1．复数的概念、运算及几何表示。 2．复平面上区域、曲线的概念及它们的复数表示。 3．复变函数的概念及其复变函数的极限与连续性。 基本要求： 1．熟悉复数概念及各种几何表示。 2． 掌握复数的四则运算、乘幂方根共轭等运算并能简单应用。 3．了解复平面上区域、曲线的概念，掌握用复数表示它们的方法。 4．了解复变函数与实二元函数的关系及复变函数的极限与连续性，熟悉复变函数极限与连续性的运算法则及性质，熟悉复变函数与实变函数的极限与连续性之间的联系与区别。 重点：复数的运算及各种几何表示法，复变函数的概念。 难点：用复数方法表示平面区域、曲线。 第2章 解析函数 主要内容： 1．复变函数的导数及解析函数的概念。          2．复变函数可导与解析的充要条件，柯西-黎曼方程及解析函数的性质。 3．初等函数。 基本要求： 1．理解复变函数的导数及解析函数的概念，掌握复变函数连续、可导、解析之间的关系及求导法则。 2．熟练掌握复变函数可导与解析的判别法，掌握并灵活运用柯西-黎曼方程，能利用柯西-黎曼方程判定复变函数的解析性及证明解析函数的一些基本性质。 3．熟悉基本初等函数的定义，了解它们的性质，尤其是指数函数的定义、性质及与其它基本初等函数的关系。 4．掌握由初等函数构成的方程求根的方法，会判定初等函数的奇点及解析性区域。 重点：解析函数的概念及函数解析性的判别。 难点：解析函数的概念及初等函数中多值函数及其单值解析分支的概念。 第3章 复变函数的积分 主要内容： 1．复积分的概念、性质与计算方法。          2．柯西-古萨基本定理及推广。 3．柯西积分公式及推论。 4．解析函数与调和函数的关系。 基本要求： 1．熟悉复积分的概念及基本性质，理解复积分的曲线积分法，掌握并熟练运用复积分计算的参数方程法和积分估值公式。 2．理解柯西-古萨基本定理及推广复合闭路定理，了解复变函数的原函数存在定理及牛顿-莱布尼兹公式。 3．熟练掌握柯西积分公式及高阶导数公式，了解解析函数的平均值定理、无穷可微性等性质，掌握并能灵活运用柯西积分理论计算沿闭曲线的复积分。 4．理解调和函数概念，掌握解析函数与调和函数的关系及由已知调和函数求以其为实部或虚部的解析函数的方法。 重点：柯西-古萨基本定理及推广，柯西积分公式及高阶导数公式。 难点：复合闭路定理与复积分的计算。 第4章 级数 主要内容： 1．复数项级数。  2．幂级数。 3．泰勒级数。 4．洛朗级数。 基本要求： 1．了解复数列极限、复级数收敛、发散概念，与高等数学中相应内容的关系。 2．熟悉幂级数概念，理解Abel定理，掌握幂级数收敛半径求法、幂级数的运算及性质。 3．理解泰勒展开定理，熟练掌握 等函数的泰勒展式，掌握函数展开成幂级数(泰勒级数)的直接展开法和间接展开法，能比较熟练地将一些解析函数在指定点展开成幂级数(泰勒级数)，并会确定收敛半径。 4．熟悉双边幂级数概念和性质，理解洛朗展开定理，掌握函数展开成洛朗级数的间接展开法，能比较熟练地将一些解析函数在不同圆环内展开成洛朗级数。 重点：函数展开成泰勒级数、洛朗级数。 难点：函数展开成洛朗级数。 第5章 留数 主要内容： 1．孤立奇点的定义及分类。 2．留数的定义及计算。 3．留数定理及应用。 基本要求： 1．了解孤立奇点的定义、分类及特征，熟悉零点与极点的关系。 2．理解留数概念，掌握计算留数的一般方法，熟练掌握极点处留数的求法。 3．掌握利用留数定理计算闭路复积分的方法，了解应用留数定理计算定积分的围道积分法，能熟练利用留数计算下面三种类型的定积分： 。 重点：留数的计算、留数定理及应用。 难点：留数在定积分计算上的应用。 第6章 Fourier 变换 主要内容： 1．Fourier积分与Fourier积分定理。 2．Fourier变换与Fourier逆变换。 3．单位脉冲函数及广义Fourier变换。 4．Fourier变换的性质及卷积。 基本要求： 1．了解周期函数的Fourier级数形式，熟悉Fourier积分定理，了解Fourier积分公式的三角形式，Fourier正弦、余弦积分公式。 2．理解Fourier变换及其逆变换的概念，理解单位脉冲函数的概念及性质，掌握一些常用函数的Fourier变换及其逆变换的求法。 3．了解 Fourier变换的性质及卷积定理，能利用Fourier变换的性质求函数的Fourier变换及其逆变换，并能应用Fourier变换解某些积分方程。 重点：求函数的Fourier变换及Fourier变换的简单应用。 难点：求函数的Fourier变换。 第七章 Laplace变换 主要内容： 1．Laplace变换的概念。 2．Laplace变换的性质及卷积 3．Laplace逆变换。 4．Laplace变换的应用 基本要求： 1．了解Laplace变换的概念及与Fourier变换的联系与区别，理解Laplace变换及其逆变换的概念，熟悉Laplace变换存在定理，掌握一些基本函数的Laplace变换。 2．掌握Laplace变换的性质及卷积定理，熟练运用Laplace变换的性质求函数的Laplace变换及逆变换。 3．了解反演积分公式，熟练掌握用留数求Laplace逆变换的方法。 4．熟练掌握应用Laplace变换解常系数线性微分方程的方法，掌握某些积分方程的Laplace变换解法。 重点：求函数的Laplace变换及逆变换，Laplace变换的简单应用。 难点：求函数的Laplace变换及逆变换。 四、课外习题及课程讨论 为了使学生较好掌握并能灵活运用所学内容，提高学生的基本素质及分析问题解决问题的能力，每章都配置适当的习题，以巩固和加深对基本理论、方法的理解和应用。每次课后结合所授内容布置相关的课外习题。 自学要求：在理解和掌握教材内容的基础上，可以再适当读一些教学参考书，增加对复变函数与积分变换的基本理论及方法的理解，拓宽知识面。 五、教学方法与手段 教师在教过程中应着重比较复变函数与实变函数之间的共同点与不同点。抓住本质，领会概念，培养利用数学方法解决实际问题的能力。 每次课后应布置书面作业，作业量以覆盖主要课堂内容为宜，每周收发讲评一次，精细批改不少于1/3。 六、各教学环节学时分配 章 节 学 时 分 配 讲课 习题课 实验课 上机课 讨论课 其他 合计 第1章 4             第2章 4 2           第3章 6 2           第4章 6 2           第5章 8 2           第6章 4             第7章 8             合 计 40 8                           七、考核方式 本课程为考试课。期末命题考试成绩占70%左右，平时成绩占30%左右。总评成绩及格，方可获得本门课程的学分。 八、推荐教材和教学参考书 教材：《复变函数与积分变换》(第二版)，苏变萍，高等教育出版社，2010年。 参考书： 1．《复变函数》(第四版)，西安交通大学高等数学教研室编，高等教育出版社，2005年。 2．《积分变换》(第四版)，东南大学数学系张元林编，高等教育出版社，2003年。 3．《复变函数论》(第三版)，钟玉泉编，高等教育出版社，2004年。 4．《复变函数与积分变换》(第一版)，哈尔滨工业大学数学系组编，科学出版社，2001年。 大纲制定人：孙华娟 大纲审定人：王宪杰 制定日期：  2010.12