matlab与高数求导

matlab与高数求导 《MATLAB语言》课程 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 MATLAB在高数求导中的应用 姓名:闫超 学号:12010245302 专业:自动化 班级:2010级自动化1班 指导老师:朱瑜红 学院:物理电气信息学院 完成日期:2012年12月10日 MATLAB在高数求导中的应用 [摘要]:MATLAB语言是目前 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 应用与科学计算上流行比较广泛的科学语言，它具有强大的数据处理、方便的图形可视化、简捷的语法结构及高效的编程能力等特点。而且MATLAB是一套高性能的数值计算和可视化数学软件，该文运用 Matlab计算导数、，展示了Matlab在高等数学微导数部分计算的应用。 [关键词] MATLAB语言 导数 ?3 函数的导数与最值 本部分内容主要讲述(偏)导数及其应用和最值的常用求法。 1( 函数求导 (n),f(x)函数的导数问题的类型大致有一元函数的导数(一阶导数和高阶导数)f(x) nn,f,f,f,f,,多元函数的导数(包括无穷极限:一阶偏导数等、高阶偏导数等、混合偏nn,x,y,x,y 2,f导数等、复合函数求导、参数函数求导及隐函数求导。以上是数学中出现的不同形式,x,y 的导数。但求导数的命令在Matlab中是相同的，都是由命令diff来完成。该函数的格式及功能有: (1) 格式:diff(f, 'v',n) 功能:diff函数求函数f对变量'v'的n阶(偏)导数。 (2) 格式:diff(f, 'v') 功能:对 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式f中指定符号变量v计算f的1阶(偏)导数。 (3) 格式:diff(f) 功能:对表达式f中的符号变量v计算f的1阶(偏)导数，其中v=findsym(f)。 (4) 格式:diff(f, n) 功能:对表达式f中的符号变量v计算f的n阶(偏)导数，其中v=findsym(f)。 (5) 格式:梯度jacobian(f,v) 功能:求向量函数的各分量的梯f,(f(x,x,？,x),f(x,x,？,x),？f(x,x,？,x))112n112nm12n度: fff,,,，，111？,,xxx,,,12n,,,f,f,f222,,？ ,,xxx,,,12n,,？？？？,,fff,,,mmm？,,xxx,,,12n，， 2( 函数求导编程实例 (1)求一元函数的导数. y,f(x) ,)的一阶导数. 2dsinx例1 求导数; dx 打开matlab指令窗，输入指令: >>x = sym('x'); %定义x 为符号变量 2sindx>>diff(sin(x^2)) %求导数 dx 得结果: ans = 2*cos(x^2)*x 利用matlab 命令diff一次可以求出若干个函数的导数. 例2 求下列函数的导数: 2xsinxy4,lnlnsinx(1); (2); (3);(4)。 y1,cosx，2cos2xy3,4y2,x 输入命令: >> syms x >> a=diff([cos(x^2)+2*cos(2*x), x^x,4^(sin(x)),log(log(sin(x)))]) 得结果: a = [ -2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x), x^x*(log(x)+1), 4^sin(x)*cos(x)*log(4), cos(x)/sin(x)/log(sin(x))] >>dy1_dx=a(1) 得结果: dy1_dx = -2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x) >>dy2_dx=a(2) 得结果: dy2_dx = x^x*(log(x)+1) >>dy3_dx=a(3) 得结果: dy3_dx = 4^sin(x)*cos(x)*log(4) >>dy4_dx=a(4) 得结果: dy4_dx = cos(x)/sin(x)/log(sin(x)) 由本例可以看出，matlab函数是对矩阵或向量进行操作的，a(i)表示向量a的第i个 分量. y,f(x),)的高阶导数 3(100)例3 设,求. f(x),xcos4xf(x) 输入指令: >> syms x >> diff(x^3*cos(x),x,100) 得结果: ans = -970200*sin(x)-29700*x*cos(x)+300*x^2*sin(x)+x^3*cos(x) 3)参数方程所确定的函数的导数. x,x(t),,dyy(t)y,f(x),设参数方程确定函数，则的导数. y,,dxx(t)y,y(t), 例4 求下列由参数方程确定的函数的一阶导数和二阶导数: x,t(1,sint), ,y,tcost, 输入指令: >>syms t >>x=t*(1-sin(t)); >>y=t*cos(t); >>df1=diff(y,t)/diff(x,t) 得结果: df1 = (cos(t)-t*sin(t))/(1-sin(t)-t*cos(t)) >>df2=diff(df1,t)/diff(x,t) 得结果: df2 = ((-2*sin(t)-t*cos(t))/(1-sin(t)-t*cos(t))-(cos(t)-t*sin(t))/(1-sin(t)-t*co s(t))^2*(-2*cos(t)+t*sin(t)))/(1-sin(t)-t*cos(t)) (2) 求多元函数的偏导数 ,)一阶偏导数 3 例5 设,求的一阶偏导数. u,xy，y，ycoszu 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 一、输入命令: >>syms x y z >>du_dx=diff(x*y+y^3+y*cos(z), x) 得结果: du_dx = y >> du_dx=diff(x*y+y^3+y*cos(z), y) 得结果: du_dx = x+3*y^2+cos(z) >> du_dx=diff(x*y+y^3+y*cos(z),z) 得结果: du_dx = -y*sin(z) 方法二、输入命令: >>syms x y z >>jacobian(x*y+y^3+y*cos(z),[x,y,z]) 得结果: ans = [ y, x+3*y^2+cos(z), -y*sin(z)] ,u,u,u(,,)给出矩阵. ,x,y,z 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 :使用jacobian命令求偏导数更为方便. (,,)cosfxyzxyz,,,,1,,,,z 例6 求(,,)(,,)jacobian矩阵。 fxyz,fxyz,ye,,,,22,,,,(,,)sinfxyzxy，z3,,,, 输入命令: >>syms x y z >> jacobian([x*y*cos(z),y*exp(z),x*sqrt(y^2+sin(z))],[x,y,z]) 得结果: ans = [ y*cos(z), x*cos(z), -x*y*sin(z)] [ 0, exp(z), y*exp(z)] [(y^2+sin(z))^(1/2), x/(y^2+sin(z))^(1/2)*y, 1/2*x/(y^2+sin(z))^(1/2)*cos(z)] 即得jacobian矩阵: ，，,f,f,f111，，,,,x,y,z,,ycoszxcosz,xysinz,,,,,f,f,fzz222,,0,eye ,,,,,x,y,zxyxcosz,,2,,siny，z,f,f,f,,33322,,y，sinz2y，sinz，，,x,y,z,,，， 2)求高阶偏导数. 例7 求函数的导数: 22,,22,x2,y2,,,,(ye)x(xe)(i) ; (ii) ; (iii) ; x,0,y,2,,esiny22,,,,xy,x,y,x,, 2,2,y(xe)(i) 求 2,x 输入命令: >>syms x y >>diff(x^2*exp(-y),x,2) 得结果: ans = 2*exp(-y) 2,2,x(ye)(ii) 求 x,0,y,2,,xy 22,,2,x2,x(ye)(ye)方法一:先求出，再代值。 x,0,y,2,x,y,,xy>>syms x y >>diff(diff(y^2*exp(-x),x,1),y,1) 得结果: ans = -2*y*exp(-x) >>x=0,y=2; >>-2*y*exp(-x) 得结果: ans = -4 2,2,x(ye),,4即得结果:。 x,0,y,2,x,y ,,2,x2,x(ye),(ye)2x,0x,0,y,2,2,x,x,x(ye),lim方法二:利用定义 x,0,y,2y,2,x,yy,2 输入命令: >>syms x y >>diff(y^2*exp(-x),x,1) 得结果: ans = -y^2*exp(-x) 输入命令: >>limit((-y^2+4)/(y-2),y,2) 得结果: ans = -4 2,2,x(ye),,4即得结果: x,0,y,2,x,y 说明:从此题可以看出，Matlab的符号微分，只能进行符号运算，不能进行数值计算，即 不能直接代值。 