立体几何专题练习题

立体几何专题练习题 东里中学备课组 1、在正四面体P,ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是( C ) (A)BC//平面PDF (B)DF?平面PAE (C)平面PDF?平面ABC (D)平面PAE?平面ABC l2、已知是异面直线，给出下列四个命题:? 必存在平面，过且与平行;? 必,ml,m ,l,存在平面，过且与垂直;? 必存在平面，与都垂直;? 必存在平面，,ml,m 与的距离相等.其中正确的结论是( )C ml, DA1 1 A(?? B(?? C(?? D(??B 1 C1 Q 3、如图1，在棱长为的正方体中， P、Q是对 aABCDABCD,1111 aP A PQ,角线上的点，若，则三棱锥的体积为 ( )A ACPBDQ,1D 2 C 333B 333图1 A( B( C( D(不确定 Faaa361824 O4、长方体的长、宽、高分别为，若该长方体的各顶点都在球的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面上，则2,2,3cmcmcmB1CO球的表面积为( C ) 1 222217,cm A. B. C. D. 7,cm14,cm56,cmA1 ABCABC,ABAC,5、如图，正三棱柱的各棱长都2，E，F分别是的中点，则EF11111BC的长是 ( C ) G357(A)2 (B) (C) (D) E A5解析:如图所示，取AC的中点G，连EG，FG，则易得EG,2，EG,1，故EF,，选C 6、设EF是两条异面线段AB、CD的公垂线，当线段AB绕着直线EF在空间旋转并与EF保持垂直时，下列三个命题正确的个数是:( B ) ?直线AB与直线CD所成角的大小不变. ?直线AB与直线CD的距离不变. ?以A、B、C、D为顶点的四面体的体积不变. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7、一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等(设四棱锥、三棱锥、 hhh::,hh三棱柱的高分别为，，，则(B ) h1212 3:1:13:2:23:2:23:2:3,( ,( ,( ,( 1 8、右图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( A ) 3，,7,33 A( B( aa312 3，16,7,33C( D( aa123 9、矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一 个直二面角B,AC,D， 则四面体ABCD的外接球的体积为( )D 125125125125A( B( C( D( ,,,,12936 10、正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成60?角，过底面一边作截面，使其与底面成 30?角，则截面在底面的射影面积为( )。D 3332222 A. 3a B. 2a C. a D. a164 11、已知平面和直线，给出条件:?;?;?;?;?.m,,,,,,,,,//,m//,m,, (i)当满足条件 时，有;(ii)当满足条件 时，有。(填所m//,m,,选条件的序号) 答案:??;?? m,,,,[解析]:由线面平行关系知:?,可得?,; 由线面垂直关系得:m,,,, ?m ,,可得m,, 12、已知三棱锥S—ABC的三视图如图所示: S S 在原三棱锥中给出下列命题: ??平面; BCSAC C A B C A(B) ?平面SBC?平面SAB; 左视图 主视图 S(A) B ?SB?AC( 其中所有正确命题的代号是 ? ( C 俯视图 13、由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是 (5 2 主视图 左视图 俯视图 14、在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 (写出所有正确结论的编号) ?矩形; ?不是矩形的平行四边形; ?有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体; ?每个面都是等腰三角形的四面体; ?每个面都是直角三角形的四面体( 显然?可能，?不可能，???如右图知都有可能。 文科解答题: ABCD,ABCD1、如图，在长方体中，1111D E 1 C1F EFCDAA,AD,a，，、分别为、AB,2a111 BA 11 AD的中点( 11D C DE,(?)