概率与数理统计重点摘要
1、正态分布的计算:
。
2、随机变量函数的概率密度:
是服从某种分布的随机变量,求
的概率密度:
。(参见P66~72)
3、分布函数
具有以下基本性质:
⑴、是变量x,y的非降函数;
⑵、
,对于任意固定的x,y有:
;
⑶、
关于x右连续,关于y右连续;
⑷、对于任意的
,有下述不等式成立:
4、一个重要的分布函数:
的概率密度为:
5、二维随机变量的边缘分布:
边缘概率密度:
边缘分布函数:
二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
6、随机变量的独立性:若
则称随机变量X,Y相互独立。简称X与Y独立。
7、两个独立随机变量之和的概率密度:
其中Z=X+Y
8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布,即
。
9、期望的性质:……(3)、
;(4)、若X,Y相互独立,则
。
10、方差:
。 若X,Y不相关,则
,否则
,
11、协方差:
,若X,Y独立,则
,此时称:X与Y不相关。
12、相关系数:
,
,当且仅当X与Y存在线性关系时
,且
13、k阶原点矩:
,k阶中心矩:
。
14、切比雪夫不等式:
。贝努利大数定律:
。
15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律:因
,所以
。
16、独立同分布序列的中心极限定理:
(1)、当n充分大时,独立同分布的随机变量之和
的分布近似于正态分布
。
(2)、对于
的平均值
,有
,
,即独立同分布的随机变量的均值当n充分大时,近似服从正态分布
。
(3)、由上可知:
。
17、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理:设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件A发生的概率,则对任意
,
, 其中
。
(1)、当n充分大时,m近似服从正态分布,
。
(2)、当n充分大时,
近似服从正态分布,
。
18、参数的矩估计和似然估计:(参见P200)
19、正态总体参数的区间估计:
所估参数
条件
估计函数
置信区间
已知
未知
未知
未知
未知
20、关于正态总值均值及方差的假设检验,参见P243和P248。
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