反三角函数求导公式的证实1[精华]

反三角函数求导公式的证实1[精华]反三角函数求导公式的证实1[精华] 一、反函数的导数设是直接函数，是它的反函数，假定在内单调、可导，而且，则反函数Ixy,,()yfx,()xy,,(),'()0y,yfx,()y 1在间内也是单调、可导的，而且 IxxyyI,,,{|(),},,fx'()xy,'()y x证明: ，给以增量由在上的单调性可知,,xIx xxxxI(0,),，,yfx,() yfxxfxx,，,,()()0Ixxx y1于是因直接函数在上单调、可导，故它是连续的，且反函数在上也是连续的，,xy,,()yfx,()IIyx x...

反三角函数求导公式的证实1[精华] 一、反函数的导数设是直接函数，是它的反函数，假定在内单调、可导，而且，则反函数Ixy,,()yfx,()xy,,(),'()0y,yfx,()y 1在间内也是单调、可导的，而且 IxxyyI,,,{|(),},,fx'()xy,'()y x证明: ，给以增量由在上的单调性可知,,xIx xxxxI(0,),，,yfx,() yfxxfxx,，,,()()0Ixxx y1于是因直接函数在上单调、可导，故它是连续的，且反函数在上也是连续的，,xy,,()yfx,()IIyx x x y 1,y11 x,0当时，必有即: , y,0fx'()limlim,, xx,,00 y,'()y,,xy'() x【例1】试证明下列基本导数公式 111 xxx,,,(1)(arcsin)'(2)(arctan)'(3)(log)'a22，xxa1ln,x1 ,,I,,(,)证1、设为直接函数，是它的反函数函数在上单调、可导，且 xy,sinyx,arcsinxy,sinxy'cos0,,y22 ,,122cos1sin1yyx,,,,y,,(,)因此，在上，有注意到，当时，，I,,(1,1)cos0y,(arcsin)'x,x22cosy 1因此， (arcsin)'x,21,x ,,1I,,(,)Ixy,tanyxI,,,,，,arctan,(,)xy,tan证2 设，则在上单调、可导且故x'0,,yyx222cosy 1112 (arctan)'cosxy,,,,22(tan)'1tan1yyx，， 11证3 x,, (log)'ayyaaa()'ln 类似地，我们可以证明下列导数公式: 111 (arccos)'(arctan)'(ln)'xxx,,,,,221，xx1,x 二、复合函数的求导法则如果在点可导，而在点可导，则复合函数在点可导，且导数为xux,,()xux,,()yfu,()yfx,[()],0000 dy ,,'()'(),fux00dxxx,0 lim'(),fu证明:因，由极限与无穷小的关系，有 yfuuuu,，,,'()(00),,当时，00 u,, dyuu x,0用去除上式两边得: ,,，fu'(),0dxxx 由在的可导性有: ux,,()limlim0,,,, xu,,,00,x0 xu,,,, ,,,yuu,,uu limlim['()],'()limlimlim,,,，,fu,,，fu00 xx,,,, xxx,,,000,,xx,,,xxx dy ,,'()'(),fux00dxxx,0 上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述:若在开区间可导，在开区间可导，且时，对应的II,,xIux,,()yfu,()xxu dydydu，则复合函数在内可导，且,, (2) uI,Iufx,[()],uxdxdudx dy【例2】，求 yfx,{[()]},,dx 引入中间变量，设，于是 vxuv,,,,(),()yfu,()变量关系是 yuvx,,,，由锁链规则有: dydydudv ,,,dxdudvdx dy【例3】求的导数。 yx,sin2dx ux,2ux,2解:设，则，: yu,sin dydydu ,,,,,(sin)'(2)'2cos2uxxdxdudx xdyytg,ln【例4】设，求。 dx2 1111 y',,,,xx22sinxtgcos22 uu,1u【例5】证明幂函数的导数公式，(为实数)。 ()'xux, 1uuxuxuxulnlnln1,yxeyeuxeuux,,,,,,,'(ln)'证明:设x

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