数学考研线代概率公式总结

数学考研线代概率公式总结 概率论部分 第一节 基本概念 1、概念网络图 古典概型,, ,,几何概型 ,, ,, ,,加法B，C,, ,,,,基本事件减法B,C,,,,,,,,,,,,,五大公式 随机试验E,样本空间,,P(A)条件概率B/C和乘法公式BC,,,,,, ,,,,,,随机事件A全概公式,,,,,, ,,贝叶斯公式,,,,,, ,,独立性,, ,,贝努利概型,, 2、重要公式和结论 m!nP, 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 m(m,n)!(1)排列 组合公式 m!nC, 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 mn!(m,n)! 加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n(2)加法种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 和乘法原乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n 理 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列(有序) (3)一些对立事件(至少有一个) 常见排列 顺序问题 (4)随机如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，试验和随但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试机事件 验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质: ?每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件; ?任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 (5)基本 ,这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示。 事件、样本 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 ,空间和事 ,一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母,件 A，B，C，„表示事件，它们是的子集。 , 为必然事件，Ø为不可能事件。 , 不可能事件(Ø)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理，必然事件(Ω)的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 ?关系: 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，(A发生必有事件B发生): A,B 如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B:A,BB,A A=B。 A、B中至少有一个发生的事件:AB，或者A+B。 : 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。 AB (6)事件::A、B同时发生:AB，或者AB。AB=Ø，则表示A与B不可能同时发生，的关系与 运算 称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 ,A-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ?运算: 结合率:A(BC)=(AB)C A?(B?C)=(A?B)?C 分配率:(AB)?C=(A?C)?(B?C) (A?B)?C=(AC)?(BC) ,, iiA,A::i1i1,, 德摩根率:， A:B,A:BA:B,A:B AA,设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件: 1? 0?P(A)?1， 2? P(Ω) =1 (7)概率A2A13? 对于两两互不相容的事件，，„有 的公理化,,,,iiP,A,,P(A)定义 :,,,i1i1,,,, 常称为可列(完全)可加性。 A则称P(A)为事件的概率。 (8)古典1? ,,， ,,,,,？,12n 概型 12? PPP。 ,,,,？,,()()()12nn A设任一事件，它是由组成的，则有 ,,,？,12m P(A)= = ,,(,):(,):？:(,)P(,)，P(,)，？，P(,)12m12m A所包含的基本事件数m, ,基本事件总数n 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何(9)几何概型。对任一事件A， 概型 L(A)P(A),。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。 