矩阵的初等行变换与矩阵的秩

矩阵的初等行变换与矩阵的秩矩阵的初等行变换与矩阵的秩矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换: 1.互换矩阵两行的位置(对换变换); 2.用非0常数遍乘矩阵的某一行(倍乘变换); 3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行(倍加变换)上。二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵 1.各个非0行(元素不全为0的元素)的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大; 2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以...

矩阵的初等行变换与矩阵的秩矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换: 1.互换矩阵两行的位置(对换变换); 2.用非0常数遍乘矩阵的某一行(倍乘变换); 3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行(倍加变换)上。二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵 1.各个非0行(元素不全为0的元素)的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大; 2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。例题注意:一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如: 三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩(A)或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4 1,231,102,,,,,,,,029,408,9、、,,,,,,,,0000001,,,,,20031,, ,, 038,70,, ,,0010,3 ,,,, 00005,, 例题求矩阵 3,3070,, ,, 1,1021,, A, ,,1,1232 ,,,, 2,2253,, T A秩及秩() 解 3,3070,, ,, 1,1021,, A, ,,1,1232 ,,,, 2,2253,, 1,1021,, ,, 3,3070,,，，?,? ,,,, ,,1,1232 ,,,, 2,2253,, 11021,,,?，?(,3),,?，?(,1)00013,,,?，?(,2) ,,,,,, ,,00211 ,,,, 00211,, 11021,,, ,, 00013,,,?，?(,1) ,,,,, ,,00211 ,,,, 00000,, 1,1021,, ,, 00211,,，，?,? ,,,, ,,0001,3 ,,,, 00000,, 所以，秩(A)=3 3112,,,,,3,1,1,2,, T,,A, 0022,, 7235,,,, 0123,, 3112,, ,, 0000,,?，? ?，?，(,2),, ,,,,,,0022 ,, 1011,, ,, 0123,, 1011,, ,, 0123,,?,? ?,?,, ,,,,0022 ,, 3112,, ,, 0000,, 1011,, ,, 0123,, ?，?，(,3),, ,,,,,,0022 ,, 01,2,1,, ,, 0000,, 1011,, ,, 0123,, ?，?，(,1),, ,,,,,,0022 ,, 00,4,4,, ,, 0000,, 1011,, ,, 0123,,?，?，2,, ,,,,,0022 ,, 0000,, ,, 0000,, T ，，秩A,3所以，可以证明:对于任意矩阵A， T ，，，，秩A,秩A;矩阵的秩是唯一的。问题: 1,22,, ,, 036,, ,,矩阵:的秩等于4,,72,3 ,, 865,, ,, ,4,10,,对否，为什么, 满秩矩阵(非奇异矩阵、非退化矩阵) 设A是n阶矩阵，若秩(A)=n，则称A为满秩矩阵(非奇异矩阵、非退化矩阵) 重要定理二定理9.2 任何满秩矩阵都能经过初等行变换化成单位矩阵。例 021,,, ,, A112,,, ,, ,1,1,1,, 112,, ,,，，?,? ,,,,02,1,, ,, ,1,1,1,, 112,, ,,?，? ,,,,02,1,, ,, 001,, 3阶矩阵A的秩:秩(A)=3，所以A是满秩矩阵。 112110,,,,?，?,,,,?，?(,2) 02,1,,,,,020,,,,,,,,001001,,,, 110100,,,,1 ?，,,,,?，?(,1)2010010,,,,,,,,,,,,, ,,,, 001001,,,, 练习P329,练习9.5 4.设 124,, ,, A,2,1求,,使秩(A)有最小值,, ,, 110,, 解:对A进行初等行变换，化为阶梯形矩阵 124,, ,,, A,21,, ,, 110,, 124,, ,,?,? ,,,,110,, ,,, 21,, 124,,?，?(,1),,?，?(,2) ,,,,,,,014,, ,,,0,4,7,, 124,, ,,?，?(,4), ,,,,,,0,1,4,, ,, 00,4,，9,, 9 令,4,，9,0,得,,时,秩(A),2最小 4

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