大学物理上册课后习题答案《精选文档》

大学物理 上册 三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf 课后习题 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 《精选文档》 习题解答 习题一 drdrdvdv1-1 ,,与 有无不同?和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?,r,rdtdtdtdt 试举例说明( ,,解:(1)是位移的模，是位矢的模的增量，即，; ,,r,r,r,r,r,r,rr2121 dsdrdr(2)是速度的模，即. ,v,dtdtdt dr只是速度在径向上的分量. dt ˆdrdrdrˆˆˆ,r，r?有r,rr(式中r叫做单位矢)，则 dtdtdtdr式中就是速度径向上的分量， dt drdr?不同如题1-1图所示. 与dtdt 题1-1图 ,dvdvdv, (3)表示加速度的模，即，是加速度在切向上的分量. aa,dtdtdt ,,?有表轨道节线方向单位矢)，所以 ,,v,v( ,,dvdvd,,v,， ,dtdtdtdv式中就是加速度的切向分量. dt ,,ˆˆdrd,(的运算较复杂，超出教材 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 ，故不予讨论) ？与dtdt yy1-2 设质点的运动方程为x=x()，=()，在计算质点的速度和加速度时，有人先求tt 2drdr22x，yva出r,，然后根据 =，及,而求得结果;又有人先计算速度和加速度2dtdt 的分量，再合成求得结果，即 222222,,,,dxdydxdy,,,,,,,,，va， =及= 你认为两种方法哪一种,,,,22,,,,dtdtdtdt,,,,,,,, 正确,为什么,两者差别何在, ,,,解:后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有， r,xi，yj ,,,dddrxy,？,,，vijdddttt ,222,,dddrxy,,,，aij222dddttt 故它们的模即为 22dxdy,,,,22v,v，v,，,,,,xydtdt,,,, 2222,,,,dxdy22,,,,a,a，a,，xy22,,,,dtdt,,,, 而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 2drdrv,a, 2dtdt 2drdrdr与其二，可能是将误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明不是速度的模，2dtdtdt 2dr而只是速度在径向上的分量，同样，也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中2dt 22，，drd,,,,,,ar的一部分。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢在径向(即r,,,,径2dtdt,,,,，， ,,v量值)方面随时间的变化率，而没有考虑位矢及速度的方向随间的变化率对速度、加速r 度的贡献。 1-3 一质点在平面上运动，运动方程为 xOy 12y=3+5, =+3-4. xttt2 y式中以 s计，x,以m计((1)以时间为变量，写出质点位置矢量的表示式;(2)求出=1 ttts 时刻和,2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移;(3)计算,0 s时刻到,4sttt时刻内的平均速度;(4)求出质点速度矢量表示式，计算,4 s 时质点的速度;(5)计算,tt0s 到,4s 内质点的平均加速度;(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算,4s 时质点tt的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)( ,,1,2r,(3t，5)i，(t，3t,4)j解:(1) m2 t,1t,2(2)将,代入上式即有 ,,,r,8i,0.5j m1 ,,, r,11j，4jm2 ,,,,, ,r,r,r,3j，4.5jm21 ,,,,,,(3)? r,5j,4j,r,17i，16j04 ,,,,,,,r,r,r12i，20j,,140v,,,,3i，5jm,s? ,t4,04,,,dr,,1(4) v,,3i，(t，3)jm,sdt ,,,,1则 m,sv,3i，7j4 ,,,,,,(5)? v,3i，3j,v,3i，7j04 ,,,,v,v,v4,,240a,,,,1jm,s ,t44 ,,dv,,2a,,1jm,s(6) dt 这说明该点只有方向的加速度，且为恒量。 y 1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示(当人以 ,1s(m?)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小( v0 图1-4 l,解: 设人到船之间绳的长度为，此时绳与水面成角，由图可知 222l,h，s 将上式对时间求导，得 t dlds2l,2s 题1-4图 dtdt l根据速度的定义，并注意到,是随减少的， st dlds? vv,v ,,,,,0绳船dtdt vddslll0即 v,,,,,v,0船ddcos,tsts 221/2lvhsv(，)00或 v ,,船ss将再对求导，即得船的加速度 vt船 dldss,ldv,vs，lv0船船dtdta,,v,v0022dtss 2l2(,s，)v220hvs0,,23ss 2,21-5 质点沿轴运动，其加速度和位置的关系为 ,2+6，的单位为，的单位xm,sxaax ,1为 m. 