专题3 数列江苏省太仓高级中学 陆红力江苏省太仓高级中学 陆红力【课标

专题3 数列江苏省太仓高级中学 陆红力江苏省太仓高级中学 陆红力【课标 专题3 数列 江苏省太仓高级中学 陆红力 【课标要求】 1.课程目标 体会数列是刻画自然界离散型变量的重要数学模型，能从函数的观点理解数列。等差数列和等比数列作为基本数列模型要深入理解，要体会这两种数列模型的广泛应用，并能准确的使用等差与等比模型( 2.复习要求 (1)数列:了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数(理解数列的通项公式与其前项和的意义( n (2)等差数列:理解等差数列的概念;掌握等差数列的通项公式、前n项和的公式，能运用公式解决一些简单问题(能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.了解等差数列与一次函数及等差数列的和与二次函数的关系( (3)等比数列:理解等比数列的概念;掌握等比数列的通项公式、前n项和的公式，能运用公式解决一些简单问题(能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题(了解等比数列与指数函数的关系( 3.复习建议 (1)要让学生明确数列给定的三种方式:通项法，前项和公式法，递推关系法( n (2)等差、等比数列是复习的重点，要让学生强化基本量的意识，重视等差、等比数列性质的运用( (3)将非等差，等比数列化归为等差、等比数列是处理一般数列的重要方法之一，在教学中要注重对学生化归思想方法能力的培养( (4)归纳和类比也是处理数列问题的手段之一，要引导学生积极使用上述方法( (5)以等差，等比数列为基础，进行构造再与其他数学知识综合的 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 是近几年江苏高考命题的一个热点，在教学中要对这一类问题做进一步的探索( 【典型例题】 例1 (填空题) (1)设为等差数列的前项和，若SS,,324，，则__________( S{}aa,nnn369 ？解析:，，则( SS,,324，aad,，,715ad,,1,236292 (2)(课本改编)已知成等差数列，已知，且，xaby,lg,lg,ab,,1,1ab，,20P47 则的最小值为 ( xy， ab，2解析:(当且仅当时，式中等号成xyabab，,，,,,lglglglg()2ab,,102 立)( (3)在等比数列中，若则的值为___________( aaa,,,,9,1,a,,n375 2解析:由，且得( aaa,,9a,0a,,355537 a6(4)等比数列中，，则__________( {}aSS,5,n63a3 a36解析:，，则4( ？SS,5q,4,63a3 (5)已知，把数列的各项排列成如下的三角形状， 记表示第行an,{}amAmn(,)nn 的第个数，则__________( nA(10,12), 解析: A(10,12)(13517)1293,，，，,,,，，, (6)数列中，已知，则________( aaaaaan,,，，,,,，,1,(2)a,,,n1121nnn,,n 解析:？，(1)(2) aaaan,，，,,,，,(2)aaaa,，，,,,，nnn,,121nnn，,111 可得:，即，又，易知 (2)(1),aaan,,,(2)aan,,2(2)a,1a,1nnn，1nn，112 1(1)n,,？( a,,nn,22(2)n,, 17)在等比数列中，已知，，则________( (aS,,2,126{}aq,n,nnn2 1解析:成公比为等比数列，则成公比为2等比数aaaa,,,,,,,aaaa,,,,,,,123nnn,1212 列( n,2(12)，得( ？,,Sn,6126n,12 1,2,0aa,,nn,6,2a,(8)数列{}a满足若，则a,_______( a,,，1nn2010117,21,1aa,,,nn,2, 65366解析:，数列的前4项依次为，数列具有周期性，？？{}a{}aa,,,,nn177777 3且周期为3，则( aa,,201037 (9)(09上海)已知函数.项数为27的等差数列满足,,f(x),sinx，tanxan ,,,,，且公差.若，则当= 时，a,,，f(a)，f(a)，？