求证:平面;BCE A B BDE(?)求证:平面 AF//ED 1 C1F CDDC(?)证明:侧面，？BC,11BA 11 D CDE,CDDC侧面，， ？DE,BC11 O A B 在中，，CD,2a,CE,DE,2a,CDE 3 222则有， CD,CE，DE ？DE,，， 又平面BC:EC,C？，DEC,90:？DE,EC BDE( EFBD(?)证明:连、AC，连交于， ACO11 11？EF//AC，，四边形是平行四边形， AO//AC？AOEF？AF//OE111122 BDEBDEBDE又平面，平面， 平面( ？OE,AF,？AF// F2、如图，矩形中，，，为上的点，且AD,平面ABEABCDAE,EB,BC,2CE D C 。 BF,平面ACE G (?)求证:;(?)求证;; AE,平面BCEAE//平面BFD (?)求三棱锥的体积。 C,BGF (?)证明:， ？AD,平面ABEF AD//BCA B ?，则 BC,平面ABEAE,BC E AE,BF又？，则 ? BF,平面ACEAE,平面BCE D C (?)证明:依题意可知:是中点 GAC ？ 则，而 BF,平面ACECE,BFBC,BEG F ?是中点 EC 在中， ,AECFG//AE F ? AE//平面BFDA B (?)解:？ AE//平面BFD E ?，而AE,平面BCE ?FG,平面BCE ?FG,平面BCFAE//FG 1F ？是中点 ?是中点 ?且FG,AE,1GACCEFG//AE2 1 ？BF,平面ACE ? ?中，BF,CF,CE,2BF,CERt,BCE2 111,,,,, ? ? S,,2,2,1VVSFG,CFBC,BFGG,BCF,CFB332 4 S3、在三棱锥 中，,.，,，,，,SABSACACB90ACBCSB,,,1,3,22SABC, (1)求三棱锥的体积;(2)证明:; SABC,BCSC, (3)求二面角C-SA-B的大小;(4)求异面直线SB和AC所成角的余弦值。CB A(1)解:? ，,，,，,SABSACACB90 ?且, ?平面 SAABSAAC,,,,ABACA,SA,ABC 22在中， , ABBCAC,，,2RtACB, 22中， SASBAB,,,,,842RtSAB,S 113SACBC,,,，，,13?, ,ABC222 1133VSSA,,,，，,2? (2)证法1:由(1)知SA=2, 在中，RtSAC,CBSABCABC,,3323 22---6分 SCSAAC,，,，,415A 222?,? BCSCSB，,，,,358BCSC, 〔证法2:由(1)知平面，?面，?SA,ABCBC,ABCBCSA, ?,,?面又?面，?〕ACASA,BCAC,BC,SACSC,SACBCSC, (3) ?SAABSAAC,,,, ?为二面角C-SA-B的平面角 ，BAC 在中，? ?, ，,BAC60ACBC,,1,3,RtBCA, ?即所求二面角C-SA-B为 60 (4) 解法1:分别取AB、SA、 BC的中点D、E、F， DEBSDFAC//,//连结ED、DF、EF、AF，则, ，EDF?(或其邻补角)就是异面直线SB和AC所成的角 5 S111? DESBDFAC,,,,2,,222 13FCBC,,,在中， RtACF,E22 CBF3722AFACFC,，,，,1?, D42 A 71122EFEAAF,，,，,1在中， RtEAF,42 1112，,2222DEDFEF，,44,,在?DEF中，由余弦定理得cos，,,EDF142DEDF,22，，2 2?异面直线SB和AC所成的角的余弦值为 4 ABCDEFGH4、如图是以正方形为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形为 ABADa,,BFDHb,,截面，且，。 FABH,EFGH(?)证明:截面四边形是菱形;(?)求三棱锥的体积。 ABEFABFECDHGEFGH解:(?)证明:因为平面?平面，且平面分别交平面、 GH EFEFCDHGGHGH平面于直线、，所以?( EHFG同理，?( FEEFGH因此，四边形为平行四边形( ……(1) D CABDAC,ACEGABCD因为，而为在底面上的射影，所以 BEGBD,( BFDH,FHBDFHEG,因为，所以?(因此，( ……(2) EFGH由(1)、(2)可知:四边形是菱形; DA,ABFEHDAEHABFDAa,(?)因为平面，?，所以到平面的距离为(于 11112VVSDAabaab,,,,,，，,是，由等体积法得所求体积:(FABHHABFABF,,,3326 6 2)的正方体5、如图(1)是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，请在图(中将MN和PB画出来，并就这个正方体解决下面问题。 