质点在,0处，速度为10m,s,试求质点在任何坐标处的速度值( x dvdvdxdva,,,v解: ? dtdxdtdx 2分离变量: ,d,,adx,(2，6x)dx两边积分得 123v,2x，2x，c 2 x,0c,50由题知，时，v,10,? 0 3,1? v,2x，x，25m,s ,2m,s-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 1a,4+3 ，开始运动时，x,5 m， v t=0，求该质点在,10s 时的速度和位置( t dva,,4，3t 解:? dt 分离变量，得 dv,(4，3t)dt 32v,4t，t，c积分，得 12 t,0v,0c,0由题知，, ,? 01 32故 v,4t，t2 dx32又因为 v,,4t，tdt2 32分离变量， dx,(4t，t)dt2 123x,2t，t，c积分得 22 t,0由题知 , ,? x,5c,502 123故 x,2t，t，52所以时 t,10s 321,v,4，10，，10,190m,s102 123x,2，10，，10，5,705m102 3,,1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+3t，式中以弧度计，以秒计，t 求:(1) ,2 s 时，质点的切向和法向加速度;(2)当加速度的方向和半径成45?角时，t 其角位移是多少? dd,,2,,9t,,,18t 解: ,,dtdt ,2 (1)时， t,2sa,R,,1，18，2,36m,s, 222,2a,R,,1，(9，2),1296m,sn ο45(2)当加速度方向与半径成角时，有 a,tan45:,,1 an 2即 R,,R, 22亦即 (9t),18t 23t,则解得 9于是角位移为 23,,2，3t,2，3，,2.67rad 9 121-8 质点沿半径为的圆周按,的规律运动，式中为质点离圆周上某点的弧Rvt,btss02 bb长,，都是常量，求:(1)时刻质点的加速度;(2) 为何值时，加速度在数值上等于( vtt0 ds解:(1) v,,v,bt0dt dva,,,b,dt 22(,)vbtv0,,anRR 4(v,bt)2220则 a,a，a,b，,n2R加速度与半径的夹角为 a,Rb,,arctan, ,2a(v,bt)n0(2)由题意应有 4(v,bt)20 a,b,b，2R 4(v,bt)2240b,b，,,(v,bt),0即 02R v0a,b,t?当时， b RB1-9 半径为的轮子，以匀速v沿水平线向前滚动:(1)证明轮缘上任意点的运动方程为0 RRRBy,,v,，,，式中/是轮子滚动的角速度，当与x(,t,sin,t)(1,cos,t)0 B水平线接触的瞬间开始计时(此时所在的位置为原点，轮子前进方向为轴正方向;(2)x B求点速度和加速度的分量表示式( 解:依题意作出下图，由图可知 题1-9图 ,,(1) x,vt,2Rsincos0 22 ,,vt,Rsin0 ,R(,t,Rsin,t) ,,y,2Rsinsin 22 ,R(1,cos,),R(1,cos,t) (2) dx,,,v,,R(1,cost)x,,dt ,dy,,v,,Rsint)y,dt, dv,2x,,a,Rt,sinx,,td ,dvy2,,,a,Rcost,y,dt, ,11-10 以初速度,20m,s抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60?的夹角， v0 求:(1)球轨道最高点的曲率半径;(2)落地处的曲率半径( RR21 (提示:利用曲率半径与法向加速度之间的关系) 解:设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示( 题1-10图 (1)在最高点， o v,v,vcos60x10 ,2a,g,10m,sn1 2v1,a又? n1,1 22v(20，cos60:)1,,,1a10? n1 ,10m (2)在落地点， ,1, m,sv,v,2020 o而 a,g，cos60n2 22v(20)2? ,,,,80m2a10，cos60:n2 ,21-11 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为 β= 0.2 rad?，求,2s时边缘st上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度( ,1解:当时， rad,st,2s,,,t,0.2，2,0.4 ,1v,R,,0.4，0.4,0.16则 m,s ,222 m,sa,R,,0.4，(0.4),0.064n ,2m,s a,R,,0.4，0.2,0.08, 2222,2a,a，a,(0.064)，(0.08),0.102m,s n, AB1-12 如题1-12图，物体以相对的速度,沿斜面滑动，为纵坐标，开始时yv2gy hABA在斜面顶端高为处，物体以匀速向右运动，求物滑到地面时的速度( u ,AB解:当滑至斜面底时，，则,物运动过程中又受到的牵连运动影响，y,hv,2ghA A因此，对地的速度为 ,,,'v,u，vAA地 ,,,u，gh,i，gh,j(2cos)(2sin) 题1-12图 -1-11-13 一船以速率v,30km?h沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v,40km?h 12沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何? ,,,v,v,v 解:(1)大船看小艇，则有，依题意作速度矢量图如题1-13图(a) 2121 题1-13图 22,1v,v，v,50km,h由图可知 2112 v31方向北偏西 ,,arctan,arctan,36.87:v42 ,,,(2)小船看大船，则有，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得 v,v,v1212 ,1 km,hv,5012 o方向南偏东 36.87 1-14 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m 但当-1轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m ，如雨滴的速度大小为8 m?s，求 轮船的速率( 解: 依题意作出矢量图如题1-14所示( 题1-14图 ,,,? v,v,v 雨雨船船 ,,,? v,v，v 雨雨船船由图中比例关系可知 ,1 v,v,8m,s雨船 习题二 2-1因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为a，其对于m则为牵连加速度，又知m122 对绳子的相对加速度为a′，故m对地加速度，由图(b)可知，为 2 a=a-a′ ? 21又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力f在数值上等于绳的张力T，由牛顿定律，有 mg-T=ma ? 111 T-mg=ma ? 222联立?、?、?式，得 ,(m,m)g，ma122a,1m，m12 ,(m,m)g,ma121 a,2m，m12 ,mm(2g,a)12f,T,m，m12 讨论 (1)若a′=0，则a=a表示柱体与绳之间无相对滑动( 12 (2)若a′=2g，则T=f=0，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时m,m均作自由落体运动( 12 题2-1图 2-2以梯子为对象，其受力图如图(b)所示，则在竖直方向上， N-mg=0 ? B 又因梯无转动，以B点为转动点，设梯子长为l，则 lNlsinθ-mgcosθ=0 ? A2 在水平方向因其有加速度a，故有 f+N=ma ? A 题2-2图 式中f为梯子受到的摩擦力，其方向有两种可能， 即 f=?μmg ? 0 联立?、?、?、?式得 gg,,tan,,tan, mM2(a，,g)2(a,,g)00 f63x,2a,,,m,s-3 2 x168m f7,y,2a,,m,s y16m (1) 235,1v,v，adt,,2，，2,,m,sxx0x,084 2,77,1,，,，,,,vvadt2msyy0y,0168于是质点在2s时的速度 57,1 v,,i,jm,s48 (2) 1122()r,vt，ati，atj0xy22 1317, (224)()4,,，，，，i，，j28216 137,,i,jm48 ,kvdva,,2-4 (1)? mdt分离变量，得 dv,kdt, vm vtdvkdt,,即 ,,0v0vm ktv,m ln,lnev0 k,tmv,ve? 0 kktmv,,tt0mmx,vdt,vedt,(1,e)(2) 0,,0k(3)质点停止运动时速度为零，即t??， k,mv,t0m,x,vedt,故有 0,0k m (4)当t=时，其速度为 k kmv,,,10mkv,ve,ve, 00e 1即速度减至v的. 0e 2-5分别以m,m为研究对象，其受力图如图(b)所示( 12 (1)设m相对滑轮(即升降机)的加速度为a′，则m对地加速度a=a′-a;因绳不可伸长，222 故m对滑轮的加速度亦为a′，又m在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以m在水平111方向对地加速度亦为a′，由牛顿定律，有 mg-T=m(a′-a) 22 T=ma′ 1 题2-5图 联立，解得a′=g方向向下 (2) m对地加速度为 2 ga=a′-a= 方向向上 22 m在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即a=a′+a 1绝相牵 2g5222,a,a，a,g，,g? 142 a1θ=arctan=arctan=26.6?，左偏上( ,a2 2-6依题意作出示意图如题2-6图 题2-6图 在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下 ，而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为30?，则动量的增量为 Δp=mv-mv 0 由矢量图知，动量增量大小为,mv,，方向竖直向下( 0 2-7由题知，小球落地时间为0.5s(因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为v=gt=0.5g，小球上跳速度的大小亦为v=0.5g(设向上为y轴正向，则动量的增量 12 Δp=mv-mv方向竖直向上， 21 大小 ,Δp,=mv-(-mv)=mg 21 碰撞过程中动量不守恒(这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用(另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒( 2-8 (1)若物体原来静止，则 4t-1Fdt,(10，2t)idt,56Δp= i kg?m?s,沿x轴正向， 1,,00 ,p,11,v,,5.6im,s1 m ,1I,,p,56ikg,m,s11 -1若物体原来具有-6 m?s初速，则 ttF于是 p,,mv,p,m(,v，dt),,mv，Fdt0000,,00m t, ,p,p,p,Fdt,,p201,0 同理，Δv=Δv,I=I 2121 这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大， 