动态规划-最短路径问题
最短路径问题
下图给出了一个地图,地图中每个顶点代表一个城市,两个城市间的连线代表道路,连线上的数值代表道路长度。
现在,我们想从城市a到达城市E。怎样走才能使得路径最短,最短路径的长度是多少,设
DiS,x,为城市x到城市E的最短路径长度(x表示任意一个城市);
map[i,j]表示i,j两个城市间的距离,若map[i,j]=0,则两个城市不通; 我们可以使用回溯法来计算DiS,x,:
var
S:未访问的城市集合;
function search(who{x}):integer; {求城市who与城市E的最短距离} begin
if Who,E Then Search?0 {找到目标城市}
Else begin
min?maxint; {初始化最短路径为最大}
for i 取遍所有城市 Do
,if(map[Who,i],0{有路})and(iS{未访问})
then begin
S?S,[i]; {置访问标志}
j?map[Who,i]+ search(i); {累加城市E至城市Who的路径长度}
S?S,[i]; {回溯后,恢复城市i未访问状态}
if j,min Then min?j; {如果最短则记下}
;{then} end
search?min; {返回最短路径长度}
End;{else}
End;{search}
begin
S?除E外的所有城市;
Dis[a]?search(a); {计算最短路径长度} 输出Dis[a];
end({main}
这个程序的效率如何呢,我们可以看到,每次除了已经访问过的城市外,其他城市都要访问,所以时间复杂度为O(n~),这是一个“指数级”的算法。那么,还有没有效率更高的解题方法呢,
首先,我们来观察上述算法。在求b1到E的最短路径的时候,先求出从C2到E的最短路径;而在求从b2刭E的最短路径的时候,又求了一遍从C2刭E的最短路径。也就是说,从C2到E的最短路径求了两遍。同样可以发现,在求从Cl、C2刭E的最短路径的过程中,从Dl到E的最短路径也被求了两遍。而在整个程序中,从Dl到E的最短路径被求了四遍,这是多么大的一个浪费啊~如果在求解的过程中,同时将求得的最短路径的距离“记录在案”,以便将来随时调用,则可以避免这种重复计算。至此,一个新的思路产生了,即
由后往前依次推出每个Dis值,直到推出Dis「a」为止。
问题是,究竟什么是“由后往前”呢,所谓前后关系是指对于任意一对城市i和j来说,如果满足“或者城市i和城市j不连通或者dis[i]+map[i,j]?dis[j]”的条件,则定义为城市i在前、城市j在后。因为如果城市i和城市j连通且Dis[i],map[i,j],Dis「j」,则说明城市j至城市E的最短路径长度应该比Dis[j]更优。可城市j位于城市i后不可能推出此情况,以至于影响最后的解。那么,我们应该如何划分先后次序呢,
如上图所示,从城市a出发,按照与城市a的路径长度划分阶段。
阶段0包含的出发城市有{a}
阶段1所含的城市有{b1,b2}
阶段2包含的出发城市有{C1,C2,C3,C4}
阶段3包含的出发城市有{D1,D2,D3}
阶段4包含城市{E}
这种划分可以明确每个城市的次序,因为阶段的划分具有如下性质
?阶段i的取值只与阶段i+1有关,阶段i+1的取值只对阶段i的取值产生影响:
?每个阶段的顺序是确定的,不可以调换任两个阶段的顺序; 我们从阶段4的城市E出发,按照阶段的顺序倒推至阶段0的城市a。在求解的各个阶段,利用了k阶段与k+1阶段之间的如下关系
min{dis[y],map[x,y](x,y),G}[k]y,k,1阶段的城市集dis[x]=
[4]dis[E]=0
[k] k=4,3„,0,其中dis[x]指k阶段的城市x。由此得出程序
dis[E]?0;
for k?3 downto 0 do {倒序枚举阶段}
for x取遍k阶段的所有城市do
begin
dis[x]??; {初始化最短路径为最大}
for y取遍k+1阶段的所有城市do if dis[y]+map[x,y]
总结
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:此题是动态规划的基础题。讲解也比较详细。
在求解最短路经问题时,必须对图进行拓扑排序,即划分明确的阶段、状态。