L(,) (10)加法P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 公式 当P(AB),0时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) (11)减法当B,A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 公式 当A=Ω时，P()=1- P(B) B P(AB)定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称为事件A发生条件下，事P(A)(12)条件P(AB)件B发生的条件概率，记为。 P(B/A),概率 P(A) 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A) ,B 乘法公式: P(AB),P(A)P(B/A) 更一般地，对事件A，A，„A，若P(AA„A)>0，则有 12n12n-1(13)乘法 P(A1A2An),P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2公式 „„„„ An,1)。 ?两个事件的独立性 P(AB),P(A)P(B)ABAB设事件、满足，则称事件、是相互独立的。 P(A),0AB若事件、相互独立，且，则有 P(AB)P(A)P(B)P(B|A),,,P(B)P(A)P(A) ABBAABAB若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独(14)独立立。 性 ,必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。 Ø与任何事件都互斥。 ?多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 B1,B2,？,Bn设事件满足 B1,B2,？,BnP(Bi),0(i,1,2,？,n)1?两两互不相容，， n(15)全概A,Bi:公式 ,1i2?， 则有 P(A),P(B1)P(A|B1)，P(B2)P(A|B2)，？，P(Bn)P(A|Bn)。 BnB2AB1设事件，，„，及满足 P(Bi)i,nBnB2B11? ，，„，两两互不相容，>0，1，2，„，， n A,Bi:P(A),0,1i2? ，， 则 (16)贝叶P(B)P(A/B)ii，i=1，2，„n。 P(B/A),in斯公式 P(B)P(A/B),jj,1j 此公式即为贝叶斯公式。 ni,1i,122，(，，„，)，通常叫先验概率。，(，，„，P(B)P(B/A)ii n)，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 n我们作了次试验，且满足 AA, 每次试验只有两种可能结果，发生或不发生; nA, 次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样; AA, 每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与 否是互不影响的。 n这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。 (17)伯努 利概型 p1,p,qPn(k)AA用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表 k(0,k,n)nA示重伯努利试验中出现次的概率， kkn,kP(k),pqnk,0,1,2,？,nCn，。 第二节 重点考核点 事件的运算、概率的定义(古典概型和几何概型)、条件概率和乘法公式、全概和贝叶斯公 式、独立性和伯努利概型 第二章 随机变量及其分布 第一节 基本概念 1、概念网络图 P(A),基本事件随机事件A,,,,,,,, ,,,,,,F(b),F(a)随机变量X(,)a,X,b,,,,,, ,,0,1分布,, ,,,,二项分布,,,,,,,,离散型泊松分布,,,,,,超几何分布,,,,,, 分布函数:F(x),P(X,x),八大分布,函数分布,,几何分布,,,,,, ,, 均匀分布,,,,,,,,连续型指数分布,,,,,,,,正态分布,,,,2、重要公式和结论 X的可能取值为X(k=1,2,„)且取各个值的概率，即事设离散型随机变量k 件(X=X)的概率为 k P(X=x)=p，k=1,2,„， kk X则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形(1)离散式给出: 型随机变Xx,x,？,x,？12k|量的分布P(X,xk)p1,p2,？,pk,？。 律 显然分布律应满足下列条件: , kp,1,pk,0k,1,2,？k1,(1)，， (2)。 F(x)f(x)xX是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有 设 xF(x),f(x)dx,,,， (2)连续f(x)XX则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概型随机变率密度。 量的分布密度函数具有下面4个性质: 密度 f(x),01? 。 ，,f(x)dx,1,,,2? 。 (3)离散 P(X,x),P(x,X,x，dx),f(x)dx与连续型 随机变量P(X,xk),pk积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离f(x)dx的关系 散型随机变量理论中所起的作用相类似。 设为随机变量，是任意实数，则函数 Xx F(x),P(X,x) 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 可以得到X落入区间的概率。分布P(a,X,b),F(b),F(a)(a,b] 函数表示随机变量落入区间(– ?，x]内的概率。 F(x) 分布函数具有如下性质: 1? ; 0,F(x),1,,,,x,，,(4)分布2? 是单调不减的函数，即时，有 ; F(x)F(x1),F(x2)x1,x2函数 3? ， ; F(,,),limF(x),0F(，,),limF(x),1x,,,x,，, 4? ，即是右连续的; F(x，0),F(x)F(x) 5? 。 P(X,x),F(x),F(x,0) 对于离散型随机变量，; F(x),p,kx,xk x 对于连续型随机变量， 。 F(x),f(x)dx,,,(5)八大P(X=1)=p, P(X=0)=q 0-1分布 分布 重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生在AApn 的次数是随机变量，设为，则可能取值为。 XX0,1,2,？,n kkn,k， 其中P(X,k),P(k),Cpqnn ， q,1,p,0,p,1,k,0,1,2,？,n二项分布 则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为Xpn 。 X~B(n,p) k1,k当时，，，这就是(0-1)分P(X,k),pqn,1k,0.1布，所以(0-1)分布是二项分布的特例。 设随机变量的分布律为 X k,,,()，，， k,0,1,2？PX,k,e,,0!k 泊松分布 则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或XX~,(,), 者P()。 , 泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ，n??)。 knk,k,0,1,2,l？C,CMNM,P(X,k),, n超几何分布 l,min(M,n)CN 随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。 k,1，其中p?0，q=1-p。 P(X,k),qp,k,1,2,3,？几何分布 随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。 f(x)X的值只落在[a，b]内，其密度函数在[a，b]设随机变量 1上为常数，即 b,a 1,a?x?b ,,f(x),b,a, 其他， ,0,, X则称随机变量在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。 分布函数为 均匀分布 0， xb。 x,x12当a?x 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态分布，记为正态分布 X~N(0,1)，其密度函数记为 2x,12,()x,e2,，， ,,,x,，, 分布函数为 2tx,12。 (),x,edt,2,,, ,(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 1Φ(-x),1-Φ(x)且Φ(0),。 2 ,X,2如果X~，则~。 N(0,1)N(,,,), ,,x,x,,,,,21。 P(xXx),,,,,,,,,,12,,,,,, (6)分位下分位数:; P(X,,),,,数 上分位数:。 P(X,,),,, X已知的分布列为 x,x,？,x,？12nX ， P(X,xi)p1,p2,？,pn,？ (7)函数Y,g(X)的分布列(互不相等)如下: y,g(x)ii离散型 分布 g(x),g(x),？,g(x),？12nY， P(Y,y)ip1,p2,？,pn,？若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。 g(xi)pg(xi)i (x)写出Y的分布函数F(y),P(g(X)?先利用X的概率密度fXY连续型 y)，再利用变上下限积分的求导公式求出f(y)。 Y 第二节 重点考核点 常见分布、函数分布 第三章 二维随机变量及其分布 第一节 基本概念 1、概念网络图 ,,均匀分布,,常见二维分布,,,,正态分布,,,, ,,,,离散型分布律,,,,联合分布,,,,,,,,连续型分布密度,,,,,,,,,,,,,,,XY,,(,),,,,,,Z,X，Y边缘分布,,,,,,条件分布,,,,函数分布Z,max,min(X,X,？X),,12n,,,,2,,,,,分布独立性,,,,,,,,,,三大统计分布t分布,,,,,,,,,,F分布,,,,,,,, 2、重要公式和结论 (X，Y)的所有可能取值为至多可列如果二维随机向量, 个有序对(x,y)，则称为离散型随机量。 , 设=(X，Y)的所有可能取值为，(x,y)(i,j,1,2,？),ij且事件{=}的概率为p,称 (x,y),ij,ij P{(X,Y),(x,y)},p(i,j,1,2,？)