，f(a),0d,0k,,n122722,, . f(a),0k ,,,,解析:是上的增函数且为奇函数，数列为等差,,f(x),sinx，tanx,，an,,22,, ,,,,数列且，，则，所a,,，fafafa()()()0，，？，,aaa，，？，,0,,n1227122722,, 以，则( a,0n,1414 (10)(10天津)设是等比数列，公比，为的前n项和( {}a{}aSq,2nnn 17SS,*nn2记设为数列{}的最大项，则= ( TTnTnN,,,.nn0n0a，n1 nn2aqaq(1)(1),,1117,nn217(1)(1),,,qq11,,qq*解析:=， TnN,,,nnn(1),qqaq1 22t161717(1)(1),,,tt1617,，ttn设，则有=== Tqt,,，，[]n(12),t(12),t21(21)21,,,t 8179t16？,=，当且仅当，即，当为数T,，()t,4,n021,2121,,21(21),,t列{}的最大项时，=4( Tnn0 例2 (10浙江) 首项为，公差为()的等差数列的前项和为，且adR,,{}aSandnn11 +15=0( SS56 (?)若=5，求及;(?)求的取值范围( SSad561 5105ad，,,-151 (?)解:由题意知，，， 解得a=7( aSS,,,8S,,,31,6656ad，,,58S15, 22 (?)解:+15=0，(5a+10d)(6a+15d)+15=0，即2a+9ad+10d+1=0， ？SS111156 222故(4a+9d)=d-8，所以d?8，故d的取值范围为d?-2或d?2( 221 11例3 (10全国) 已知是各项均为正数的等比数列，且，{}aaa，,，2()n12aa12 111( aaa，，,64()，，345aaa345 12(?)求的通项公式;(?)设，求数列的前项和( {}b{}aTnba,，()nnnnnan 111(?)解:考察数列与数列(是等比数列，？数列aaa,,,,,,{}a,,,,,,12nnaaann,11111也为等比数列且与有相同的公比(设数列的公比为( {}a{}aqq(0),,,,,,,nnaaann,11 112,,aqq(1)(1)，,，aa，,，2()121,,aa,2aaa,,,12212？？ ，， ,,,aa,64641112235,,,aqqqq(1)(1)，，,，，aaa，，,，，64()3345,,aaaa5,,345 n,1解得:，？( aq,,1,2a,21n n4111211nn,,？(?)，( Tn,,，，ba,，,，，21()4()2nnnna3344n 1x例4 已知点(1，)是函数且)的图象上一点，等比数列的{a}f(x),a(a,0,a,1n3 前项和为,数列的首项为，且前项和满足,f(n),c(b,0){b}SSncnnnnn =S+S(). Sn,2n,1nn,1 (?)求数列和的通项公式; {a}{b}nn 11000(?)若数列{前项和为，问>的最小正整数是多少? TTnn}nn2009bbnn，1 x11,,(?)解:,( ？,fxQfa1,,，，，，,,33,, 12afcfc,,,,，，，，21 ,,,,afcc,,,,1，，，，，，21，，，，93 2 . afcfc,,,,,,32，，，，，，，，3，，，，27 42a21812ac,,,,,,又数列成等比数列， ，所以 ; ac,1,,1n2a333,27 nn,1211a1,,,,*2又公比，所以 ; anN,q,,,,,,2,,,,na3333,,,,1 n,2QSSSSSSSS,,,，,，，，，，，，nnnnnnnn,,,,1111(又,, (则数列构成一个首相为1公差为1的等差S,0？,,SS1b,0S,,nnn,1nn 2*数列，？ ，则(); Snn,，,，,111？,,bn21Sn,nN,，，nnn( 1111(?)解: bb,,,()nn，1nnnn,，,，(21)(21)22121 111111n( ？,,，,，,,,，,,T[(1)()()]n2335212121nnn,，， n100010001000 由可得，所以满足的最小正整数为112. T,n,T,,nn9212009n，2009 例5 已知数列是由正数组成的等差数列，是其前项的和，并且; {}aSaaS,,5, 28nnn342(?)求数列的通项公式; {}an 111(?)求使不等式对一切均成立的最大实数( ，，，,，,nnN,*,(1)(1)(1)21aaa12n (?)解:？