NQ(?)求证:MN?平面PBD; PMPBD(?)求证:平面; AQ, (?)求PB和平面NMB所成的角的大小。 解:MN和PB的位置如右图示:(正确标出给1分) DC(?)?ND?MB 且ND,MB AB ?四边形NDBM为平行四边形 ?MN?DB DB,?平面PDB,平面PDB NM, ?MN?平面PBD BD,(?)?平面ABCD，平面，? QC,BDQC,ABCD BD, 又? ?平面, AQCBDAC, 面 ?,同理可得,?AQ,AQCAQBD,AQPB,BDPBB, ?面PDB AQ, NQ(?)连结PQ交MN于点E, EPMPEMB,?, PEMN,,MBMNM, PE,?平面 NMB ，PBE连结BE,则为PB和平面NMB所成的角 DC1A，PBE在直角三角形PEB中 ? ?=30? PEPB,B2 即PB和平面NMB所成的角为30?. 6、如图，四棱锥P,ABCD的底面是正方形，PA?底面ABCD，PA,2，?PDA=45?，点E、F P分别为棱AB、PD的中点( P (1)求证:AF?平面PCE; F F(2)求证:平面PCE?平面PCD; G (3)求三棱锥C,BEP的体积( DAE证明: (1)取PC的中点G，连结FG、EG DAECB1?FG为?CDP的中位线 ?FG//CD CB2 ?四边形ABCD为矩形，E为AB的中点 7 1//?ABCD ?FGAE //2 ?四边形AEGF是平行四边形 ?AF?EG 又EG平面PCE，AF平面PCE ,, ?AF?平面PCE (2)? PA?底面ABCD ?PA?AD，PA?CD，又AD?CD，PAAD=A ?CD?平面ADP : 又AF平面ADP ?CD?AF , 直角三角形PAD中，?PDA=45? ??PAD为等腰直角三角形 ?PA,AD=2 ?F是PD的中点 ?AF?PD，又CDPD=D ?AF?平面PCD : ?AF?EG ?EG?平面PCD 又EG平面PCE , 平面PCE?平面PCD (3)解法一:CB是三棱锥C,BEP的高， 11 SBEPA,,,,,,,121,BEP22 112V= SCB,,,,,12C,BEP,BEP333 解法二:三棱锥C,BEP即为三棱锥P,BCE PA是三棱锥P,BCE的高， Rt?BCE中，BE=1，BC=2， 111112?三棱锥C,BEP的体积:V=V= SPABEBCPA,,,,,,,,,,,,122C,BEPP,BCE,BCE332323 理科解答题: 1、在如图所示的四面体中，两两互相垂直，且.ABCDAB、BC、CDBC,CD,1 ,(?)求证:平面平面; ACDABC (?)求二面角的大小; C,AB,D BDAB(?)若直线与平面所成的角为，求线段的长度. ACD30: 解法一:(?)证明: ，平面.CDABCDBC,,,？CD,ABC ,又？平面，平面平面.CD,ACDACDABC 8 ？AB,？AB,BD(?)，平面. ？AB,BC,AB,CDBCD 是二面角的平面角.…………6分，CBDC,AB,DA 在中,，.Rt,BCDBCCD,？，CBD,45: H 二面角的大小为. C,AB,D45: HDH(?)过点B作，垂足为,连结.BH,ACCB ,？BH,平面平面，平面，ACDABCACD D ，BDHBD为与平面所成的角.ACD 2BH,.在中,BD,2，.又在？，BDH,30:RtBHD,RtBHC,2中,，， BC,1？，BCH,45: AB,1在中,. ？Rt,ABC 解法二:(?)同解法一. (?)设,建立如图所示的空间直角坐标系 AB,a 则，，,， ,B(0,0,0)A(0,0,a),C(0,1,0)D(1,1,0)BD,(1,1,0)BA,(0,0,a) 平面的法向量.CD,(1,0,0)ABC ABD,(,,)xyz设平面的一个法向量为n ， BD,BA, n ,，,xy0， n ，z=0,,,az0 ,,(1,1,0)取，则， n .？y,1x,,1 CD, n2 n ， ,,,,？,cos ,CD2CD,|n| 二面角的大小为 C,AB,D45: (?)，，. AC,(0,1,,a)CD,(1,0,0)BD,(1,1,0) ,(',',')xyz,,,yaz''0AC,CD,设平面的一个法向量是m ，则m ，m ACD,,x'0 'BDzya'1,,,,(0,,1)a？令，则m，直线与平面所成角为，ACD30: 9 BDma,m，?=1.,,,,:cos60？,cos,BDAB,a2BDm.