ijij 为=(X，Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分, 布有时也用下面的概率分布表来表示: 离散型 Y y y „ y „ 12j X x p p „ p „ 111121j x p p „ p „ 221222j ？？？？？ x p „ „ ii1 pij(1)联合 分布 ？？？？？这里p具有下面两个性质: ij (1)p?0(i,j=1,2,„); ij (2) p,1.,,ijij 对于二维随机向量，如果存在非负函数,,(X,Y) ，使对任意一个其邻边f(x,y)(,,,x,，,,,,,y,，,)分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|ax时，有F(x,y)?F(x,y);当y>y时，有F(x,y) ?F(x,y); 21212121 (3)F(x,y)分别对x和y是右连续的，即 F(x,y),F(x，0,y),F(x,y),F(x,y，0); (4) F(,,,,,),F(,,,y),F(x,,,),0,F(，,,，,),1. (5)对于 x,x，y,y，1212 . F(x，y),F(x，y),F(x，y)，F(x，y),022211211(4)离散 P(X,x，Y,y),P(x,X,x，dx，y,Y,y，dy),f(x，y)dxdy型与连续 型的关系 X的边缘分布为 ; P,P(X,x),p(i,j,1,2,？),i,iijj离散型 Y的边缘分布为 P,P(Y,y),p(i,j,1,2,？)。 ,,jjiji(5)边缘 分布 X的边缘分布密度为 ，, f(x),f(x,y)dy;X,,,连续型 Y的边缘分布密度为 ，, f(y),f(x,y)dx.Y,,, X=x的条件下，Y取值的条件分布为 在已知i pij P(Yy|Xx),,,;jipi, 离散型 在已知的条件下，X取值的条件分布为 Y=yj pij PXxYy(,|,),,ijp,j(6)条件 分布 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为 f(x,y); f(x|y),f(y)Y 连续型 在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为 f(x,y) f(y|x),f(x)X 一般型 F(X,Y)=F(x)F(y) XY p,ppiji,,j离散型 有零不独立 f(x,y)=f(x)f(y) XY 直接判断，充要条件: 连续型 ?可分离变量 (7)独立?正概率密度区间为矩形 22，，,,,,,性 ,,,,x,2(x,)(y,)y,11122,,,,,,,,，,,,,2,,,,,,1,2(1,),,,,1122，，二维正态分 ,f(x,y)e,2,,,,,21布 12 ,0 , 若X,X,„X,X,„X相互独立， h,g为连续函数，则: 12mm+1n 随机变量的h(X，X,„X)和g(X,„X)相互独立。 12mm+1n 函数 特例:若X与Y独立，则:h(X)和g(Y)独立。 例如:若X与Y独立，则:3X+1和5Y-2独立。 设随机向量(X，Y)的分布密度函数为 1,(x,y),D,SD,f(x,y), , ,0,其他,,其中S为区域D的面积，则称(X，Y)服从D上的均匀分布，记为(X，Y),D U(D)。 例如图3.1、图3.2和图3.3。 y 1 D 1 1 x O 图3.1 (8)二维 均匀分布 y 1 D2 2 x O 1 图3.2 y d D 3 c a b x O 图3.3 设随机向量(X，Y)的分布密度函数为 22，，,,,,,,,,,x,2(x,)(y,)y,11122,,,,,,,,，,,,,2,,,,,,1,2(1,)1122,,,,，， ,f(x,y)e,2,,,,,2112 其中是5个参数，则称(X，Y)服从二维正态分,,,,,0,,,0,|,|,112,12 (9)二维布， 正态分布 22记为(X，Y),N( ,,,,,,,,).12,12 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布， 22即X,N( ,,,),Y~N(,,).112,2 22但是若X,N(，(X，Y)未必是二维正态分布。 ,,,),Y~N(,,)112,2 根据定义计算: F(z),P(Z,z),P(X，Y,z)Z ，, 对于连续型，f(z), f(x,z,x)dxZ,,, Z=X+Y 22两个独立的正态分布的和仍为正态分布()。 ,，,,,，,1212 n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 222,,C,,,C,， ,,iiii(10)函数ii分布 相互独立，其分布函数分别为若X,X？X12n ，则Z=max,min(X,X,„X)的分布F(x)，F(x)？F(x)12nxxx12n Z=max,min(函数为: X,X,„X) 12n F(x),F(x),F(x)？F(x)maxxxx12n F(x),1,[1,F(x)],[1,F(x)]？[1,F(x)] minxxx12n 相互独立，且服从标准正态分设n个随机变量X,X,？