是由正数组成的等差数列且，( ad,,1,2{}aaaS,,5, 28n3421则( an,,21n 111，，，(1)(1)(1)aaa11112n？(?)解:，( ，，，,，,n,(1)(1)(1)21,aaan，2112n 111111，，，，，，(1)(1)(1)(1)(1)(1)aaaaaa12n121n，设，则( fn,fn，,(1)()nn，，2321 111(1)(1)(1)，，，1aaa121n，n(1)21，，afnn，，(1)2(1)n，23n，1， ,,,111fn()nnn23(21)(23)，，，(1)(1)(1)，，，aaa12n n，21 fn(1)，2又，，即在上递增( ？[2(1)](21)(23)nnn，,，，fn()nN,*,1fn() 2323当时，，( ？？,,n,1fnf()(1),,min33 2例6 已知曲线，点是曲线上的点(n=1,2,…). Pxyxy(,)(0,0),,CCynx:,nnnnnnn (?)试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标; CllyQPnnnnn(?)若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求点的坐标O(0,0)lPQPnnnn ( (,xy)nn ,(?)解:，(切线的方程:， ynx,2lyynxxx,,,2()？,knx2nnnnn 222令可得:，则( ynxynx,,，,,2Qnx(0,),x,0nnnn 2|2|ynx,2nn(?)解:切线方程可写为:，则( 220nxynxy,,，,d,nnn2241nx，n nxd1122222n？， ||(2)14PQxnxxnx,，,，,,,nnnnnn221||144PQnx，nnn4nx，nnxn 1112当且仅当，即时，式中等号成立(此时( x,ynx,,nx,4nnnnnnnx24n 11点的坐标为( P(,)n24nn 【新题备选】 1(等比数列的前项的和为，且成等差数列，则的公比为{}aSSSS,2,3{}ann200920102011nn ______. ？解:，，即( SSS,2,343SSS,，43()aaa,，200920102011201020092011201020102011 1( ？q,3 公差为2，等比数列首项为1，公比为2，若集合2(等差数列{}b{|}(*)nabnN,,{}annnn 的元素个数恰有2个，则等差数列的首项的取值范围是 ( {}aan1解:设，分别列举，的前5项如下:; ana,，2{}b2,4,6,8,10，，，，，aaaaa{}annn ，结合图像分析可得:( 1,2,4,8,1601,,a1 3(已知分别以和为公差的等差数列和满足，( a,18b,36dd{a}{b}nn11412 2(1)若=18，且存在正整数，使得，求证:; a,b,45d,108dmmm，1421 (2)若，且数列，，…，，，，…，的前项和满a,b,0bSaaabbnkkkk，1k，214n12 足，求数列和的通项公式. S,2S{a}{b}14knn (1)解:由题意: adam,,,18,18,1811m 又 bbmdmd,，,，36m，141422 2(18)99m，222？，，则 a,b,45(18)9mmd,,dm,,，18mm，1422mm 1？(当且仅当时，式中等号成立)，，故等号不成立 d,108m,mN,*26 ？( d,1082 (2)解:，则， SS,2aaabbb，，,,,，,，，,,,，14k121214kkk，，又，则， a,b,0aaabbbb，，,,,，,，，，,,,，kk121214kkkk，， kaakbb()(15)()，,，114kk？则，即，( 1836(15)kk,,k,10,22 易得:( anbn,,，,,220,990nn 324(由原点O向三次曲线y=x-3ax+bx(a?0)引切线，切于不同于点O的点P(x,y)，由P1111 引此曲线的切线，切于不同于P的点P(x,y),如此继续地作下去……，得到点列{(x,y)}，1222nn 试回答下列问题: (1)求x 1 (2)求x与x的关系 nn+1 (3)若a,0，求证:当n为正偶数时，xa. nn 222,解:(1)，由题意:( 363xaxbxaxb,，,,，yxaxb,,，361111 32即，，则( 230xax,,x,0xa,11112 yy,222nn，1(2)由题意: 36()3()xaxbxxxxaxxb,，,,，，,，，nnnnnnnn，，，，，11111xx,nn，1 