第二十六讲 面积问题评说
平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，联系着几何图形中的重要元素边与角.
计算图形的面积是几何问题中一种常见问题，求面积的基本方法有:
1.直接法：根据面积公式和性质直接进行运算.
2.割补法：通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于
求解的问题.
3.等积法：根据面积的等积性质进行转化求解，常见的有同底等高、同高等底和全等
的等积转化.
4.等比法：将面积比转化为对应线段的比.
熟悉以下基本图形中常见的面积关系:
注 等积定理：等底等高的两个三角形面积相等.
等比定理:(1)同底(或等底)的两个三角形面积之比等于对应高之比，同高(或等高)的两个三角形面积之比等于对应底之比; (2)相似三角形面积之比等于对应线段的平方比. 例题求解
【例1】 在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AC 、BD 相交于点O ，若AC=5,BD=12，中位线长为2
13,△AOB 的面积为S 1,△COD 的面积为S 2，则21S S += . (山东省竞赛题)
思路点拨 本例综合了梯形、面积等丰富的知识，图形中有重要面积的关系:S △AOD =S △BOC =21S S ,S 梯形ABCD =S 1+S 2+212S S =221)(S S +(读者
证明
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)，于是将问题转化为求梯形ABCD 的面积.
【例2】 如图，在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ,BD =4,CE=6，那么△ABC 的面积等于( )
A .12
B .14
C .16
D .18
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 由中点想到三角形中位线，这样△ABC 与四边形BCDE 面积存在一定的关系，只要求出四边形BCDE 面积即可．
【例3】如图，P 、Q 是矩形ABCD 的边BC 和CD 延长线上的两点，AP 与CQ 相交于点E ，且∠PAD=∠QAD ，求证：S 矩形ABCD =S △APQ ． (重庆市竞赛题)
思路点拨 把面积用相应的线段表示，面积的证明问题就转化为线段的等积式的证明．注意等线段的代换．
【例4】 如图甲，AB 、CD 是两条线段，M 是AB 的中点，S △DMC 、S △DAC 、S △DBC 分别表示△DMC 、△DAC 、△DBC 的面积，当AB ∥CD 时，有S △DMC =2
DBC DAC S S ??+· (1)如图乙，若图甲中AB 不平行CD ，①式是否成立?请说明理由；
(2)如图丙，若图甲中A 月与CD 相交于点O 时，问S △DMC 和S △DAC 和S △DBC 有何种相等关系?试证明你的结论． (安徽省中考题)
思路点拨 对于(1)，因△DMC 、△DAC 、△DBC 同底，要判断①式是否成立，只需寻找它们的高之间的关系：对于(2)，由于M 为AB 中点，可利用等积变换得到相等的面积关系，通过建立含S △DMC 、S △DAC 、S △DBC 的等式寻找它们的关系．
注 本例综合了三角形、梯形中位线、等积变形等知识，要求我们在动态型数学情景下进行观察、分析、探索、猜想和论证．
通过强化或弱化条件，改变图形的位置等方式进一步探究问题是发展几何问题的重要途径．
【例5】如图，设P 为△ABC 内任意一点，直线AP 、BP 、CP 交BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ．
求证：（1）
1=++CF PF BE PE AD PD ；（2）2=++CF
PC BE PB AD PA ．
思路点拨 过P 点、A 点分别作BC 的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可与面积联系起来，把羔转化为面积比，利用面积法证明．
注 有些几何问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积关联着边角两个重要元素，所以我们可从面积角度思考问题，这就是常说的面积法．
用面积法解题的基本
步骤
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是：
(1)用不同方法或从不同角度计算某一图形面积，得到一个含边或舍角的关系式．
(2)化简这个面积关系式，直至得到求解或求证的结果．
当问题涉及三角形的高、垂线或角平分线时，不妨用面积法试一试．
学力训练
1．如图，是一个圆形花坛，中间的鲜花构成了一个菱形图案(图中
尺寸
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单位为米)，如果每平方米种植鲜花20株，那么这个菱形图案中共有鲜花 株．
(第14届“希望杯”邀请赛试题)
2．如图，矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为 ． (2003年上海市中考题)
3．如图，在△ABC 中，∠B=∠CAD ，2
3=AC BD ，则CAD ABD S S ??= ． (重庆市竞赛题)
