基本不等式求最值的类型与方法

基本不等式求最值的类型与方法 11xx,,111专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 :基本不等式求最值的类型及方法 解析:yxx,，,(1),,，，,(1)1(1)xx,，，，,1(1)x2222(1)x,2(1)x,222(1)x, 一、几个重要的基本不等式: 35xx,,1113， ,，1,,,，31,222a，b22222(1)x,22?当且仅当a = b时，“=”号成立; a，b,2ab,ab,(a、b,R)，2 x,115当且仅当即x,2时，“=”号成立，故此函数最小值是。 2,,(1)x2a，b,,22(1)x,2，?当且仅当a = b时，“=”号成立; a，b,2ab,ab,(a、b,R)，,,2,,评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常 要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 333a，b，c333，?当且仅当a = b = c时,“=”号成立; a，b，c,3abc,abc,(a、b、c,R)，类型?:求几个正数积的最大值。 3例2、求下列函数的最大值: 3,322a，b，c? ? yxxx,,,sincos(0)yxxx,,,,(32)(0),,，3? ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立. a，b，c,3abc,abc,(a、b、c,R),,223,,3解析:?， 0,320,,,,xx?注:? 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; 2 3xxx，，,(32)22232ab，a，b?， ,,[]1yxxxxxx,,,,,,,,(32)(0)(32)? 熟悉一个重要的不等式链:,,,ab。 321122，xx,,32x,1当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ab,2yy,0?，则，欲求y的最大值，可先求的最大值。 0,sin0,cos0,,,,xxx?b2二、函数图象及性质 fxaxab()(0),，,、x222y1sinsin2cos4xxx，，12422223222yxx,,sincos,,,sinsincosxxx, ,,,(),,,(sinsin2cos)xxxb23272(1)函数图象如图: ，，f(x),ax，a、b,0b2abx,x,ao22sin2cosxx,,,tan2xxarc,tan2当且仅当，即时 “=”号成立，故(0),,xb2,2abba(2)函数性质: ，，f(x),ax，a、b,0x23此函数最大值是。 9 (,,,,2ab]:[2ab,，,)?值域:; 评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 bbbb?单调递增区间:，;单调递减区间:，. [,0),(,],,,(0,][,)，,类型?:用均值不等式求最值等号不成立。 aaaa4，,R(0,x,1)例3、若x、y，求的最小值。 fxx(),，三、用均值不等式求最值的常见类型 x类型?:求几个正数和的最小值。 bx,(0,1]解法一:(单调性法)由函数图象及性质知，当时，函数fxaxab()(0),，,、x1例1、求函数的最小值。 yxx,，,(1)422(1)x,01,,,xxxx,(0,1],是减函数。 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 :任取且，则 fxx(),，1212x 1 2 16xx,xx,444即xy,,12,3此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。 当且仅当x,,82112， ,,，,()4xx,,,()xxfxfxxx()()()(),,,，,1212x,81212xxxxxx121212 8,28,,sinxx,2xx,4,12,解法三:(三角换元法)令则有 x01,,,xxfxfxfxfx()()0()(),,,,?，?，则， ,,xx,,,0,0sinx12121212xx,,12112,,,cosxy,244,cosx即在(0,1]上是减函数。故当x,1时，在(0,1]上有最小值5。 ,y,fxx(),，fxx(),，,82222222xx,，,，，，,，，8csc2sec8(1cot)2(1tan)108cot2tanxxxxxx则: xy，,，222sincosxx242解法二:(配方法)因，则有， 01,,x,,，()4xfxx(),，22x,，,102(8cot)(2tan)xxxy,,12,3此时,18，易求得时“=”号成立，故最小值是18。 x 评析:此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法: 222易知当时，且单调递减，则在(0,1]上也是减函数， 01,,x,,,,x0fxx()()4,,，8181xx。