,X12n 布，可以证明它们的平方和 n2 W,X,i,1i 的分布密度为 nu,,1,122ueu,0,,n,n,,2,f(u) ,2,,,2,,, ,0,u,0., 22我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为W,，,,(n) 2分布 ,其中 n1,，,n,,,x2 ,,xedx.,,,02,, 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量 分布中的一个重要参数。 2分布满足可加性:设 , 2 Y,,(n),ii则 k2Z,Y~,(n，n，？，n). ,i12k,i1 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且 2 X~N(0,1),Y~,(n),可以证明函数 XT, Y/n的概率密度为 t分布 n，1,,n，1,,,,22,,t2,,,,()1ft,， (,,,t,，,). ,,nn,,,,n,,,,2,, 我们称随机变量T服从自由度为t分布，记为T,t(n)。 t(n),,t(n)1,,, 22，且X与Y独立，可以证明设X~,(n),Y~,(n)12 X/n1的概率密度函数为 F,Y/n2 ,n，n,,12nn，n112,,,,n,122,1,,,,nn2F分布 ,,112,,,,,,y1，y,y,0,,,,f(y), ,nnnn,,,,1222,,,,,,,,,,,22,,,,,,0,y,0, 我们称随机变量F服从第一个自由度为n，第二个自由度为n12 的F分布，记为F,f(n, n). 12 1 F(n,n),,112,F(n,n),21 第二节 重点考核点 二维随机变量联合分布函数、随机变量的独立性、简单函数的分布 第四章 随机变量的数字特征 第一节 基本概念 1、概念网络图 期望,, ,,方差,,一维随机变量, ,,矩,, ,,切比雪夫不等式,, 期望,, ,,方差,,,,二维随机变量, 协方差,, ,,相关系数,, ,,协方差矩阵,, 2、重要公式和结论 (1) 离散型 连续型 一维期望 设是离散型随机变量，其是连续型随机变量，其设XX随机期望就是平均值 分布律为 概率密度为, ，，fx变量， ，， PX,x,pkk，,的数 ，，，，EX,xfxdx,字特,,， k,1,2,？,n征 (要求绝对收敛) n ，，EX,xP,kk,1k (要求绝对收敛) 函数的期望 ，，，，Y,gXY,gX ，,n ，，，，，，EY,gxfxdx,E，，，，Y,gxp ,,,kk,1k 2方差 ，，，，DX,,,x,EXp ,kk ，，DX,k ，，DX,，,2 ，，，，,,x,EXfxdx,,,2, ，，E,,X,EX 标准差 , ，，，，,X,DX 矩 ?对于正整数，称随机变量X，称随机变量X?对于正整数kk 的次幂的数学期望为X的阶的次幂的数学期望为X的kkkk 原点矩，记为，即 阶原点矩，记为，即 vvkk kkk，，v,EX,xp， k,ii ，，v,EXki ，,k 。 k,1,2,？ =， ，，xfxdx,,, X?对于正整数，称随机变量k 。 k,1,2,？ 与，，差的次幂的数学期望EXkX?对于正整数，称随机变量k X为的阶中心矩，记为,，k与，，差的次幂的数学期望EXkk 即 X为的阶中心矩，记为,，kk 即 k ，，，，,,EX,EXkK ，，，，,,EX,EXkk ，，，，,x,EXp,ii，,ik，，，，，， ,x,EXfxdx,,,,。 k,1,2,？ 。 k,1,2,？ 切比雪夫不等式 2设随机变量具有数学期望，方差，则对X，，，，EX,,DX,, 于任意正数，有下列切比雪夫不等式 , 2,,, ，， PX,,,2, 切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率 ，，的一种估计，它在理论上有重要意义。 PX,,,, (2) (1); (2) ，，，，，，EC,CECX,CEX期望 的性nn,,(3)， ，，，，，，EX，Y,EX，EY，，ECX,CEX,,质 ,,iiii,1,1,,ii (4)，充分条件:X和Y独立;充要条件:X和Y不相关。 ，，，，，，EXY,EXEY (3) (1); ，，，，DC,0EC,C方差 的性2(2); ，，，，，，，，DaX,aDXEaX,aEX质 2(3); ，，，，，，，，DaX，b,aDXEaX，b,aEX，b 22(4) ，，，，DX,E，，X,EX (5)，充分条件:和独立; XY，，，，，，DX,Y,DX，DY 充要条件:和不相关。 XY ，无条件成立。 ，，，，，，，，，，，，，，,,DX,Y,DX，DY,2EX,EXY,EY 而，无条件成立。 ，，，，，，EX，Y,EX，EY 期望 方差 (4) 常见 p分布 ，，，，B1,pp1,p0,1分布 的期 np二项分布 ，，，，Bn,pnp1,p望和 方 差 泊松分布 ，，P, ,, 11,p 几何分布 ，，Gp2pp 超几何分布 nMMN,nnM,,,, 1, ,,,,，， Hn,M,NNNN,1N,,,, 2a，b，，b,a 均匀分布 ，，Ua,b212 11 指数分布，， e,2,, 正态分布 2 , ,2 N，，,,, 2 n 2n分布 x n ，，n,2分布 0 tn,2 (5) 期望 n ，, ，，EX,xp二维,,ii ，，，，EX,xfxdx,1Xi,,,随机 ，,变量n ，，，，EY,yfydyY, ，，EY,yp,,的数,,jj,1j字特 征 函数的期望 ，，，，,,,,EGX,Y,EGX,Y, ，,，, ，，Gx,yP,,ijij ，，，，Gx,yfx,ydxdy,,ij,,,,方差 ，，DX, 2，,2，，，，,, DX,x,EXp,ii, ，，，，,,x,EXfxdxX,,,i 2 ,,，，，，DY,x,EYp,jj, ，，DY,j ，,2 ，，，，,,y,EYfydyY,,,协方差 对于随机变量与，称它们的二阶混合中心矩为与的协XYXY,11 方差或相关矩，记为或，即 ，，,covX,YXY 。 ，，，，,,，，，，,,,,EX,EXY,EYXY11 与记号相对应，X与Y的方差与也可分别记为，，，，,DXDYXY 与。 ,,XXYY 相关系数 对于随机变量与，如果，，则称 XY，，，，DX,0DY,0 ,XY ，，，，DXDY 为与的相关系数，记作(有时可简记为)。 XY,,XY ，当时，称与完全相关: YX,,1,,1 ，，PX,aY，b,1 ,正相关，当,1时a,0，,，，完全相关 ,，，负相关，当,,1时a,0，,, 而当时，称与不相关。 YX,,0 以下五个命题是等价的: ?; ,,0XY ?; ，，covX,Y,0 ?; ，，，，，，EXY,EXEY ?; ，，，，，，DX，Y,DX，DY ?。 ，，，，，，DX,Y,DX，DY协方差矩阵 ,,,,XXXY,, ,,,,YXYY,, 混合矩 kl对于随机变量X与Y，如果有存在，则称之为X与Y的E，，XY 阶混合原点矩，记为;阶混合中心矩记为: vk，1k，1kl kl u,E，，，，,,X,E，，XY，，,EY.kl (6)协(i)，，，，; covX,Y,covY,X方差的 性质 (ii)，，，，; covaX,bY,abcovX,Y (iii)，，，，，，; covX，X,Y,covX,Y，covX,Y1212(iv)，，，，，，，，。 covX,Y,EXY,EXEY (7)独(i)若随机变量与相互独立，则;反之不真。 XY,,0XY立和不 相关 22(ii)若， ，，X,Y~N，，,,,,,,,,,1212 则与相互独立的充要条件是和不相关。 XYXY 第五章 大数定律和中心极限定理 第一节 基本概念 1、概念网络图 切比雪夫大数定律,, ,,大数定律,伯努利大数定律 ,, ,,辛钦大数定律,, 列维,林德伯格定理,,中心极限定理, ,,棣莫弗,拉普拉斯定理,, 二项定理 泊松定理 2、重要公式和结论 ，X，„相互独立，均具有有限方差，且被同一设随机变量X12 常数C所界:D(X) 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 ，推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值，可求代数和; AB5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆: A,,1,,A2,,若，则: A,,,,,As,, ?、; AAAA,12s ,1,,A1,,,1A,12,,A,?、; ,,,,,1,,As,, ,1,1AO,,AO,,?、;(主对角分块) ,,,,,,1OBOB,,,, ,1,1OA,,OB,,?、;(副对角分块) ,,,,,,1BOAO,,,, ,1,,,111AC,,AACB,,,?、;(拉普拉斯) ,,,,,,1OBOB,,,, ,1,1AO,,AO,,?、;(拉普拉斯) ,,,,,,,,111CB,BCAB,,,, 3、矩阵的初等变换与线性方程组 A1. 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的:mn， EO,,r; F,,,OO,,，mn A等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类;标准形为其形状最简 单的矩阵; 对于同型矩阵AB、，若; rArBAB()(), , 2. 行最简形矩阵: ?、只能通过初等行变换获得; ?、每行首个非0元素必须为1; ?、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0; 3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换) r,1AXA,?、若，则可逆，且; (,)(,)AEEX c,1,1AEB?、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成AB，即:; (,)AB(,)(,)ABEAB , rA?、求解线形方程组:对于个未知数个方程，如果，则可逆，nn(,)(,)AbExAxb, ,1且; xAb, 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念: ?、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列 矩阵; ,,,1,,,2,,?、，左乘矩阵，乘的各行元素;右乘，乘的各列元AAA,,,,ii,,,,,n,, 素; ,111,,,,,,,,,1?、对调两行或两列，符号，且，例如:; Eij(,)EijEij(,)(,),11,,,,,,,,,11,,,, 1,1?