22则，，则( 23xxa，,23()xxxxaxx,,,，xx,nnnnnn，，，nn，1nn，1111 a11n,1n(3)易得:，当n为正偶数时，; ,，,xaa,,,xa()[1()]nn222 1n当n为正奇数时，( xaa,，,[1()]n2 【专题训练】 一、填空题 S42n，2n1(在等差数列中，，前项和满足条件:， 则数a,1aSn,,,1,2,n,,n1nSn，1n列的通项公式为 ( a,,n 211*2(数列{a}中，a=2，a=1，，则a= ( ,，(,2)nNn,,n12naaannn，,11 3(等差数列中，，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10{}aa,,5n1 项的平均值为4.6，则抽去的是第_______项( S54(设为等比数列的前n项和，则 ( 80aa，,S{}a,nn25S2 5(等比数列中，，，，则, ( a,1aa,,8aaa,a,,n15252n n6(数列中，，前项和为，则 ( acac,(为非零常数)Sk,，3{}ank,nnn，1n7(在等比数列中，若，则_______( aSq,,,48,93,2{}an,nnn 8(已知三角形的三边长成等比数列，短边长为首项，则公比q的取值范围是_______( 9(若某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去 1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，6小时后细胞的存活数是_______( 10(把49个数排成如图所示的数表，若表中每行的7个数自左至右依次都成等差数列，每列的7个数自上而下依次也都成等差数列，且正中间的数 ，则表中所有数的和为 . a,144 11(数列中，， 则_______( anananN,,，，,2,(1)2(*){}aa,n11nn，10 an,112(若数列中，已知，则 ( {}aa,,,,,1,2,(3)aaann1712nan,2 13(观察下列三角形数表 1 -----------第一行 2 2 -----------第二行 3 4 3 -----------第三行 4 7 7 4 -----------第四行 5 11 14 11 5 … … … … … … … … … ,假设第行的第二个数为，则 ( ann(2,N),,a,nnn an中，均为正实数，则与的大小关系是 ( 14(在数列{}a,,,aaaabc,其中nnn，1nbnc， 二、解答题 15(已知等差数列满足:，.的前n项和为. aa,7aa，,26aS,,,,nn357n 1， (?)求 及;(?)令(),求数列的前n项和. baSb,TnN,,,nnnnn2a,1n 16(若数列是公差的等差数列，数列是公比的等比数列，已知{}b{}aq,1d,0nn ( ababab,,,,1,,112263 (?)求数列，的通项公式; {}b{}ann (?)是否存在常数，使对一切都有恒成立，若存在，求出常ab,abb,，lognN,*nan数的值;若不存在，说明理由( ab, 17(正项数列的前项和为，且满足成等比数列( 4,1,aS，{}aSnnnnn(?)求数列的通项公式; {}an 1111(?)设，是否存在常数，使得对一切pfnp(),fn,，，，,,,，()aaaannnn，，122 恒成立，若存在，求出的最小值;若不存在，说明理由( pnN,* 2,已知首项不为零的数列的前项和为，若对任意的，都有. 18(n{}aSSan,nN,nnn1 (1)判断是否为等差数列，并证明你的结论; {}an (2)若，数列的第n项减1是数列的第项，求. {}bbab,,1,2{}ab(2)n,11nnn,1n (3)求和Tababab,，，，( nnn1122 19(设数列{a}的首项a=1，前n项和S满足关系式: n1n 3tS,(2t+3)S=3t(t>0，n=2，3，4，…) ,nn1 (1)求证:数列{a}是等比数列; n 1(2)设数列{a}的公比为f(t)，作数列{b}，使b=1，b=f()(n=2，3，4，…)，求nn1nbn,1数列{b}的通项b; nn )求和:bb,bb+bb,bb…+bb,bb. (3,122334452n12n2n2n+120(已知数列,a,，,b,，,c,的通项公式满足，，cbbnN,,,(*)baa,,nnnnnn，1nnn，1若数列,b,是一个非零常数列，则称数列,a,是一阶等差数列;若数列,c,是一个非nnn零常数列，则称数列,a,是二阶等差数列( n (?)