[工作]简单数列找规律
第二讲 简单数列找规律
日常生活中,我们经常接触到许多按一定顺序排列的数,如:
自然数:1,2,3,4,5,6,7,… (1)
年份:1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996 (2)
某年级各班的学生人数(按班级顺序一、二、三、四、五班排列)45,45,44,46,45 (3)
像上面的这些例子,按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项,其中第1个数称为这个数列的第1项,第2个数称为第2项,…,第n个数就称为第n项.如数列(3)中,第1项是45,第2项也是45,第3项是44,第4项是46,第5项45。
根据数列中项的个数分类,我们把项数有限的数列(即有有穷多个项的数列)称为有穷数列,把项数无限的数列(即有无穷多个项的数列)称为无穷数列,上面的几个例子中,(2)(3)是有穷数列,(1)是无穷数列。
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性,以作为解决问题的依据,本讲将从简单数列出发,来找出数列的规律。
例1 观察下面的数列,找出其中的规律,并根据规律,在括号中填上合适的数.
(1)2,5,8,11,( ),17,20。
(2)19,17,15,13,( ),9,7。
分析
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与解答
(1)不难发现,从第2项开始,每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此,括号中应填的数是14,即:11,3=14。
(2)同?考虑,可以看出,每相邻两项的差是一定值2.所以,括号中应填11,即:13—2=11。
不妨把?与?联系起来继续观察,容易看出:数列?中,随项数的增大,每一项的数值也相应增大,即数列?是递增的;数列?中,随项数的增大,每一项的值却依次减小,即数列?是递减的.但是除了上述的不同点之外,这两个数列却有一个共同的性质:即相邻两项的差都是一个定值.我们把类似??这样的数列,称为等差数列.
试一试 按规律填空
(1)2,4,6,( ),10,( )
(2)1,7,13,19,( ),( )
(3)87,83,79,75,( ),( )
例2 观察下面的数列,找出其中的规律,并根据规律,在括号中填上合适的数.
(1)1,3,9,27,( ),243。
(2)1,2,4,7,11,16,( ),( )。
(3)1,1,2,3,5,8,( ),21,34…
分析与解答
(1)1,3,9,27,(),243。
此数列中,从相邻两项的差是看不出规律的,但是,从第2项开始,每一项都是其前面一项的3倍.即:3=1×3,9= 3×3, 27=9×3.因此,括号中应填 81,即 81= 27×3,代入后, 243也符合规律,即 243,81×3。
(2)1,2,4,7,11,16,( ),( )。
通过观察可以发现,这个数列的第二项是第一项加1,即1+1=2;第二项加2等于第三项,即2+2=4;
依次加下去,4+3=7,7+4=11,11+5=16,所以下一项是16+6=22,22+7=29。
(3)1, 1, 2, 3, 5, 8,( ), 21, 34…
首先可以看出,这个数列既不是等差数列,也不是等比数列.现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关系,可以发现,从第3项开始,每一项等于它前面两项的和.即2=1+1,3=2+1,5=2+3,8=3,5.因此,括号中应填的数是 13,即 13=5+8, 21=8+13, 34=13+21。
这个以1,1分别为第1、第2项,以后各项都等于其前两项之和的无穷数列,就是数学上有名的斐波那契数列,它来源于一个有趣的问题:如果一对成熟的兔子一个月能生一对小兔,小兔一个月后就长成了大兔子,于是,下一个月也能生一对小兔子,这样下去,假定一切情况均理想的话,每一对兔子都是一公一母,兔子的数目将按一定的规律迅速增长,按顺序记录每个月中所有兔子的数目(以对为单位,一月记一次),就得到了一个数列,这个数列就是数列?的原型,因此,数列?又称为兔子数列,这些在高年级递推方法中我们还要作详细介绍。 试一试 按规律填空。
(1)3,9,27,( )
(2)1,3,4,7,11,( ),( )
(3)3,4,6,9,13,18,( ),( )
(4)1,4,9,16,( ),( )
例3 观察下面的数列,找出其中的规律,并根据规律,在括号中填上合适的数. (1)1,3,6,10,( ),21,28,36,( ).
(2)1,2,2,4,3,8,4,16,5,( ).
(3)2,1,4,3,6,9,8,27,10,( ).
