[DOC]-高中数学知识点总结与题库(数列)

[DOC]-高中数学 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 总结与题库(数列) 高中数学知识点总结与题库(数列) 第六章 数列 二、重难点击 本章重点:数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前n项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如:观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。 知识网络 四、数列通项an与前n项和Sn的关系 n 1(Sn a1,a2,a3, ,an ai i 1 2(a S1n 1 n Sn,Sn,1n 2 课前热身 3(数列 a2 n 的通项公式为 an 3n,28n,则数列各项中最小项是( B ) A(第,项 B(第,项 C(第,项 D(第,项 4(已知数列 a2 n 是递增数列，其通项公式为an n, n,则实数 的取值范围是(,3,, ) 5(数列 a2 n 的前n项和Sn n,4n,1,，则an 1 n ,2 2n,5n 2 1 题型一 归纳、猜想法求数列通项 【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ?7，77，777，7777，, ?1，3，3，5，5，7，7，9，9, 解析:?将数列变形为7 9 (10,1),7 9(102,1),7 9(103,1)， ,7 9(10n,1) ?将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，,。可得数列的通项公式为a1)n n n,1,(,2 点拨:本例的求解关键是通过 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。题型二 应用a S1(n 1) n Sn,Sn,1(n 2)求数列通项 例2(已知数列 an 的前n项和Sn，分别求其通项公式. ?Sn n 3,2 解析:?当n 1时,a1 1 S1 3,2 1， 当n 2时,an n Sn,Sn,1 (3,2),(3n,1,2) 2 3n,1 又a(n 1) 1 1不适合上式，故an 1 2 3n,1(n 2) 三、利用递推关系求数列的通项 【例3】根据下列各个数列 an 的首项和递推关系，求其通项公式 ?a1 1 2,an,1 a1n,4n2,1 解析:?因为a,1 n,1 an4n2,1，所以 a1111 n,1,an 4n2,1 2(2n,1,2n,1) 所以a2,a11 2(1 1,1 3) a3,a2 1112(3,5) a1 4,a3 2(1 5,1 7) 2 ,，,， an,an,1 122n,3(1,1 2n,1) 以上(n,1)个式相加得 an,a1 即:an122n,114n,3 1, 4n,24n,2(1,1) 点拨:在递推关系中若 an,1 an,f(n),求an用累加法，若an,1an f(n),求an用累乘法，若 an,1 pan,q，求an用待定系数法或迭代法。 课外练习 3设an 1n,1,1 n,2, ,1 2n,1，(n N)，则an,1与an的大小关系是( C ) , A(an,1 an B(an,1 an C(an,1 an D(不能确定 解:因为 an,1,an 1 2n,3,12n,21 2n,2,12n,3,1n,1 0 所以an,1 an，选,( 二、填空题 ,225(已知数列 an 的前n项和Sn n,4n,1，则an 2n,5 7(已知数列 an 的通项,,(n 1)(n 2) n, n, 98 999899(n N)，则数列 an 的前30项中最大项和最小项分别是a10，a9 ,解:构造函数y x, x, 1,99, x,9899 由函数性质可知，函数在(, 99)上递减，且y 1 函数在(99，， )上递增且y 1 3 又99 (9，10) a10 a11 a12 a30 1 a1 a2 三、解答题 a9 a10最大，a9最小 6.2等差数列 知识要点 2(递推关系与通项公式 递推关系:an,1,an d通项公式:an a1,(n,1)d推广: an am,(n,m)d变式:a1 an,(n,1)d; d an,a1 n,1d an ,am n,m 特征:an dn,(a1,d),即:a n f(n) kn,m, (k,m为常数) an kn,m，(k,m为常数)是数列 an 成等差数列的充要条件。 ,(等差中项: 若a,b,c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b a,c2 ;a,b,c成等差数列是2b a,c的充 要条件。 ,(前n项和公式 Sn n(n,1)d n (a1,an)2 ; Sn na1, 2 特征:Sd2 n 2 n,(ad1, 2 )n, 即S2 n f(n) An,Bn Sn An 2 ,Bn(A,B为常数) 是数列 an 成等差数列的充要条件。 5(等差数列 an 的基本性质(其中m,n,p,q N, ) ?若m,n p,q，则am,an ap,aq反 之，不成立。 ?an,am (n,m)d ?2an an,m,an,m ?Sn,S2n,Sn,S3n,S2n仍成等差数列。 ,(判断或证明一个数列是等 差数列的方法: ?定义法: an,1,an d(常数)(n N, ) an 是等 差数列 ?中项法: 2a, n,1 an,an,2 (n N) an 是等差数 列 ?通项公式法: an kn,b(k,b为常数) an 是等差数 列 ?