试写出满足条件，的二阶等差数列的前五项; ab,,1,1cnN,,1(*){}a11nn(?)求满足条件(?)的二阶等差数列的通项公式a; {}ann n，1(?)若数列,a,首项，且满足，求数列,a,的a,2cbanN,，,,,32(*)nn1nnn，1 通项公式( 【专题训练参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】 21101( 2( 3(8 4( 5(11 6( 7(5 ,,1an,,nn7 251，nn,，28( 9(65 10(49 11(38 12(1 13( (1,)22 14( aa,nn，1 15(解:(?)设等差数列的公差为d，因为，，所以有 aa,7aa，,26,,357n ad，,27,1，解得， ad,,3,2,121026ad，,1, n(n-1)2所以;==n+2n( an,，,321)=2n+1(S3n+2，nn2 1111111？解:(?)由(?)知，b===， a,2n+1=,,(-)nn22a,(2n+1)1,4n(n+1)14nn+1n n11111111所以==， T,(1-)=,,(1-+++-)n4(n+1)4n+14223nn+1 n即数列的前n项和=( bT,,nn4(n+1) 1，,dqd,3,,n,1 16(解:由题意:(1) ab,,1？,,,anb32,4,？,,11nn2q,415，,dq,, n,1(2) ,,,，,32(log4)log4nnbab,，log4aana 3log43,,,a,4,a( ,,,,b,,,log42b,1,a,, 17(解:(?)当时求得 a,1n,11 2,(1)4(1)aS，,,nn ,2(1)4(2)aS，,,，，nn11, (2)-(1)整理得: ()(2)0aaaa，,,,？,,,，aaaa(2舍)nnnn，，11nnnn，，11 ？,,an21n 111(?) ? fn()...,，，，212(1)1221nnn,，,,, 111 ? fn(1)...，,，，，2(1)12212(22)1nnn，,,,,，, 111?-?得: fnfn(1)()0，,,，,,414321nnn，，, 33，则当时，， ？，,fnfn(1)()n,1fnf()(1),,？,pmax22 218(解:(1)当时 ( ？,,,,aSSana2San,,(1)n,2n,nnn,11111 为常数 当时也满足 ？,,aaa2n,1nn,11 是等差数列 ？an n(2)由题，即， ？,,,,bab121an,,21？,bb2？,b2nbn,1nnn,1nn,1 nn，1(3)令 cabn,,,22nnn 2341n，? ？,，,，,，,,,，,Tn222322n 3452n，? 2222322Tn,，,，,，,,,，,n nn，1?-?整理得 Bn,,,,，2424n n，1( ？,,，Tn(3)26n 3(23)3(1)tStSt,，,,nn1,19(解:(1)当时( n,3,3(23)3(2)tStSt,，,n1n2,,, at(23)，n(1)(2)得:( ,3(23)0tata,，,,,nn1,at3,n1at(23)，2当时，成立，所以为等比数列 {}an,2,nat31 123,，b23t，n,1？,,，,，13(1)bbb(2)由题意: ，， b,1ft(),nnn,1113t3,bn,1 n,1 ？,,,b231n 8nnnnnn，，,，，112111(3)通项为 ,,,,,,,,，,bb(1)(1)42(1)3(1)nn，13811222nnn ？,,,，,,,，T4(3)(1)n5210 20(解:(1)略; (2)由题意:，则 bn,aan,,nnn，1 aa,,1,21,aa,,2nn(1),1,322则，，则( ,,,aaa,1ann,,，(2),n11n,,,22, ,aan,,,1,nn1, n，1(3)， cbanN,，,,,32(*)a,21nnn，1 n，1n，1？，即 ()32(*)bbbanN,,，,,,,，,,,banN32(*)nnnn，，11nn n，1n，1？，即 ,，,,,aanN42(*)aanN,,,42(*)nn，1nn，1aa2nn，1？，又( a,2,,,1(*)nN1nn，122 nn易得:( a,,42n