||a，,12 ABCABC,AAB,AAC,2、如图，三棱柱中，平面平面ABC ，平面平面ABC ，11111 ABACAA,,,2,3 ， ，,BAC901A1AA,(1)求证:平面ABC ; 1 BCAB(2)求异面直线与所成的角的余弦值;11 B1C1ABCB(3)求点到平面的距离. 11 A C B AAB,AAB,(1)证明: 平面平面ABC ，平面平面ABC=AB CAAB,11 AAB平面 ？,CA1 zAACA, ？1 A1AABA, 同理 1 AA,平面ABC又 CABAA,,1B1C1ABACAA,,(2)解:由(1)知两两互相垂直， 1 ABACAA,,xyz轴，轴，轴，因此可以A为坐标原点，线段所在直线为1建立空间直角坐标系 . 则 7分 Axyz,A ABBCACAB,,,,,2,0,3,2,2,3 ，，，，111xBC8 y ABBC,,，，409511 ？,,,cos,ABBC11449409221，，，，，ABBC11 5221BCAB？异面直线与所成角的余弦值是 11221 ABC(3)设平面的法向量为nxyz,,, ，则 ，，1 ,ACnyz,,，,230,1z,2ACAB,,0,2,3,2,0,0 令y,,3 ，则？，，，，,1ABnx,,,20,, ？,,n0,3,2 12分 ，， ABn,66131 ？,,1313n 613ABCB？点到平面的距离是 1113 3、如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作 BC,,ABCBC边的平行线，分别交AB，AC于(将1111 10 BC,ABCBBCCA沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M(求11111111 ABCM,,(?)二面角的大小; 111 ABCC(?)异面直线与所成角的余弦值大小 111 AG解:(?)连接AM， 1 ?,是正三角形ABC的中心(且,为,C的中点， ?,，,，,三点共线，AM?BC( BC ??BC， 11 BCBCGABC ??AM于,，即GM?，?，1111111 ABCM,,，AGM ?是二面角的平面角(1111 BBCCA ?点在平面上的射影为,，111 AMMG,，,:AMG90 ?，( 11 ,AMGAGAGGM,,2，,:AGM60ABCM,,在Rt中，由得，即二面角的大111111 小是( 60: ，ABPABBCCCC(?)过作的平行线交BC于,，则等于异面直线与所成的角(1111111 1PBCCBPCCBP,,,1ABAB,,2是平行四边形得，PM=BM,BP,，(由11111112 BBCCAM??面于,， 111 ，,:AMP90AM??BC，( 11 33RtAGM,AMAG,,:,,,sin603在中， 11122 31522222RtAMP,在中， APAMPM,，,，,()()111222 11 52221，,222ABBPAP，,511112,ABP在中，由余弦定理得cos，,,,ABP111122218,,，，ABBP111 5ABCC?异面直线与所成角的余弦值大小 1118 BDABCDABCD,,ABAA,,2,1,4、如图，已知长方体直线与平面11111A1D1 AEBDEFAABBAB所成的角为，垂直于，为的中点.30:1111F ADB1AEBF(I)求异面直线与所成的余弦值;C1 E BDFAAB(II)求平面与平面所成的二面角余弦值;1BC ABDF(III)求点到平面的距离. ABADABCDABCD,解法一:在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直x1111 yAA线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系 z1 ABAA,,2,1,由已知可得AB(0,0,0),(2,0,0)，F(1,0,1) 1 AD,BDAABBAABB又平面，从而与平面所成的角为，又，,:DBA301111 ,,,,231323AB,2AEBD,AEAD,,1,ED,,0,0,,0，，从而易得,,,,,,,,3223,,,, ,,13AEBF,,,,,0,1,0,1(I)因为所以，，,,,,22,, 1,AEBF,22cos,AEBF,= ,,，，42AEBF 2易知异面直线所成的角的余弦值为 AEBF、4 BDFAAB(II)易知平面的一个法向量设是平面的一个法m,(0,1,0)nxyz,(,,)1 12 ,，,xz0,,,xz,,nBFnBF,,,023,,,,BD,,(2,,0),向量，由,,,,,,2333xy,20xy,,,nBDnBD,,,0,,,,,,3, n,1,3,1即 ，， mn,15? cos,mn,,5mn 15BDFAAB即平面与平面所成的二面角的余弦值为 15 ABDFBDF(III)点到平面的距离，即AB在平面的法向量上的投影的绝对值，n ABn,2525ABDF=所以点到平面的距离为?