数列的极限

第二章 　数列极限 ◆ 引  言 为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势。例如有这么一个变量，它开始是１，然后为如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零。我们就说，这个变量的极限为０。 在高等数学中，有很多重要的概念和 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 都和极限有关（如导数、微分、积分、级数等），并且在实际问题中极限也占有重要的地位。例如求圆的面积和圆周长（已知：），但这两个 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 从何而来？ 要知道，获得这些结果并不容易！人们最初只知道求多边形的面积和求直线段的长度。然而，要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上，在思考方法上来一个突破。 问题的困难何在？多边形的面积其所以为好求，是因为它的周界是一些直线段，我们可以把它分解为许多三角形。而圆呢？周界处处是弯曲的，困难就在这个“曲”字上面。在这里我们面临着“曲”与“直”这样一对矛盾。 在形而上学看来，曲就是曲，直就是直，非此即彼，辩证唯物主义认为，在一定条件下，曲与直的矛盾可以相互转化。恩格斯深刻提出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在一定的条件下直线和曲线应当是一回事”。整个圆周是曲的，每一小段圆弧却可以近似看成是直的；就是说，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圆弧。 执照这种辩证思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成n个等长的小段，代替圆而先考虑其内接正n边形。易知，正n边形周长为 显然，这个不会等于。然而，从几何直观上可以看出，只要正n边形的边数不断增加。这些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长。N越大，近似程度越高。 但是，不论多么大，这样算出来的总还只是多边形的周长。无论如何它只是周长的近似值，而不是精确值。问题并没有最后解决。 为了从近似值过渡到精确值，我们自然让n无限地增大，记为。直观上很明显，当时，，记成。——极限思想。 即圆周长是其内接正多边形周长的极限。这种方法是我国刘微（张晋）早在第３世纪就提出来了，称为“割圆术”。其方法就是——无限分割。以直代曲；其思想在于“极限”。 除之以外，象曲边梯形面积的计算均源于“极限”思想。所以，我们有必要对极限作深入研究。 §１　数列极限的概念 教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 数列极限等有关命题。 教学要求：使学生逐步建立起数列极限的定义的清晰概念。深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念。会应用数列极限的定义证明数列的有关命题，并能运用语言正确 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 述数列不以某实数为极限等相应陈述。 教学重点：数列极限的概念。 教学难点：数列极限的定义及其应用。 教学方法：讲授为主。 教学程序： 一  什么是数列 １ 数列的定义 数列就是“一列数”，但这“一列数”并不是任意的一列数，而是有一定的规律，有一定次序性，具体讲数列可定义如下； 若函数的定义域为全体正整数集合，则称为数列。 注：１）根据函数的记号，数列也可记为；２）记，则数列就可写作为：，简记为，即；３）不严格的说法：说是一个数列。 ２ 数列的例子 （1）；（2）（3）；（4） 二、什么是数列极限 １．引言 对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）； 第１天截下， 第２天截下， 第３天截下，         第天截下，   得到一个数列： 不难看出，数列的通项随着n的无限增大而无限地接近于零。 一般地说，对于数列，若当n无限增大时，能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。 据此可以说，数列是收敛数列，０是它的极限。 数列都是发散的数列。 需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。 以为例，可观察出该数列具以下特性： 随着n的无限增大，无限地接近于1随着n的无限增大，与１的距离无限减少随着n的无限增大，无限减少会任意小，只要n充分大。 如：要使，只要即可；   要使，只要即可； 任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项，从该项之后，。即，当时，。 如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得：，取即可。这样当时，。 综上所述，数列的通项随n的无限增大，无限接近于１，即是对任意给定正数，总存在正整数Ｎ，当时，有。此即以１为极限的精确定义，记作或。 2.数列极限的定义 定义1  设为数列,a为实数,若对任给的正数,总存在正整数N,使得当时有, 则称数列收敛于a,实数a称为数列的极限,并记作或. (读作:当n趋于无穷大时,的极限等于a或趋于a)。由于n限于取正整数,所以在数列极限的记号中把写成,即或. 若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列。 [问题]：如何表述没有极限？ ３。举例说明如何用定义来验证数列极限   例１　证明. 同理可证： . 例２　证明　. 同理可证：一般可证：. 例３．证明　. 例４．证明　. 例５．证明　，其中. ４  关于数列的极限的定义的几点说明 （1） 关于：① 的任意性。定义１中的正数的作用在于衡量数列通项与常数a的接近程度，越小，表示接近得越好；而正数可以任意小，说明与常数a可以接近到任何程度；②的暂时固定性。尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出Ｎ；③的多值性。既是任意小的正数，那么等等，同样也是任意小的正数，因此定义１中的不等式中的可用等来代替。从而“”可用“”代替；④正由于是任意小正数，我们可以限定小于一个确定的正数。 （2） 关于Ｎ：① 相应性，一般地，Ｎ随的变小而变大，因此常把Ｎ定作，来强调Ｎ是依赖于的；一经给定，就可以找到一个Ｎ；②Ｎ多值性。Ｎ的相应性并不意味着Ｎ是由唯一确定的，因为对给定的，若时能使得当时,有,则或更大的数时此不等式自然成立。所以Ｎ不是唯一的。事实上，在许多场合下，最重要的是Ｎ的存在性，而不是它的值有多大。基于此，在实际使用中的Ｎ也不必限于自然数，只要Ｎ是正数即可；而且把“”改为“”也无妨。 （３）数列极限的几何理解：在定义１中，“当时有”“当时有” “当时有” 所有下标大于Ｎ的项都落在邻域内；而在之外，数列中的项至多只有Ｎ个（有限个）。反之，任给，若在之外数列中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为Ｎ，则当时有，即当时有，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）：   定义  任给，若在之外数列中的项只有有限个，则称数列收敛于极限a. 由此可见：１）若存在某个，使得数列中有无穷多个项落在之外，则一定不以a为极限；２）数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关。所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响。 例１　证明和都是发散数列。 例２．设，作数列如下：. 证明　. 例３．设为给定的数列，为对增加、减少或改变有限项之后得到的数列。证明：数列与同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等。 三、无穷小数列 在所有收敛数列中，在一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义２  若，则称为无穷小数列。 如都是无穷小数列。 数列收敛于a的充要条件： 定理２.１　数列收敛于a 的充要条件是为无穷小数列。