原因就是等号成立的条件不一致。 xyxyxy，,，，,,,,,2()(2)228xyxy44x,1(0,1](0,1]即在上是减函数，当时，在上有最小值5。 fxx(),，fxx(),，类型?:利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。 xx xyxy,，，3例5、已知正数xy、满足，试求xy、的范围。 xy，13413(0,x,1),5解法三:(拆分法)， fxx(),，,，，()x,,，2xxxxx1 ,,,，,xyxyxy32xy,,0,0xyxy,，，3解法一:由，则， x,1当且仅当时“=”号成立，故此函数最小值是5。 评析:求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法2()230xyxy,，,xyxy,,,13(舍)或即解得， 也是较为简洁实用得方法。 类型?:条件最值问题。 [9,)，,xy,,3当且仅当xyxyxy,,，，且3即时取“=”号，故xy的取值范围是。 81xy，2例4、已知正数x、y满足，求的最小值。 ，,1xy，22,，,，,,()4()120xyxy又,，,,，,xyxy2()6舍或， xyxy，，,,3()xy2 [6,)，,xy,,3当且仅当xyxyxy,,，，且3即时取“=”号，故xy，的取值范围是。 8116xyxy16xy，2解法一:(利用均值不等式), ,，，,，，()(2)10xy,，,,10218xyyxyx xy,,0,0xyxyxyx,，，,,,，3(1)3x,1解法二:由，知， 81,，,1x，3x，3,则:，由， y,yx,,,,,001xy,xy,,12,3当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。 x,1x,1,xy16,,224xxxxx，，,，,，33(1)5(1)44,yx,则:， ,,,，,2(1)59xxyxx,,,,,,，，(1)5x,1xxxx,,,,1111xx81y,解法二:(消元法)由得，由，则yxx,,,,,,0008又4，,1[9,)，,y,3xy当且仅当，并求得时取“=”号，故的取值范围是。 xxx,,,,1(0)3即x,8x,8xyx,1 xx，,，3144441622(8)161616xx,，， xyxxxxx，,，,，,，，,,，，,,,，,1(1)22(1)26xy，2,,,，,2(8)1018x。 ,，,，,，，,,，，xxxx2(8)10xxxxx,,,,,11111x,8xxxx,,,,8888 3 4 433[9,)，,当且仅当，并求得y,3时取“=”号，故的取值范围是。 xyxxx,,,,1(0)3即936363y,336当且仅当，即时等号成立，所以当时，。 x,x,2x,x,1min222x评析:解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。 四、均值不等式易错例析: 2x，5例3. 求的最小值。 y,xR,()xx，，49，，，，2例1. 求函数的最值。 y,x，4x 22x，5113636xx，，491336xx，，，，，，22y,2错解:因为，所以 y,,，，x,，,x,4242错解: ,，，,，,,13x132x25y,,min222xxxxx，x，x，444 361当且仅当即x,,6时取等号。所以当x,,6时，y的最小值为25，此函数没有最大值。 x,22x,,3分析:忽视了取最小值时须成立的条件，而此式化解得，无解，所x，,4x2x，4分析:上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。 xx，，49，，，，2y以原函数取不到最小值。 ,,，,，，00:因为函数的定义域为，所以须对x的正负加以分类讨论。 y,，，，，x 12，，txt,，,42正解:令，则 yt,，,()t23636x,0正解:1)当时， y,13，x，,13，2x,,25txx15t,1t,2x,0又因为时，是递增的。所以当，即时，。 yt,，y,min36t2y,25x,6x,6当且仅当即时取等号。所以当时， x,minx14，x,y,Ru,x，y例4.已知且，求的最小值. ，,1363636xy,,,,,,,,x,0 2)当时，， ，，，，,，,x,,,2x,12,,,,x0，0,,,,xxx 144？u,x，y,2xy,88错解: ,,？u的最小值为. ？1,，,,xy,436xy ？y,13,[(,x)，(,)],13,12,1xyx 3614y,,,13121x,,6x,,6当且仅当，即时取等号，所以当时，. ,,,xmaxx,y分析:解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为和，而这两个式子不能同,xxy9x,0例2. 当时，求的最小值。 