距离dABABn,,cos,,55n 解法二:(I)连结BD，过F作BD的垂线，垂足为K 1111 ?BB与两底面ABCD，ABCD都垂直 11111 FKBB,,1,FKBDFKBDDB,,,平面?,1111 ,BDBBB,1111, S AEBB,,1,AEBDAEBDDB,,,平面又A,111D1,BBBDB,1, F H A因此FK?AE DB1C1??BFK为异面直线BF与AE所成的角 E连结BK，由FK?面BDDB得FK?BK11BC 从而?BKF为Rt? FKAD11,在Rt?BKF和Rt?BD中，由得 a1111BFBD111 13 2131，ADAB,ADBF,111132 FK,,,,BDBD2222112(3)，3又BF= 2 FK2,??BFK= cosGF4 2?异面直线所成的角余弦值为 AEBF、4(II)由于DA?面AAB，由A作BF的垂线AG，垂足为G，连结DG，由三垂线定理知BG1 ?DG ??AGD即为平面BDF与平面AAB所成二面角的平面角。且?DAG=90?1 在平面AAB中，延长BF与AA交于点S 11 1//?F为AB的中点，AF AB111,2 ?A、F分别为SA、SB的中点，即SA=2AA=2=AB 11?Rt?BAS为等腰三角形，垂足G点实为斜边SB的中点F，即G、F重合。 1易得AG=AF=SB=2 2 23在Rt?BAS中，AD= 3 23AD63 tan，,,,AGDAG32 15即平面BDF与平面AAB所成二面角余弦值。 15(III)由(II)知平面AFD是平面BDF与平面AAB所成二面角的平面角所成的平面。1 ?面AFD?平面BDF 在Rt?ADF中，由A作AH?DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离 由AH?DF=AD?,得 14 232，ADAF,253AH= AH,,,DF5222(3)(2)，3 25ABDF所以点到平面的距离为 5 15、在直角梯形ABCD中，，D=，BAD=90:,AD=DC=AB=a,(如图一)将?ADC 沿AC折起， 2 ,,,DDD使D到(记面AC为,,面ABC为,(面BC为,( (1)若二面角,,AC,,为直二面角(如图二)，求二面角,,BC,,的大小; ,D(2)若二面角,AC,为60:(如图三)，求三棱锥,ABC的体积(,, ,解:(1)在直角梯形ABCD中， 由已知DAC为等腰直角三角形， , ? , 过C作CH?AB，由AB=2a， AC,2a,，CAB,45 ,DE 可推得 AC=BC=2a. ? AC?BC (取 AC的中点E，连结， ,则 ?AC 又 ? 二面角为直二面角， DEa,AC,, ,,DEDE? ? 又 ? 平面 ? BC? ? BC?a，而，,,,BC,DC,a ? BC? ? 为二面角的平面角( ,,，DCADC,,BC,, ,,,由于， ?二面角为( ，DCA,4545,,BC,, ,,DED(2)取AC的中点E，连结，再过作，垂足为O，连结OE(,DO,, ,,? AC?， ? AC? ? 为二面角的平面角，DE，DEOa,AC,,OE ,12 ? ( 在中，， ,,60,，DEORt,DOE,DE,AC,a22 1166311 ? ,V,S,DO,，2a，2a，a,a.,,，AC,BC,DO,D,ABC,ABC1264332 ll6、如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它12 ll们的公垂线段。点A、B在上，C在上，12 。 AMMBMN,, AB(?)证明?; NB O(?)若，求与平面ABC所，,ACB60NB 成角的余弦值。 解法一: (?)由已知l?MN, l?l , MN?l =M, 可得l22112 15 ?平面ABN.由已知MN?l , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN?NB. 又AN为AC在平面1 ABN内的射影. ?AC?NB l2(?)?Rt?CAN?Rt?CNB, ?AC=BC,又已知?ACB=60?, 因此?ABC为正三角形. C ANB?Rt?CNB, ?NC=NA=NB,因此N在平面ABC内?Rt?H l 1的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,?NBH为NB与平A N 面ABC所成的角. M B 3AB3HB6在Rt?NHB中,cos?NBH= = = .NB32AB2 l 2 z ,建立空间直角坐标系M,xyz.