那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理( (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即 t2 I,(10，2t)dt,10t，t,0 2亦即t+10t-200=0 解得t=10 s，(t′=-20 s舍去) 2-9 质点的动量为 p=mv=mω(-asinωti+bcosωtj) ,将t=0和t=分别代入上式，得 2, p=mωbj,p=-mωai, 12 则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为 I=Δp=p-p=-mω(ai+bj) 21 2-10 (1)由题意，子弹到枪口时，有 aF=(a-bt)=0,得t= b (2)子弹所受的冲量 t12()I,a,btdt,at,bt ,02 a将t=代入，得 b 2a,I 2b (3)由动量定理可求得子弹的质量 2Iam,, v2bv00 2-11设一块为m，则另一块为m， 12m=km及m+m=m 1212 kmmm,,m,于是得 ? 12k，1k，1又设m的速度为v,m的速度为v，则有 1122 111222T,mv，mv,mv ? 1122222 mv=mv+mv ? 1122联立?、?解得 v=(k+1)v-kv ? 21将?代入?，并整理得 2T2 ,(v,v)1km 2Tvv于是有,, 1km 将其代入?式，有 2kTvv,, 2m 又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取 2kT2Tvv,vv,，,, 12mkm 证毕( -12 (1)由题知，F为恒力， 2合 ? A=F?r=(7i-6j)?(-3i+4j+16k) 合 =-21-24=-45 J A45N,,,75w(2) ,t0.6 (3)由动能定理，ΔE=A=-45 J k 2-13 以木板上界面为坐标原点，向内为y坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为 题2-13图 f=-ky 第一锤外力的功为A 1 1k,,,,,,Afdyfdykydy ? 1,,,ss02式中f′是铁锤作用于钉上的力，f是木板作用于钉上的力，在dt?0时，f′=-f( 设第二锤外力的功为A，则同理，有 2 y1k22,,,Akydyky ? 22,122由题意，有 1k2()A,A,,mv, ? 2122 1kk2即 ky,,2222 所以， y,22 于是钉子第二次能进入的深度为 Δy=y-y=-1=0.414 cm 221 dErnk()Fr2-14 ,,,()n，1drr方向与位矢r的方向相反，即指向力心( 2-15 弹簧A、B及重物C受力如题2-15图所示平衡时，有 题2-15图 F=F=Mg AB 又 F=kΔx A11 F=kΔx B22 所以静止时两弹簧伸长量之比为 ,xk12, ,xk21 弹性势能之比为 12kx,11Ekp212,, 1Ek2p12kx,222 2-16 (1)设在距月球中心为r处F=F，由万有引力定律，有 月引地引 mMmM地月G=G 22r，，R,r 经整理，得 M月Rr= ，MM月地 227.35，108 = ，3.48，1024225.98，10，7.35，10 6 =38.3210 m ， 则p点处至月球表面的距离为 67h=r-r =(38.32-1.74)?10,3.66?10 m 月 (2)质量为1 kg的物体在p点的引力势能为 MM月地 E,,G,GP，，rR,r 22247.35，105.98，101111, =,6.67，10，,6.67，10， 77，，3.83，1038.4,3.83，10 6 =-1.28 ，10J 2-17 取B点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功 能原理，有 1122μmgh= (m+m)v-,mgh+k(Δl), -212122 式中Δl为弹簧在A点时比原长的伸长量，则 2Δl=AC-BC=(-1)h 联立上述两式，得 22，，，，2m,mgh，kh2,112v= m，m12 题2-17图 2-18 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点则由功能原理，有 11,,22-fs= kx,mv，mgssin37:r,,22,, 12mvmgssin37fs，:,r2 k= 12kx2 式中 s=4.8+0.2=5 m，x=0.2 m，再代入有关数据，解得 -1k=1390 N?m 题2-18图 再次运用功能原理，求木块弹回的高度h′ 13-fs′=mgs′sin37?-kx t2 代入有关数据，得 s′=1.4 m, 则木块弹回高度 h′=s′sin37?=0.84 m 题2-19图 2-19 m从M上下滑的过程中，机械能守恒，以m，M地球为系统 ，以最低点为重力势能零点，则有 1122mv，MVmgR= 22 又下滑过程，动量守恒，以m,M为系统则在m脱离M瞬间，水平方向有 mv-MV=0 联立，以上两式，得 2MgRv= ，，m，M 2-20 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有 111222mv,mv，mv 012222 222即 ? v,v，v012 题2-20图(a) 题2-20图(b) 又碰撞过程中，动量守恒，即有 mv=mv+mv 012 亦即 v=v+v? 012 由?可作出矢量三角形如图(b)，又由?式可知三矢量之间满足勾股定理，且以v为斜边，0 故知v与v是互相垂直的( 12 2-21 由题知，质点的位矢为 r=xi+yj 11作用在质点上的力为 f=-fi 所以，质点对原点的角动量为 L=r?mv 0 =(xi+yj)?m(vi+vj) 11xy =(xmv-ymv)k 1y1x 作用在质点上的力的力矩为 M=r?f=(xi+yj)?