、倍乘某行或某列，符号，且，例如:Eik(()),EikEi(())(())k 1,1,,1,,,,1,,,,; kk,,(0),,,,k,,1,,,,1,, ,1?、倍加某行或某列，符号,且，如:Eijk(())EijkEijk(())(()),, ,111kk,,,,,,,,,; 11(0),,k,,,,,,,,11,,,, 5. 矩阵秩的基本性质: ?、; 0()min(,),,rAmnmn， T?、; rArA()(), AB?、若，则; rArB()(), P?、若、可逆，则;(可逆矩阵不影响矩阵的秩) rArPArAQrPAQ()()()(),,,Q ?、;(※) max((),())(,)()()rArBrABrArB,,， ?、;(※) rABrArB()()()，,， ?、;(※) rABrArB()min((),()), AB?、如果是矩阵，是矩阵，且，则:(※) ns，mn，AB,0 B ?、的列向量全部是齐次方程组解(转置运算后的结论); AX,0 ?、 rArBn()()，, AB?、若、均为阶方阵，则; rABrArBn()()(),，,n 6. 三种特殊矩阵的方幂: ，?、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式，再采用 结合律; 1ac,,,,?、型如的矩阵:利用二项展开式; 01b,,,,001,, 二项展开式: n0111111,,,,,nnnmnmmnnnnmmnm; ()abCaCabCabCabCbCab，,，，，，，，,,nnnnnn,0m n 注:?、()ab，展开后有项; n，1 nnnmn(1)(1)!,,，mn0?、 CCC,,,,1nnn123!()!mmnm, n,,,11mnmmmmrnrr?、组合的性质:; CCCCCCrCnC,,，,, 2,，,11nnnnnnnn,0r ?、利用特征值和相似对角化: 7. 伴随矩阵: nrAn(), ,,*?、伴随矩阵的秩:; rArAn()1()1,,,,,0()1rAn,,, AA*1*,?、伴随矩阵的特征值:; ,, , ,(,)AXXAAAAXX,,, n,1*1,*?、、 AAA,AA, 8. 关于A矩阵秩的描述: ?、，A中有阶子式不为0，阶子式全部为0;(两句话) rAn(),nn，1 ?、，A中有阶子式全部为0; rAn(),n ?、，A中有阶子式不为0; rAn(),n 9. 线性方程组:，其中A为矩阵，则: mn，Axb, ?、与方程的个数相同，即方程组有个方程; mmAxb, ?、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程; nnAxb,10. 线性方程组的求解: Axb, ?、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换); ?、齐次解为对应齐次方程组的解; ?、特解:自由变量赋初值后求得; 11. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程: nmn axaxaxb，，，, ,11112211nn,axaxaxb，，，, ,21122222nn?、; ,,,axaxaxb，，，,mmnmnn1122, aaaxb,,,,,,1112111n,,,,,,aaaxb2122222n,,,,,,,,,Axb?、A(向量方程，为矩阵，个方程，mmn，,,,,,,,,,,,,aaaxbmmmnmm12,,,,,, 个未知数) n xb,,,,11,,,,bx22,,,,?、(全部按列分块，其中); ,,,aaa,，，12n,,,,,,,,bxn,,,,n ?、axaxax，，，,,(线性表出) 1122nn ?、有解的充要条件:rArAn()(,),,,(为未知数的个数或维数) n 4、向量组的线性相关性 1. 个维列向量所组成的向量组:构成矩阵; A,,,,,,A,(,,,),,,mnnm，12m12m T,,,1,,T,TTT2,,个维行向量所组成的向量组:构成矩阵; B,,,,,,mnmn，B,12m,,,,T,,m,,, 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应; 2. ?、向量组的线性相关、无关 有、无非零解;(齐次线性方程组) ,,Ax0 ?、向量的线性表出 是否有解;(线性方程组) ,,Axb ?、向量组的相互线性表示 是否有解;(矩阵方程) ,,AXB 3. 矩阵与行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组和同解;BAAx,0Bx,0ln，mn， (例14) P101 T4. ;(例15) PrAArA()(),101 5. 维向量线性相关的几何意义: n ?、线性相关 ; ,,,,0 ?、线性相关 坐标成比例或共线(平行); ,,,,,,, ?、线性相关 共面; ,,,,,,,,,,, 6. 