22,,,,x(iii)求 ,,esiny2,,,y,x,, 输入命令: >>syms x y >> diff(diff(exp(x^2)*sin(y),x,2),y,1) 得结果: ans = 2*exp(x^2)*cos(y)+4*x^2*exp(x^2)*cos(y) (3)求隐函数的导数或偏导数 dy,xy,f(x) 例8 设确定函数，求。 sin(xy)，ye,20dx ,Fdyy,x,,解:令，先求，，再求得,, FFF(x,y),sin(xy)，ye,20yx,dxFx输入命令: >>syms x y >>dy_dx=-diff(sin(x*y)+y*exp(-x)-20,y)/ diff(sin(x*y)+y*exp(-x)-20,x) dy有: 得dx dy_dx = (-cos(x*y)*x-exp(-x))/(cos(x*y)*y-y*exp(-x)) ,z,z2222z,f(x,y), 例9 设确定函数，求。 x，y，z,a,x,y输入命令: >>syms x y a >> f=x^2+y^2+z^2-a^2; ,z>>zx=-diff(f,x)/diff(f,z) %求按隐函数求导公式求z对x的偏导数 ,x 得结果: zx = -x/z ,z>>zy=-diff(f,y)/diff(f,z) %求按隐函数求导公式求z对y的偏导数 ,y 得结果: zy = -y/z 另一方法: >>syms x y a >> d=jacobian(x^2+y^2+z^2-a^2，[x，y，z]); >>dd=[-d(1)/d(3), -d(2)/d(3)] 得结果: dd = [ -x/z, -y/z] 导数的简单应用 3( 例10 电视机的最优价格模型 某电视机厂生产一台电视机的成本为c,每台电视机的售价为p.该厂的生产处于平衡状态,即电视机的生产量等于销售量.由于市场竞争的影响,电视机售价越高,销售量x就会越低. -ap根据市场调查可以确定x=Me(M,a,0),其中M是市场的最大需求量,a是价格系数.另一方面,销售量x越大,每太电视机的生产成本就会越低.根据对生产环节的分析可知: C=c-klnx(c,k,0,x,1), 00 其中c0是只生产一台电视机时的成本,k是规格系数. 根据上述条件,应该如何确定电视机的售价p,才能使该厂获得最大的利润? 解 设利润为u,电视机售价为p,成本为c,销售量为x.则 μ=(p-c)x 由于市场机制的约束,x,p,c之间有如下关系 -ap (1) x=Me C=c-klnx (2) 0 因此,求最大利润是一个带约束的条件极值问题,我们采用lagrange乘法求解. 令 -apL(x,p,c)=(p-c)x+λ(x- Me)+μ(c-c+klnx), 0 ,L=(p-c)+λ+kμ/x=0, (3) ,x ,L-ap=x+λMe =0 (4) ,p ,L=-x+μ=0 (5) ,c 将(6-4)式代入(6-5)式,得 C=c0-k(lnM-ap), (6) 1由(6-7)式可知λ=-, (7) a 由(6-8)式可知x=μ (8) 将(6-9),(6-10),(6-11)式代入(6-6)式 p-c+k(lnM-ap)-1/a+k=0, 0 c0,klnM，1/a-k由此可得p*= (9) 1,ak 这就是电视机的最优价格. 具体事例求解: 已知仅生产一台电视机的单位成本是5000元/台，生产10000台电视机时的单位 成本是3000元/台。根据市场调查，当地的电视机的年需求量为100万台，该厂的 电视机去年每台售价为3000元，共售出4.9万元。若生产方式与需求方式均不改变， 试确定出今年电视机的最佳销售价格。 解 最佳销售价依上述确定p表达式确定。现c0=5000元，M=100万，但仍要求得 a及k的值。 现编程如下: c0=5000;M=1000000; %成产成本为5000元，电视机需求量为100万 c=3000;x=10000; %生产一万台时的成本为3000 k=(c-c0)/(-log(x)); %求出k的值 x=49000;p=3000; %去年电视机每台售价为3000元，共售出4.9万元 a=(log(M)-log(x))/p; %求出a的值 p=(-1+a*k-a*c0+a*k*log(M))/a/(-1+a*k); %由以上表达式求出p的值