(-fi)=yfk 0111 2-22 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒;又由 于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有 rmv=rmv 1122 104rv8.75，10，5.46，101211? r,,,5.26，10m22v9.08，102 3,1,p,fdt,5jdt,15jkg,m,s-23 (1) 2 ,,0 (2)解(一) x=x+vt=4+3=7 00x 11522y,vt，at,6，3，，，3,25.5j y0223 即r=4i,r=7i+25.5j 12 v=v=1 x0x 5v,v，at,6，，3,11 y0y3 即v=i+6j, v=i+11j 112 ? L=r?mv=4i?3(i+6j)=72k 111 L=r?mv=(7i+25.5j)?3(i+11j)=154.5k 2222-1?ΔL=L-L=82.5k kg?m?s 21 dzM,解(二) ? dt tt,L,M,dt,(r，F)dt? ,,00 315，，2,(4，t)i，(6t，)，t)j，5jdt,,,023，， 3,12,5(4，t)kdt,82.5kkg,m,s,0 -24图 题2 2-24 在只挂重物M时，小球作圆周运动的向心力为Mg，即 112Mg=mrω? 100 挂上M后，则有 22 (M+M)g=mr′ω′? 12 重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒( 即 rmv=r′mv′ 00 222,, ? ,,,r,r00 联立?、?、?得 Mg1,,0mr0 2MgM，M1123,,,() mrM01 rgM，M20123,r,g,(M，M)M12,m,mM1 2-25 (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b))(图中N、N′是正压力，F、F′是摩擦rr力，F和F是杆在A点转轴处所受支承力，R是轮的重力，P是轮在O轴处所受支承力( xy 题2-25图(a) 题2-25图(b) 杆处于静止状态，所以对A点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有 l，l12,,F(l，l),Nl,0N,F 121l1 对飞轮，按转动定律有β=-FR/I，式中负号表示β与角速度ω方向相反( r ? F=μN N=N′ r ll，12,? F,N,F,,rl1 12又? I,mR,2 FRll,2,(，)r12? ? F,,,,ImRl1 以F=100 N等代入上式，得 20.40(0.500.75)40,，，，,2100 ,,，,,rad,s600.250.503，， 由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为 ,900，2，3,0 t,,,,7.06s60，40, 这段时间内飞轮的角位移为 ,1900，29140922,,,,,,t，t,，,，，()0 2604234 ,53.1，2,rad 可知在这段时间里，飞轮转了53.1转( -1(2)ω=900?(2π)/60 rad?s，要求飞轮转速在t=2 s内减少一半，可知 0 ,0,,015,,,220 ,,,,,rad,s,22tt 用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动力为 ,mRl1F,,,2(l，l)12 60，0.25，0.50，15,, 2，0.40，(0.50，0.75)，2 ,177N 2-26 设aa和β分别为mm和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b)( ，212 题2-26(a)图 题2-26(b)图 (1) m，m和柱体的运动方程如下: 12 ,Tmgma,,12222, mgTma,,2,1111 ,,,TR,Tr,I,312, 式中 T′=T,T′=T,a=rβ,a=Rβ 11222122而 I=(1/2)MR+(1/2)mr 由上式求得 Rm,rm12,g,22I，mR，mr12 0.2，2,0.1，2,，9.8 112222，10，0.20，，4，0.10，2，0.20，2，0.1022 ,2,6.13rad,s (2)由?式 T=mrβ+mg=2?0.10?6.13+2?9.8,20.8 N 222 由?式 T=mg-mRβ=2?9.8-2?0.20?6.13,17.1 N 111 2-27 分别以m，m滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示(对m,m运用牛顿定律，有 1212 mg-T=ma ? 222 T=ma ? 11 对滑轮运用转动定律，有 2Tr-Tr=(1/2Mr)β ? 21 又， a=rβ ? 联立以上4个方程，得 mg200，9.8,22a,,,7.6m,s M15m，m，5，200，1222 题2-27(a)图 题2-27(b)图 题2-28图 2-28 (1)由转动定律，有 2mg(l/2)=[(1/3)ml]β 3g? β= 2l (2)由机械能守恒定律，有 22mg(l/2)sinθ=(1/2)[(1/3)ml]ω 3sin,g?ω= l 题2-29图 2-29 (1)设小球的初速度为v，棒经小球碰撞后得到的初角速度为ω，而小球的速度变为v，0 按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式: mvl=Iω+mvl ? 0222 (1/2)mv=(1/2)Iω+(1/2)mv? 02上两式中I=1/3Ml，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移;碰撞后，棒从竖直位 置上摆到最大角度θ=30?