4．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝a ，CD=b(a
方案
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中，地基面积最大的是( )(2003年广州市中考题)
9．今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计4种不同的修筑方案．
(2000年山东省竞赛题)
10．如图，已知梯形ABCD 的面积为34cm 2，AE=BF ，CE 与DF 相交于O ，△OCD 的面积为11cm 2，求蝶形(阴影部分)的面积．
11．探究规律：
如图a ，已知：直线m ∥ n ，A 、B 为直线n 上两点，C 、P 为直线m 上两点．
(1)请写出图a 中，面积相等的各对三角形 ；
(2)如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有 与△ABC 的面积相等．理由是： ．
解决问题：
如图b ，五边形ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图．经过多年开垦荒地，现已变成如图c 所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图c 中折线CDE)还保留着．张大爷想过正点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．
(不计分界小路与直路的占地面积)
(1)写出设计方案，并在图c 中画出相应的图形；
(2)说明方案设计理由． (河北省中考题)
12．如图，△ABC 中，AD 与BE 相交于F ，已知S △AFB =12cm 2，S △BFD =9cm 2，S △AFE =6cm 2，
那么四边形CDFE 的面积为 cm 2．(我爱数学夏令营竞赛题)
13．如图，分别延长△ABC 的三边AB 、BC 、CA 至A ′、B ′、C ′，使得AA ′=3AB ，BB ′=3BC ，CC ′=3AC ，若S △ABC =1，则S △A'B'C'= ．
14．如图，设△ABC 的面积是1，D 是边BC 上一点，且
21=DC BD ，若在边AC 上取一点，使四边形ABDE 的面积为54，则EC
AE 的值为 ． (天津市竞赛题) 15．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为 ． (全国初中数学联赛试题)
16．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连结AF 、CE ，设AF 与CE 的交点为G ，则ABCD AGCD
S S 矩形四边形等于( )
A ．65
B ．54
C ．43
D ．3
2 (全国初中数学竞赛题)
17．如图，AE ⊥AB 且AE ＝AB ，BC ⊥CD 且BC=CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是( )
A ．50
B ．62
C ．65
D ．68
(山东省竞赛题)
18．如图，在△ADC 中，EF ∥BC ，S △AEF =S △BCE ，若S △ABC =1，则S △CEF 等于( )
A ．41
B ．5
1 C ．25- D ．233- (四川省竞赛题) 19．已知菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是( )
A ．165° D ．135° C ． 150° D ．120° (“希望杯”邀请赛试题)
20．如图，在锐角△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边上的三等分点，P 、Q 、R 分别是△ADF 、△BDE 、△CEF 的三条中线的交点．
(1)求△DEF 与△ABC 的面积比；
(2)求△PDF 与△ADF 的面积比；
(3)求多边形PDQERF 与△ABC 的面积比．( “希望杯”邀请赛试题)
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21．如图，设凸四边形ABCD 的一组对边AB 、CD 的中点分别为K 、M ，
求证：S 四边形ABCD =S △ABM +S △DCK ．
22．如图，已知D 、E 、F 分别是锐角△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且AD 、BE 、CF 相交于P 点，AP=BP=CP=6，设PD =x ，PE=y ，PF=z ，若xy+yz+ z x=28，求xyz 的值．
23．如图，在△ABC 中是否存在一点P ，使得过P 点的任意一直线都将△ABC 分成等积的两部分?为什么?
24．如图，以△ABC 的三边为边向形外分别作正方形ABDE ，CAFG ，BCHK ，连结EF ，GH ，KD ，求证：以EF ，GH ，KD 为边可以构成一个三角形，并且所构成的三角形的面积等于△ABC 面积的3倍． (北京市竞赛题)
思考 如图，设G(也称重心)为△ABC 三条中线AD 、BE 、CF 的交点，则2===GF
CG GE BG GD AG ，请读者证明．
浙公网安备 33021202002483