yx,，428时成立，故取不到最小值. x 144xy996正解: u,(x，y)(，),5，，,5，4,9错解:因为 xyx,,，,,,04，24x22xyyxxxx 34xy9693x,3,y,6,9？u当且仅当即时等号成立. 的最小值为. 所以当且仅当即时，。 x,4x,y,,218min2yx4xx 分析:用均值不等式求“和”或“积”的最值时，必须分别满足“积为定值”或“和为定值”，而上述解法综上所述，应用均值不等式求最值要注意: 9 一要正:各项或各因式必须为正数; 4x中与的积不是定值，导致错误。 2x二可定:必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如 果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错; 39993正解:因为 xyx,,，,，，,,,,04，22xx322xx336三能等:要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。 222xxx 5 6 11技巧一:凑项 2,，,，但解得t,,1不在区间，故等号不成立，考虑单调性。 因tt,,,0,1t,，,5tt1例1:已知，求函数的最大值。 x,yx,,，4215445x,1,，,2,，,因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。 yt,，y,，，,,1t2解:因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行450x,,42x,(42)x,45x,5，,所以，所求函数的值域为。 ,，,511,,,,拆、凑项，，， ,,，,231xx,？,,,540？,,，,,,，，yxx425432,,，,44554xx,,,, 1技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 y,1当且仅当，即x,1时，上式等号成立，故当x,1时，。 54,,xmax54,x19xy,,0,02:已知，且，求xy，的最小值。 ，,1技巧二:凑系数 xyyxx,,(82)例2. 当时，求的最大值。 解析:由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，注意到,,199yx19解:， ？，,，，,，，,，,xyxy1061016xy,,，,0,0,1，，2(82)8xx，,,yxx,,(82)为定值，故只需将凑上一个系数即可。 ,,xyxyxy,, 19yx9，,1xy，,16xy,,4,12,当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。 yxx,,(82)，，当，即x,2时取等号 当x,2时，的最大值为8。 minxyxy技巧三: 分离 2巩固练习: xx，，7102222例3. 求的值域。 yx,,,(1)x，y,a,m，n,ba,bmx，ny1、已知:且，则的最大值为( ) x，12222解:本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x，1)的项，再将其分离。 a，ba，ba，bab(A) (B) (C) (D) 222 ，x，y,ax，ya,x,y,R2、若，且恒成立，则a的最小值是( ) 4222(A) (B) (C)2 (D)1 当,即时,(当且仅当x,1时取“,”号)。 yx,，，，,21)59(3，553223，x，1x，3,2x(x,R)a，b,ab，ab(a,b,R)3、已知下列不等式:?;?; 技巧四:换元 22a，b,2(a,b,1)?.其中正确的个数是( ) 解析二:本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x，1，化简原式在分离求最值。 (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 22，(1)7(1+10544tttt,，,，，)a,b,R4、设，则下列不等式中不成立的是( ) yt,,，，=5ttt221a，b112ab(A) (B) (C) (D) ab，,2,2ab(a，b)(，),4,ab4当,即t=时,(当t=2即x,1时取“,”号)。 aba，byt,，，,259ababt，222a，b,1,S,2ab,4a,ba,b,R5、设且的最大值是( ) a技巧五:在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。fxx(),，2,12，1x2,12，1(A) (B) (C) (D) 222x，5aba,b3，3a，b,26、若实数满足，则的最小值是( ) 例:求函数的值域。 y,2x，442323(A)18 (B)6 (C) (D) a,babab,a，b，37、若正数满足，则的取值范围是 . 2112x，52xtt，,,4(2)解:令，则 ,，，,，,xtt4(2)y,11，22tx,y,R2x，y,1x，4，x，48、若,且，则的最小值为 . xy 7 8