，按机械能守恒定律可列式: 1l2I,,Mg(1,cos30:) ? 22 由?式得 1122，，Mgl3g3，， ,,(1,cos30:),(1,),,,,Il2，，，，由?式 I, ? vv,,0ml 由?式 2I,22vv ? ,,0m 所以 ,I1222v,,v,, ()00mlm 求得 lIl1M,v,(1，),(1，),02223mml 6(2,33m，M,gl12m (2)相碰时小球受到的冲量为 ?Fdt=Δmv=mv-mv 0 由?式求得 ?Fdt=mv-mv=-(Iω)/l=(-1/3)Mlω 0 6(2,3)M=- gl6 负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反( 题2-30图 2-30 (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度 v=Rω 0 设碎片上升高度h时的速度为v，则有 22v=v-2gh 0 令v=0，可求出上升最大高度为 2v1220H,,R, 22gg 222(2)圆盘的转动惯量I=(1/2)MR，碎片抛出后圆盘的转动惯量I′=(1/2)MR-mR，碎片脱离 前，盘的角动量为Iω，碎片刚脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系统 的总角动量，碎片与破盘的总角动量应守恒，即 Iω=I′ω′+mvR 0 式中ω′为破盘的角速度(于是 222(1/2)MRω=[(1/2)MR-mR]ω′+mvR 02222[(1/2)MR-mR]ω=[(1/2)MR-mR]ω′ 得ω′=ω(角速度不变) 圆盘余下部分的角动量为 22[(1/2)MR-mR]ω 转动动能为 题2-31图 222E=(1/2)[(1/2)MR-mR]ω k 2-31 (1)射入的过程对O轴的角动量守恒 2Rsinθmv=(m+m)Rω 000 mvsin,00?ω= (m，m)R0 ,mvsin12200m，mR[()][]02Em，mRm2()sin,k00,,(2) 1Em，m2k00mv002 2-32 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为 重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有 222mgh=(1/2)mv+(1/2)Iω+(1/2)kh 又 ω=v/R 22mgh,khk(2)v,故有 2mR，I 22(2，6.0，9.8，0.4,2.0，0.4)，0.3,2 6.0，0.3，0.5 ,1,2.0m,s 题2-32图 题2-33图 2-33 (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至B点时，有 2Iω=(I+mR)ω ? 000 该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为v，以B点为重力势能零点，B则有 2222(1/2)Iω+mgR=(1/2)(I+mR)ω+(1/2)mv ? 000B联立?、?两式，得 22IR,00,，v2gR B2，ImR0 (2)当小球滑至C点时，?I=I ?ω=ω c0c0 故由机械能守恒，有 2mg(2R)=(1/2)mv c ?v=2 gRc 请读者求出上述两种情况下，小球对地速度( uv,340,152Hz ,,,,，600,54110uv，340，201 习题七 -1下列表述是否正确?为什么?并将错误更正( 7 Q,E，pdV,,Q,,E，,A(1) (2) QQ22,,1,,,1,不可逆QQ11(3) (4) Q,,E，A解:(1)不正确， Q,ΔE，pdV,(2)不正确， Q2,,1,Q1(3)不正确， Q2,,1,不可逆Q1(4)不正确， p,V7-2 图上封闭曲线所包围的面积表示什么?如果该面积越大，是否效率越高? A净,,AQ净1答:封闭曲线所包围的面积表示循环过程中所做的净功(由于，面积越大，效 ,Q1率不一定高，因为还与吸热有关( 7-3 如题7-3图所示，有三个循环过程，指出每一循环过程所作的功是正的、负的，还是 零，说明理由( 0解:各图中所表示的循环过程作功都为(因为各图中整个循环分两部分，各部分面积大小 0相等，而循环方向一个为逆时针，另一个为顺时针，整个循环过程作功为( 题7-3图 p,V7-4 用热力学第一定律和第二定律分别证明，在图上一绝热线与一等温线不能有两 个交点( 题7-4图 解:1.由热力学第一定律有 Q,,E，A ba若有两个交点和，则 a,b经等温过程有 ,E,Q,A,0111 a,b经绝热过程 ,E，A,021 ,E,,A,022 ,E,,Eba12从上得出，这与,两点的内能变化应该相同矛盾( 2.若两条曲线有两个交点，则组成闭合曲线而构成了一循环过程，这循环过程只有吸热，无 100%放热，且对外做正功，热机效率为，违背了热力学第二定律( 7-5 一循环过程如题7-5图所示，试指出: ab,bc,ca(1)各是什么过程; p,V(2)画出对应的图; (3)该循环是否是正循环? (4)该循环作的功是否等于直角三角形面积? Q,Q,Qabbcac(5)用图中的热量表述其热机效率或致冷系数( ba解:(1) 是等体过程 bcV,KTK过程:从图知有，为斜率 pV,vRT由 得 vRp,K bc故过程为等压过程 ca是等温过程 p,V,7,5(2)图如题图 ,7,5题图 (3)该循环是逆循环 p,V(4)该循环作的功不等于直角三角形面积，因为直角三角形不是图中的图形( Qabe,Q，Q,Qbccaab(5) 题7-5图 题7-6图 7-6 两个卡诺循环如题7-6图所示，它们的循环面积相等，试问: (1)它们吸热和放热的差值是否相同; (2)对外作的净功是否相等; (3)效率是否相同? 