令MN=1, 则解法二: 如图 C 有A(,1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0), H l (?)?MN是 l、l的公垂线, l?l, ?l?平面ABN. l1121222 y A ??N 平行于z轴. 故可设C(0,1,m).于是 AC=(1,1,m), NB=(1,M B ??x ,1,0). ?AC?NB=1+(,1)+0=0 ?AC?NB. ????(?)?AC =(1,1,m), BC=(,1,1,m), ?|AC|=|BC|, 又已知?ACB=60?,??ABC为正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt?CNB中,NB=2, 可得NC=2,故C(0,1, 2). ?连结MC,作NH?MC于H,设H(0,λ, 2λ) (λ>0). ?HN=(0,1,λ,,2λ), 1???MC=(0,1, 2). HN?MC = 1,λ,2λ=0, ?λ= , 3 122212???H(0, , ), 可得HN=(0,, , ), 连结BH,则BH=(,1,, ), 333333 22?????HN?BH=0+ , =0, ?HN?BH, 又MC?BH=H,?HN?平面ABC,99 ??NBH为NB与平面ABC所成的角.又BN=(,1,1,0), 16 4??3BH?BN6?cos?NBH= = = 23??|BH|?|BN|×23 ABCDABCD,ADAAAB,,,1,211111AB7、如图，在长方体中，，点E在棱上移动。 DEAD,11(?)证明:; ACD1AB(?)当E为的中点时，求点E到面的距离; , DECD,,41AE(?)等于何值时，二面角的大小为。 D1C1 BA11 CD ABE xyz,,DADCDD,,1解:以D为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设 ADExAC1,0,1,0,0,1,1,,0,1,0,0,0,2,0，，，，，，，，，，11AEx,，则。 DADEx,,,,,1,0,11,,10DADE,，，，，1111(?)因为，所以。 E1,1,0DEAC,,,,1,1,1,1,2,0，，，，，，1AB(?)因为E为中点，则，从而， ,nAC,,0,,，,ab20,,,,，,ac0AD,,1,0,1nabc,,,nAD,,0ACD，，，，,,11,1，设平面的法向量为，则，也即，ab,2,,n,2,1,2ac,，，,，从而， 得 DEn,12121，,h,,,33nADC1所以点E到平面的距离为 nabc,,,DEC，，1(?)设平面的法向量为， CExDCDD,,,,,1,2,0,0,2,1,0,0,1，，，，，，11? 17 ,nDC,,020bc,,,,1,,,abx，,,20，，nCE,,0,,cax,,,2,2b,1,,由，有，令，从而 nx,,2,1,2，，? nDD,221,2,cos,,2242nDD,x,，25，，1由题意，，即。 x,，23x,,2312?(不合题意，舍去)，。 , DECD,,AE,,2341?当时，二面角的大小为。 08、如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABC,中，?ABC=60，PA=AC=a，PB=PD=,2a点E在PD上，且PE:ED=2:1. (I)证明PA?平面ABCD; (II)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小; , (?)在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC,证明你的结论. (?)证明 因为底面ABCD是菱形，?ABC=60?， 所以AB=AD=AC=a， 在?PAB中， 2222由PA+AB=2a=PB 知PA?AB. 同理，PA?AD，所以PA?平面ABCD. (?)解 作EG//PA交AD于G， 由PA?平面ABCD. 知EG?平面ABCD.作GH?AC于H，连结EH， 则EH?AC，?EHG即为二面角的平面角. , 123又PE : ED=2 : 1，所以EG,a,AG,a,GH,AGsin60:,a.333 EG3tan,,,,从而 ,,30:.GH3 (?)解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为 3131A(0,0,0),B(a,,a,0),C(a,a,0). 2222 21 D(0,a,0),P(0,0,a),E(0,a,a).33 2131AE,(0,a,a),AC,(a,a,0).