线性相关与无关的两套定理: 若线性相关，则必线性相关; ,,,,,,,,,,,,,,12s121ss， 若线性无关，则必线性无关;(向量的个数加加减减，二者为,,,,,,,,,,,,12s121s, 对偶) 若rAB维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组: nnr, ABBA若线性无关，则也线性无关;反之若线性相关，则也线性相关;(向量组的 维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关，反之，不确定; ArBA7. 向量组(个数为)能由向量组(个数为)线性表示，且线性无关，则(二srs, 版定理7); P74 AB向量组能由向量组线性表示，则rArB()(),;(定理3) P86 AB向量组能由向量组线性表示 有解; ,,AXB ,,rArAB()(,)(定理2) P85 AB 向量组能由向量组等价, ,,rArBrAB()()(,)(定理2推论) P85 A8. 方阵可逆存在有限个初等矩阵PPP,,,，使APPP,; ,12l12l rP?、矩阵行等价:(左乘，可逆)与同解 ,,Ax0Bx,0ABPAB~,, c?、矩阵列等价:(右乘，可逆); QABAQB~,, ?、矩阵等价:(、可逆); PABPAQB~,,Q9. 对于矩阵与: BAln，mn， ?、若与行等价，则与的行秩相等; ABAB ?、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有ABABAx,0Bx,0相同的线性相关性; ?、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ?、矩阵的行秩等于列秩; A 10. 若，则: ABC,mssnmn，，， ?、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵; ABC T?、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵;(转置) BAC 11. 齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证Bx,0ABx,0 明; ?、 只有零解只有零解; ABx,0, ,Bx0 ?、 有非零解一定存在非零解; Bx,0, ,ABx012. 设向量组可由向量组线性表示为:(题19结论) Bbbb:,,,Aaaa:,,,Pnrr，12nss，12110 (BAK,) (,,,)(,,,)bbbaaaK,1212rs 其中K为，且A线性无关，则B组线性无关;(B与K的列向量组具有,,rKr()sr， 相同线性相关性) (必要性:;充分性:反证法) rrBrAKrKrKrrKr,,,,？,()()(),(),() 注:当K时，为方阵，可当作定理使用; rs, 13. ?、对矩阵，存在， 、的列向量线性无关;() AQE,,,rAm()QPAQmn，nm，m87 ?、对矩阵，存在， 、P的行向量线性无关; PPAE,,,rAn()Amn，nm，n14. 线性相关 ,,,,,,12s 存在一组不全为0的数，使得成立;(定义) kkk,,,kkk,,,，，，,0,12s1122ss x,,1,,x2,,有非零解，即有非零解; ,Ax,0(,,,)0,,,,s12,,,,xs,, rs(,,,),,,,，系数矩阵的秩小于未知数的个数; ,12s Ar15. 设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为:nmn，SAx,0 ; rSnr(),, **16. 若,为的一个解，,,,,,,为的一个基础解系，则,,,,,,,,线Axb,Ax,012nr,nr,12 性无关;(P题33结论) 111 5、相似矩阵和二次型 ,1TT1. 正交矩阵或AA,(定义)，性质: ,,AAE 1ij,,T?、的列向量都是单位向量，且两两正交，即; Aaaijn,,(,1,2,),ij0ij,, ,1T?、若为正交矩阵，则也为正交阵，且; AAA,A,,1 ?、若、正交阵，则也是正交阵; ABAB 注意:求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化; 2. 施密特正交化: (,,,)aaa12r ; ba,11 [,]ba12 bab,,221[,]bb11 [,][,][,]bababa121rrrr, ; ,,,,,babbbrrr121,[,][,][,]bbbbbb112211rr,, 3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关; 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交; 4. ?、A与B等价 A经过初等变换得到B; , ，P、可逆; ,,PAQBQ ，A、B同型; ,,rArB()() T?、A与B合同 ，其中可逆; ,,CACB TT 与有相同的正、负惯性指数; ,xAxxBx ,1AB?、与相似 ; ,,PAPB 5. 相似一定合同、合同未必相似; TAB若为正交矩阵，则，(合同、相似的约束条件不同，相似的更严C,CACB, 格); AA6. 为对称阵，则为二次型矩阵; T7. 元二次型为正定: nxAx 的正惯性指数为; n,A TE与合同，即存在可逆矩阵，使; C,ACACE, 的所有特征值均为正数; ,A 的各阶顺序主子式均大于0; ,A ;(必要条件) ,,,aA0,0ii