答:由于卡诺循环曲线所包围的面积相等，系统对外所作的净功相等，也就是吸热和放热的差值相等(但吸热和放热的多少不一定相等，效率也就不相同( 7-7 评论下述说法正确与否? (1)功可以完全变成热，但热不能完全变成功; (2)热量只能从高温物体传到低温物体，不能从低温物体传到高温物体( (3)可逆过程就是能沿反方向进行的过程，不可逆过程就是不能沿反方向进行的过程( 答:(1)不正确(有外界的帮助热能够完全变成功;功可以完全变成热，但热不能自动地完全变成功; (2)不正确(热量能自动从高温物体传到低温物体，不能自动地由低温物体传到高温物体(但在外界的帮助下，热量能从低温物体传到高温物体( (3)不正确(一个系统由某一状态出发，经历某一过程达另一状态，如果存在另一过程，它能消除原过程对外界的一切影响而使系统和外界同时都能回到原来的状态，这样的过程就是 可逆过程(用任何方法都不能使系统和外界同时恢复原状态的过程是不可逆过程(有些过程 虽能沿反方向进行，系统能回到原来的状态，但外界没有同时恢复原状态，还是不可逆过程( 7-8 热力学系统从初平衡态A经历过程P到末平衡态B(如果P为可逆过程，其熵变为: BBQdQd不可逆可逆S,S,S,S,BABA,,AATT，如果P为不可逆过程，其熵变为，你说对吗,哪一个表述要修改，如何修改, P答:不对(熵是状态函数，熵变只与初末状态有关，如果过程为可逆过程其熵变为: BQd可逆S,S,BA,ATP，如果过程为不可逆过程，其熵变为 BQd不可逆S,S,BA,AT BBQdQd可逆不可逆SS,,S,S,BABA,,AATT7-9 根据及，这是否说明可逆过程的熵变大于不可逆过程熵变?为什么?说明理由( 答:这不能说明可逆过程的熵变大于不可逆过程熵变，熵是状态函数，熵变只与初末状态有关，如果可逆过程和不可逆过程初末状态相同，具有相同的熵变(只能说在不可逆过程中，系统的热温比之和小于熵变( acba7-10 如题7-10图所示，一系统由状态沿到达状态b的过程中，有350 J热量传入系统，而系统作功126 J( adb(1)若沿时，系统作功42 J，问有多少热量传入系统? bbaa(2)若系统由状态沿曲线返回状态时，外界对系统作功为84 J，试问系统是吸热还是放热?热量传递是多少? 题7-10图 abcba过程可求出态和态的内能之差 解:由 Q,,E，A ,E,Q,A,350,126,224J abdJA,42过程，系统作功 Q,,E，A,224，42,266J 系统吸收热量 baA,,84J过程，外界对系统作功 Q,,E，A,,224,84,,308J 系统放热 7-11 1 mol单原子理想气体从300 K加热到350 K，问在下列两过程中吸收了多少热量?增加了多少内能?对外作了多少功? (1)体积保持不变; (2)压力保持不变( 解:(1)等体过程 Q,,E由热力学第一定律得 iQ,,E,,C(T,T),,R(T,T)V21212吸热 3Q,,E,，8.31，(350,300),623.25J2 A,0对外作功 (2)等压过程 i，2Q,,C(T,T),,R(T,T)P21212 5Q,，8.31，(350,300),1038.75J2吸热 ,E,,C(T,T)V21 3,E,，8.31，(350,300),623.25J2内能增加 A,Q,,E,1038.75,623.5,415.5J对外作功 ,Mmol7-12 一个绝热容器中盛有摩尔质量为，比热容比为的理想气体，整个容器以速v度运动，若容器突然停止运动，求气体温度的升高量(设气体分子的机械能全部转变为内能)( 12mu2解:整个气体有序运动的能量为，转变为气体分子无序运动使得内能增加，温度变化 m12,E,C,T,muVM2 11122,T,Mu,Mu(,,1)molmol2C2RV 37-13 0.01 m氮气在温度为300 K时，由0.1 MPa(即1 atm)压缩到10 MPa(试分别求氮气经等温及绝热压缩后的(1)体积;(2)温度;(3)各过程对外所作的功( T,300K解:(1)等温压缩 pV,pV1122由求得体积 pV1,311V,,，0.01,1，1023p102m 对外作功 Vp21A,VRTln,pVln1Vp12 5,1，1.013，10，0.01，ln0.01 3J,,4.67，10 57C,R,,V52(2)绝热压缩 ,pV1/,11V,()2,,ppV,pV21122由绝热方程 1,pVp,1/,111V,(),()V21pp22 11,34,()，0.01,1.93，1010m 1,,,,,,,Tp,Tp1122由绝热方程 得 ,,,1Tp,1.40.412T,,300，(10)T,579K22,,1p1 Q,,E，AQ,0热力学第一定律， MA,,C(T,T)V21Mmol所以 pV5M11A,,R(T,T)pV,RT21MRT2mol1， 51.013，10，0.00153A,,，，(579,300),,23.5，10J3002 (p,V)(p,V)11227-14 理想气体由初状态经绝热膨胀至末状态(试证过程中气体所作的功 为 ,pVpV1122,A,,,1，式中为气体的比热容比. 