帮助公式在三角函数题目中的应用[资料]

帮助公式在三角函数题目中的应用[资料]帮助公式在三角函数题目中的应用[资料] 辅助公式在三角函数问题中的应用浙江省诸暨市学勉中学(311811)郭天平 asinx，bcosx由两角和与差的三角逆用公式将引入辅助角合并为 b22(其中为辅助角且)的形式，它在三角进行恒等变形上,tan,,abx，，sin(),a 有着巨大的作用，作为三角问题中的重要公式在历年高考中屡见不鲜。本文就辅助公式在三角函数性质解题中的主要应用进行归纳总结，以引起同学们重视。 1( 求函数的定义域例1(求函数的定义域 y,sinx，3cosx 分析:要使函数有意义，只需根...

帮助公式在三角函数题目中的应用[资料] 辅助公式在三角函数问题中的应用浙江省诸暨市学勉中学(311811)郭天平 asinx，bcosx由两角和与差的三角逆用公式将引入辅助角合并为 b22(其中为辅助角且)的形式，它在三角进行恒等变形上,tan,,abx，，sin(),a 有着巨大的作用，作为三角问题中的重要公式在历年高考中屡见不鲜。本文就辅助公式在三角函数性质解题中的主要应用进行归纳总结，以引起同学们重视。 1( 求函数的定义域例1(求函数的定义域 y,sinx，3cosx 分析:要使函数有意义，只需根式内为非负数即可 ,,,,？2k,,x，,2k,，,解: ，？sinx，3cosx,2sinx，,0,,33,, 2,,2,,，，2k,,x,2k，,k,Z即，故原函数的定义域为,,2k,,2k，,k,Z,,,,3333，，【评注】在求原函数定义域时应把函数解析式尽量化简后求定义域，当然在化简的过程中也要注意等价性。 2( 求函数的值域 3,cosxy,例2(求的值域; 2，sinx 分析:本题的解法有很多，除了代数函数最值的求法外，常见的有数形结合，转化为斜率问题和三角函数的有界性求解等，其中三角函数的有界性求解是最基本的解法。解:由原式变形为 2y，ysinx,3,cosx 12，，y，1sinx，,,3,2ytan, 得 (其中,)？ysinx，cosx,3,2yy 3,2y3,2y？,1，，sinx，,,1？sinx，,，，， ,22y，1y，1 ，，23232两边平方得到: ？y,2,,2，3y,12y，8,0,,33，，【评注】值域与最值是紧密相连的，由于三角函数中公式多，变形多，对求最值的方 22法也不拘一格，但利用变形求值域和最值也有它的独到之处。abx，，sin(), 3( 求函数的周期 2例3. 求函数的最小正周期 y,2cosx,22sinxcosx 分析:通过三角公式的变换将原函数化为单一函数，再用周期公式求得。 2解:，，？y,2cosx,22sinxcosx,1，cos2x,2sin2x,1，3sin2x，, ,,2212？T,,,,(其中)， tan,,,,w22,2 22【评注】将函数化成这种单一函数的形式后，求函数的最小正周abx，，sin(), 2,22T,期就可用周期公式;由于中,值的大小对周期没有影响，因abx，，sin(),w ,此在求周期时我们可以不求出确切的值。 4( 求函数的单调区间 xxy,sin，cos例4. 求函数的单调递增区间 22 分析:利用辅助公式化为单一函数，再用复合函数求单调区间的方法求之 ,,22xxx,,,,,解:,2sin，cos,2sin， y,,,,222224,,,, x,,,，，t,，令，则，因在为增函数，2k,,2k，,k,Zy,2sinty,2sint,,,,2422，， 3x,,,,,2244k,,，,k，k,,x,k，,,,,即得;故 224222 3,,，，即时原函数为增函数，故函数的增区间为,4,,4，xkk,,,,22，， 3,,，，。，，4k,,4k，,k,Z,,,,22，，【评注】求复合函数的单调区间时，一定要注意函数的定义域及复合函数单调区间法则:同增同减为增，一增一减为减。 5( 求函数的奇偶性 ,,,,,,22例5.判断函数奇偶性 y,2sinx，,2cos,x,,,,42,,,, 分析:先化简成单一的三角函数再结合奇偶性的定义判断 ,,,,,,,,,222解:？y,2sinx，,2cos,x,1,cos2x，,2sinx,,,,,,422,,,,,, 1,cos2x,,,,1，sin2x,2， ,sin2x，cos2x,2sin2x，,,24,, R由函数的定义域为，得，既不是奇函数也不是偶函数。，，，，，，f,x,,fxfx 【评注】函数奇偶性的判断一定要先考虑定义域是否关于原点对称，否则既是有或成立，函数也是非奇非偶函数。，，，，，，，，f,x,fxf,x,,fx 6(图像变换 132，，fx,cosx，sinxcosx，1,x,R例6.已知函数问该函数图像由22 1y,sinx图像经过怎样平移、伸缩变换得到, 2 11，cos2x3135,,fx,，sin2x，1,cos2x，sin2x，解:，，,,222444,, 15,,,,sin2，， x,,264,, 1,1,,,故变换如下:将的图像向左平移个单位，得到函数图y,sinxy,sinx，,,6226,, 11,,,像，再各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得到函数，将所y,sin2x，,,226,, 515,,,得函数图像再向上平移个单位，从而得到的图像,sin2，，yx,,4264,, 【评注】图像变换即可先平移后伸缩，也可先伸缩后平移，但要注意后者变换一定要 11y,sin2x提取自变量的系数，再来看怎么平移，如由y,sinx变至后应再左平移x22 ,,1,,,个单位得，而不是向左平移个单位。 y,sin2(x，),,126212,, 7(图像对称 ,x,,例7. 如果函数图像关于直线对称，求的值。ay,sin2x，acos2x8 12tan,,解:函数化为，(其中)，故y,sin2x，acos2x，，y,1，asin2x，,a ,,2x，,k，,k,Zx,,此函数图像的对称轴方程为:，因为为其中一条对称,,82 3,,,,,,k，,k,Z轴。所以，解得,,2，,，,k，,k,Z,,,,482,, 1？a,,1？tan,,,1,？,,1， a 【评注】由正弦、余弦函数图像既是中心对称图形，又是轴对称图形，利用图像，得注意两者的区别。 8(求参数范围问题 3sinx，cosx,4,mm 例8(若，求实数的范围 m分析:由三角辅助公式及三角函数的有界性来确定参数的范围 ,,,,,,解: ，？3sinx，cosx,2sinx，？2sinx，,4,m,,,,66,,,, 4,m,,4,m,,,,2,m,6即，，得 sinx，,？sinx，,1,？,1,,,,6226,,,, ,,,【评注】本题用三角辅助公式化得后，也可用数形结合的方法来确2sinx，,4,m,,6,, 定参数的范围。无论用哪种方法，我们都要注意自变量的取值范围。x b,,22综上可见，对三角辅助公式在诸，，asinx，bcosx,a，bsinx，,tan,,,,a,,多问题中都有重要的应用，它主要作用是对式子的等价转换，化简成我们熟知的函数再解题。

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