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定积分定义

定积分定义定积分定义定积分求助编辑百科名片众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数。所以，微分与积分互为逆运算。目录积分的分类不定积分定积分定积分的定义黎曼积分定积分的分点问题微积分基本定理积分的分类不定积分定积分定积分的定义黎曼积分定积分的分点问题微积分基本定理展开编辑本段积分的分类不定积分是一个函数，定积分是一个数值。求一个函数的原函数定积分的几何意义，叫做求它的不定积分;把上...

定积分定义定积分求助编辑百科名片众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数。所以，微分与积分互为逆运算。目录积分的分类不定积分定积分定积分的定义黎曼积分定积分的分点问题微积分基本定理积分的分类不定积分定积分定积分的定义黎曼积分定积分的分点问题微积分基本定理展开编辑本段积分的分类不定积分是一个函数，定积分是一个数值。求一个函数的原函数定积分的几何意义，叫做求它的不定积分;把上下限代入不定积分，求出来的数值，叫做定积分。不定积分就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C(C是常数)的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是任意常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。这也就是说如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。定积分定积分就是求函数F(X)在区间(a,b)中图线下包围定积分的面积。即定积分 y=0 x=a x=b y=F(X)所包围的面积。这个图形称为曲边梯形，定积分特例是曲边三角形定积分定积分。编辑本段定积分的定义设一元函数y=f(x) ,在区间(a,b)内有定义。将区间(a,b)分成n个定积分小区定积分间 (a,x0) (x0,x1)(x1,x2) .....(xi,b) 。设 ?xi=xi,x(i-1)，取区间?xi中曲线上任意一点记做f(ξi)，做和式: 和式若记λ为这些小区间中的最长者。当λ ? 0时，若此和式的极限定积分存在，定积分则称这个和式是函数f(x) 在区间(a,b)上的定积分。记做:? _a^b (f(x)dx) (a在?下方，b在?上方) 其中称a为积分下限，b为积分上限， f(x) 为被积函数，f(x)dx 为被积式，? 为积分号。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的定积分值是确定的，是一个数，而不是一个函数。编辑本段黎曼积分定积分的正式名称是黎曼积分，详见黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分要写成积分的形式呢, 编辑本段定积分的分点问题定积分是把函数在某个区间上的图像[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n?+?时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距Δx是相等的。但是必须指出，即使Δx不相等，积分值仍然相同。我们假设这些“矩形面积和”S=f(x1)Δx1+f(x2)Δx2+„„f[x(n-1)]Δx(n-1),那么当n?+?时，Δx的最大值趋于0，所以所有的Δx趋于0，所以S仍然趋于积分值. 利用这个规律，在我们了解牛顿-莱布尼兹公式之前，我们便可以对某些函数进行积分。例如我们可以证明对于函数f(x)=x^k(k?Q，k?-1)，有?下限a 上限b f(x)dx=(b^(k+1)-a^(k+1))/(k+1)。我们选择等比级数来分点，令公比q=n^?(b/a),则b/a=q^n，b=aq^n。令分点x0=a,x1=aq,x2=aq^2„„xn=aq^n=b,因为f(xj)=xj^k=a^k*q^jk,且Δxj=x(j+1)-xj=aq^(j+1)-aq^j那么“ 定积分矩形面积和” Sn=a^k*(aq-a)+a^k*q^k*(aq^2-aq)+a^k*q^2k*(aq^3-aq^2)+„„+a^k*q^(n-1)k*[aq^n-aq^(n-1)] 提出a^k*(aq-a),则 1)*[1+q^(k+1)+q^2(k+1)+„„q^(n-1)(k+1)] 利用等比级数公式，得到 Sn=a^(k+1)*(q- Sn=(q-1)/(q^(k+1)-1)*(b^(k+1)-a^(k+1))=(b^(k+1)-a^(k+1))/N 其中N=(q^(k+1)-1)/(q-1),设k=u/v(u,v?Z),令q^(1/v)=s,则 N=(s^(k+1)v-1)/(s^v-1)=(s^u+v-1)/(s^v-1)=((s^(u+v)-1)/(s-1))/(( 定积分 s^v-1)/(s-1)) 令n增加，则s,q都趋于1，因而N的极限为(u+v)/v=u/v+1=k+1. 于是?下限a 上限b f(x)dx=(b^(k+1)-a^(k+1))/(k+1)。编辑本段微积分基本定理定积分与积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是: 若F’(x)=f(x) 那么? _a^b(f(x) dx ) = F(b)-F(a) 牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就定积分是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。扩展阅读: 1

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