答:证明: 由绝热方程 1,ppV,,,,11,pV,pV,pV,CV1122 得 V2A,pdV,V1 ,VvpVd112,11ApV,,,(,)11r,,1,,1,V1v,VV,121 pVV,,1111,,[(),1]V,,12 ,pV,,，1,,，111A,,(V,V)21,,1又 ,,,，1,,,，1,pVVpVV111222,,,1 ,pVpV1122,A,,1所以 abab7-15 1 mol的理想气体的T-V图如题7-15图所示，为直线，延长线通过原点O(求 过程气体对外做的功( 题7-15图 T,KVK解:设由图可求得直线的斜率为 T0K,2V0 T0,KV2V0得过程方程 pV,,RT由状态方程 RT,p,V得 ab过程气体对外作功 2V0A,pdV,v0 22VVTRTR000dd,,AVVV,,vV002VVV0 2VRTRT000d,,V,V022V0 1/2VVVp,a,a127-16 某理想气体的过程方程为为常数，气体从膨胀到(求其所做的功( 解:气体作功 V2A,pdV,v1 22Vaa112V22AVa,d,(,),(,)V21,,1V1VVVV12 7-17 设有一以理想气体为工质的热机循环，如题7-17图所示(试证其循环效率为 V1,1V2,,,1,p1,1p2 答:等体过程 ,Q,,C(T,T)1V21吸热 pVpV1221,Q,Q,C,()11VRR ,Q,03绝热过程 等压压缩过程 ,Q,,C(T,T)2p21放热 pVpV2122,C,()PRR Q2,,1,Q1循环效率 C(pV,pV)Qp21222,,1,,1,QC(pV,pV)1V1222 (/,1),,12,1,,,(p/p,1)12 题7-17图 题7-19图 7-18 一卡诺热机在1000 K和300 K的两热源之间工作，试计算 (1)热机效率; (2)若低温热源不变，要使热机效率提高到80%，则高温热源温度需提高多少? (3)若高温热源不变，要使热机效率提高到80%，则低温热源温度需降低多少? T2,,1,T1解:(1)卡诺热机效率 300,,1,,70%1000 (2)低温热源温度不变时，若 300,,1,,80%T1 T,1500500K1要求 K，高温热源温度需提高 (3)高温热源温度不变时，若 T2,,1,,80%1000 T,200100K2要求 K，低温热源温度需降低 CDBCAB7-19 如题7-19图所示是一理想气体所经历的循环过程，其中和是等压过程， TTC3DAB2和为绝热过程，已知点和点的温度分别为和(求此循环效率(这是卡诺循环吗? Q2,,1,Q1热机效率 解:(1) ,Q,,C(T,T)AB1P21等压过程 MQ,C(T,T)1PBAMmol吸热 ,Q,vC(T,T)CD2P21等压过程 M,Q,,Q,C(T,T)22PCDMmol放热 T,TT(1,T/T)QCDCDC2,,QT,TT(1,T/T)1BABAB 根据绝热过程方程得到 ,,1,,,,1,,pT,pTADAADD绝热过程 ,,1,,1,,1,,pT,pTBCBBCC绝热过程 TTDp,pp,p,ABCDTTCB又 T3,,1,T2 (2)不是卡诺循环，因为不是工作在两个恒定的热源之间( 7-20 (1)用一卡诺循环的致冷机从7?的热源中提取1000 J的热量传向27?的热源，需要多少功?从-173?向27?呢? (2)一可逆的卡诺机，作热机使用时，如果工作的两热源的温度差愈大，则对于作功就愈有利(当作致冷机使用时，如果两热源的温度差愈大，对于致冷是否也愈有利?为什么? 解:(1)卡诺循环的致冷机 QT22e,,AT,T12静 727???时，需作功 T,T300,28012A,Q,，1000,71.412T280J2 ,17327???时，需作功 T,T300,10012A,Q,，1000,200022T100J2 (2)从上面计算可看到，当高温热源温度一定时，低温热源温度越低，温度差愈大，提取同样的热量，则所需作功也越多，对致冷是不利的( V,20L,T,300K117-21 如题7-21图所示，1 mol双原子分子理想气体，从初态经历三 V,40L,T,300K22种不同的过程到达末态( 图中1?2为等温线，1?4为绝热线，4?2为等压线，1?3为等压线，3?2为等体线(试分别沿这三种过程计算气体的熵变( 题7-21图 1,2解:熵变 dQ,dAdA,pdVpV,RT等温过程 , ， 2VdQ1RT21S,S,,dV21,,1V1TTV1 V2S,S,Rln,Rln2,5.7621,1VJ!,K 1,2,3熵变 32dQdQ,,，SS21,,13TT CTdTTCTTTd32pV32SSCC,,，,ln，ln21pV,,TT13TTTT13 VV12,p,pTT1,31313等压过程 TV32,TV11 pp32,TT3,232等体过程 TpTp2222,,TpTp3331 Vp22S,S,Cln，Cln21PVVp11 pV,pV1,21122在等温过程中 VVV222S,S,ClnCln,Rln,Rln221PVVVV111所以 1,4,2熵变 42dQdQ,,，SS21,,14TT CTdTTT2p21SSCC,,0，,ln,ln21pp,T4TTT44 1,4绝热过程 ,,1TV,,,1,114TVTV,,1144,,1TV41 Vpp,,1/,1/,411pV,pV,,(),()1144Vpp142 pV,pV1,21122在等温过程中 VppV1,/1/,1/,4112,(),(),()VppV1421 ,,1TV,12,()TV41 ,T,1V12S,S,Cln,Cln,Rln221PP,TV41 TTTT11227-22 有两个相同体积的容器，分别装有1 mol的水，初始温度分别为和，,， CmolT令其进行接触，最后达到相同温度(求熵的变化，(设水的摩尔热容为)( 解:两个容器中的总熵变 TTCTCTddmolmolSS,,，0,,TT12TT 2TTT,C(ln，ln),ClnmolmolTTTT1212 因为是两个相同体积的容器，故 C(T,T),C(T,T)mol2mol1 T，T21T,2得 2(T，T)21S,S,Cln0mol4TT12 kg7-23 把0?的0.5的冰块加热到它全部溶化成0?的水，问: (1)水的熵变如何? (2)若热源是温度为20 ?的庞大物体，那么热源的熵变化多大? ,1J,g,,334(3)水和热源的总熵变多大?增加还是减少?(水的熔解热) 解:(1)水的熵变 3Q0.5，334，10,S,,,6121,1JT273,K (2)热源的熵变 3Q,0.5，334，10,S,,,,5702,1JT293,K (3)总熵变 ,1,S,,S，,S,612,570,42J,K12 熵增加