所以 3322 31AP,(0,0,a),PC,(a,a,,a). 22 31BP,(,a,a,a). 22 18 31PF,,PC,(a,,a,,,a,),其中0,,,1,设点F是棱PC上的点，则22 3131BF,BP，PF,(,a,a,a)，(a,,a,,,a,) 2222 31,(a,(,1),a(1，,),a(1,,)). 令 得 BF,,AC，,AE1222 ,33,,,aa(,1),,,1,,,,1,,221,,1124,,,,,,,,aaa即(1，),，,1，,，, ,,12122233,, 11,,aa,,,,(1,),.1,,.22,,33,, 113131解得 即 时，,,,,,,,,,.,BF,,AC，AE.,12222222 BFAEAC亦即，F是PC的中点时，、、共面. 又 BF,平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC. 解法二 当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下， 证法一 取PE的中点M，连结FM，则FM//CE. ? 1由 知E是MD的中点. EM,PE,ED,2 连结BM、BD，设BD,AC=O，则O为BD的中点. 所以 BM//OE. ? 由?、?知，平面BFM//平面AEC. 又 BF,平面BFM，所以BF//平面AEC. 证法二 11因为 BF,BC，CP,AD，(CD，DP)22 1313,AD，CD，DE,AD，(AD,AC)，(AE,AD)2222 31,AE,AC.22 BFAEAC所以 、、共面. ,又 BF平面ABC，从而BF//平面AEC. PF,,PC【方法归纳】点F是线PC上的点，一般可设，求出值，P点是已知的，, 即可求出F点 DAD2ABCCC9、如图，已知正三棱柱—的底面边长是，是侧棱的中点，直线ABC1111BBCC与侧面所成的角为( 4511 (?)求此正三棱柱的侧棱长; (?) 求二面角的大小的正切值; A,BD,C 19 ABD(?)求点到平面的距离( C EAE解:(?)设正三棱柱—的侧棱长为(取中点，连(ABCxABCBC111A1A H B是正三角形，( 1？,ABC？,AEBCIGB FEBBCC又底面侧面，且交线为( ABC,BCC111DC ？,AEBBCC侧面( 11 EDADBBCC连，则直线与侧面所成的角为( ，,ADE4511 AE3在中，tan45,,，解得x,22( Rt,AED2EDx1，4 此正三棱柱的侧棱长为22( ？ 注:也可用向量法求侧棱长( EEFBD,FAF(?)解法1:过作于，连， ？AE,AFBD,BBCC,侧面？( 11 ？，AFE为二面角的平面角( A,BD,C 在中，，又 Rt,BEFEFBEEBF,，sin 3CD23EF,， ？( BEEBF,，,,,1,sin223BD32(2)， 又 AE,3, AE？在中，( tan3，,,AFERt,AEFEF 故二面角的正切值( A,BD,C3 解法2:(向量法，见后) BD,AEFAEF,ABDAF？(?)解法1:由(?)可知，平面,平面平面，且交线为， EABD？过作于，则平面( EGAF,GEG, 20 33，AEEF，303在中，( EG,,,Rt,AEFAF10322(3)()，3 230EABD2EG,为中点，点到平面的距离为( ？BCC10 ABDHDADB,ABD,H解法2:(思路)取中点，连和，由，易得平面CACB,,CH DHABDI平面，且交线为(过点作于，则的长为点到平面的CHDCCIDH,CIC 距离( VV,解法3:(思路)等体积变换:由可求( CABDABCD,, 解法4:(向量法，见后) 题(?)、(?)的向量解法: o,xyz(?)解法2:如图，建立空间直角坐标系( zA1A则( ABCD(0,0,3),(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0),, B1ABD设为平面的法向量( nxyz,(,,)1B ,o,,xCn,AB,0,yz,,3,,11D由 得( ,,,C,230xyz,，,n,AD,0,y,2, 取 n,,,(6,3,1).1 又平面的一个法向量 n,(0,0,1).BCD2 ,,n,n(6,3,1)(0,0,1)10,,,,,12cos,？( ,nn,,,,,,1222210nn121(6)(3)1，,，,， 结合图形可知，二面角的正切值为( A,BD,C3(?)解法4:由(?)解法2， n,,,(6,3,1),CA,,(0,1,3).1 21 ,CA,n1(0,,1,3),(,6,,3,1)230ABD点到平面的距离,,( ？d,C,22210n1(,6)，(,3)，1 22