分析与解答
(1)方法1:继续考察相邻项之间的关系,可以发现:
因此,可以猜想,这个数列的规律为:每一项等于它的项数与其前一项的和,那么,第5项为15,
即15=10+5,最后一项即第 9项为 45,即 45,36,9.代入验算,正确。 方法2:其实,这一列数有如下的规律:
第1项:1=1 第2项:3=1,2 第3项:6=1+2+3
第4项:10=1+2+3+4 第5项:( )
第6项:21=1+2+3+4+5+6 第7项:28=1+2+3+4+5+6+7
第8项;36=1+2+3+4+5+6+7+8 第9项:( ) 即这个数列的规律是:每一项都等于从1开始,以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此,
第五项为15,即:15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5; 第九项为45,即:45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。
(2)1, 2, 2, 4, 3, 8,4, 16, 5,( )。
前面的方法均不适用于这个数列,在观察的过程中,可以发现,本数列中的某些数是很有规律的,如1,2,3,4,5,而它们恰好是第1项、第3项、第5项、第7项和第9项,所以不妨
,3,5,7,9项)和偶数项(即第2,4,6,8项)来考虑,把数列把数列分为奇数项(即第1
按奇数和偶数项重新分组排列如下:
奇数项:1,2,3,4,5
偶数项:2,4,8,16 可以看出,奇数项构成一等差数列,偶数项构成一等比数列.因此,括号中的数,即第10项应为32(32=16×2)。
(3) 2, 1, 4, 3, 6, 9, 8, 27, 10,( )。
同上考虑,把数列分为奇、偶项:
偶数项:2,4,6,8,10
奇数项:1,3,9,27,( ).所以,偶数项为等差数列,奇数项为等比数列,括号中应填81(81=27×3)。
像(2)(3)这样的数列,每个数列中都含有两个系列,这两个系列的规律各不相同,类似这样
的数列,称为双系列数列或双重数列。
例4 下面数列的每一项由3个数组成的数组
表
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示,它们依次是:
(1,3,5),(2,6,10),(3,9,15)…问:第100个数组内3个数的和是多少,
方法1:注意观察,发现这些数组的第1个分量依次是:1,2,3…构成等差数列,所以第 100个数组中的第 1个数为100;这些数组的第2个分量 3,6,9…也构成等差数列,且3=3×1,6=3×2,9=3×3,所以第100个数组中的第2个数为3×100=300;同理,第3个分量为5×100=500,所以,第100个数组内三个数的和为100+300+500=900。
方法2:因为题目中问的只是和,所以可以不去求组里的三个数而直接求和,考察各组的三个数之和。
第1组:1+3+5=9,第2组:2+6+10=18
第3组:3+ 9+ 15= 27…,由于9=9×1,18= 9×2,27= 9×3,所以9,18,27…构成一等
差数列,第100项为9×100=900,即第100个数组内三个数的和为900。 例5 下图是由一些数排成的三角形,叫杨辉三角形,试根据前五行的规律,回答下列问题。
? 这个三角阵的排列有何规律,
? 根据找出的规律写出三角阵的第6行、第7行。
分析与解答
?首先可以看出,这个三角阵的两边全由1组成;其次,这个三角阵中,第一行由1个数组成,第2行有两个数…第几行就由几个数组成;最后,也是最重要的一点是:三角阵中的每一个数(两边上的数1除外),都等于上一行中与它相邻的两数之和.如:2=1+1,3=2+1,4=3+1,6=3,3。
?根据由?得出的规律,可以发现,这个三角阵中第6行的数为1,5,10,10,5,1;第7行的数为1,6,15,20,15,6,1。
例6在下面各题的五个数中,选出与其他四个数规律不同的数,并把它划掉,再从括号中选一个合适的数替换。
?42,20,18,48,24 (21,54,45,10)
?15,75,60,45,27 (50,70,30,9)
?42,126,168,63,882 (27,210,33,25)
解:?中,42、18、48、24都是6的倍数,只有20不是,所以,划掉20,用54代替。
? 15、 75、 60、 45都是 15的整数倍数,而 27不是,用30来替换27。
?同上分析,发现这些数中, 42、 126、 128、 882都是42的整数倍,而63却不是.因此,
用210来代替63。
知识大总结
1.等差数列:任何相邻两项中,后一项减去前一项的差都相等的数列; 2. 间隔数列:把多个简单数列交叉合并组成的数列;
3. 数表找规律:先找到构成数表的的数之间的关系,再找到数表排列上的规律。
练习
1、按规律填空
(1)4,7,10,13,( )
(2)2,4,6,( ),10,( )
(3)76,71,66,61,( ),( )
(4)14,15,13,16,12,17,11,( ),( )
2、按规律填空
(1)3,4,6,9,( ),( ) (2)2,4,8,14,( ),( ) (3)3,6,12,24,( ),( ) (4)8,13,21,34,( ),89,( ) (5)5,7,1,3,( ),7,1,3,5,( )