前n项和公式法: Sn An 2 ,Bn (A,B为常数) an 是等 差数列 课前热身 2(等差数列 an 中， a4,a6,a8,a10,a12 120, 则a19, 3 a11的值为( C) A(14 B(15 C(16 D(17 解 a119, 3 a11 a9, 3 (a9,2d) 2 2 3(a,d) 2120 93a8 3 5 16 4 。 3(等差数列 an 中，a1 0，S9 S12，则前或11项的和最大。 解: S9 S12，S12,S9 0 a10,a11,a12 0， 3a11 0， a0，又a 11 1 0 ? an 为递减等差数列?S10 S11为最大。 4(已知等差数列 an 的前10项和为100，前100项和为10，则前110解:? S10，S20,S10，S30,S20， ，S110,S100， 成等差数列，公差为D其首项为 S10 100，前10项的和为S100 10 100 10, 10 92 D 10， D ,22 又S110,S100 S10,10D S110 100,10,10( ,22) ,110 y 50n,98, 12n,n(n,1) 4 2 ,2n2 ,40n,98 ,2(n,10)2 ,102 所以当n 10时，ymax 102 ,(设等差数列 an 的前n项和为Sn，已知 a3 12，S12 0，S13 0 ?求出公差d的范围， ?指出S1，S2， ，S12中哪一个值最大，并说明理由。 dan f(n)nanSn an "n 2" 解:?S12 6(a1,a12) 6(a3,a10) 6(2a3,7d) 0 24,7d 0 d , 247又S13(a1,a13) 13 2 132(a3,a11) 13 2 (2a3,8d) 0 24,8d 0 d ,3 从而, 247 d ,3 ? S12 6(a6,a7) 0 S13 13a7 0 a7 0，a6 0 S6最大。 课外练习 一、 选择题 1( 已知 an 数列是等差数列，a10 10，其前10 项的和S10 70，则其公差d等于( D ) A(,23 B(, 13 C13 D2 3 2( 已知等差数列 an 中， a7,a9 16，a4 1，则a12等于( A ) A(15 B(30 C(31 D(64 解: a7,a9 a4,a12 a12 15 二、填空题 3( 设Sn为等差数列 an 的前n项和， S4 14，S10,S7 30，则S9=54 4( 已知等差数列 an 的前n项和为Sn，若 S12 21，则a2,a5,a8,a11 5 2 5( 设F是椭圆 x y 2 的右焦点，且椭圆上至 7 , 6 1少有21个不同点 Pi(i 1,2, )使P1FP2FP 3F, 组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为 1 1 , 10，0 0 10 解:椭圆的焦点F到椭圆上的点最大、最小距离分别为(7,1)和( 7,1) ，由题意得: (7,1),(n,1)d 7,1 d 2n,1 n,1 20 d 1 10 ，又d 0 , 110 d 0或0 d 110 三、解答题 6( 等差数列 an 的前n项和记为Sn，已知 a10 30，a20 50 ?求通项an;?若Sn=242，求n 解:an a1,(n,1)d a10 30，a20 50解方程组 a1,9d 30 a1,19d 50 a 1 12 a d 2 n 2n,10 由Sn(n,1)d n na1, 2 ，Sn=242 12n, n(n,1)2 2 242 解得n 11或n ,22(舍去) 7( 甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运 动，甲第一分钟走2m，以后每分钟比前一分钟多 走1m，乙每分钟走5m，?甲、乙开始运动后几 分钟相遇,?如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟 多走1m，乙继续每分钟走5m，那么，开始运动几分钟后第二次相遇, 解: ?设n分钟后第一次相遇，依题意有: 2n, n(n,1)2 ,5n 70 解得n 7，n ,20(舍去) 故第一次相遇是在开始运动后7分钟。 ?设n分钟后第二次相遇，则: 2n, n(n,1)2 ,5n 3 70 解得n 15，n ,28(舍去) 故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10(已知数列 an 中，a1 3，前n和 Sn 12 (n,1)(an,1),1 ?求证:数列 an 是等差数列 ?求数列 an 的通项公式 ?设数列 1 的前n项和为Tn，是否存在实 anan,1 数M，使得Tn M对一切正整数n都成立,若存在，求M的最小值，若不 存在，试说明理由。 解:??S1n 2 (n,1)(an,1),1 Sn,1 12 (n,2)(an,1,1),1 an,1 Sn,1,Sn 12 (n,2)(an,1,1),(n,1)(an ,1) 整理得，nan,1 (n,1)an,1 (n,1)an,2 (n,2)an,1,1 (n,1)an,2,nan,1 (n,2)an,1,(n,1)an 2(n,1)an,1 (n,1)(an,2,an) 2an,1 an,2,a n ?数列 an 为等差数列。 6 ?a1 3，nan,1 (n,1)an,1 a2 2a1,1 5 a2,a1 2即等差数列 1 11 , 2 2n,12n,3 Tn 2 an 的公差为 an a1,(n,1)d 3,(n,1) 2 2n,1? 1111111(,,,, ,,)235572n,12n,3 111 (,)232n,3 , 又当n N时，Tn 1 (2n,1)(2n,3) 16 1anan,1 要使得Tn M对一切正整数n恒成立，只要M? 16 ，所以存在实数M使得Tn M对一切正整数n 都成立，M的最小值为 16 。 6.3等比数列 知识要点 1( 定义:如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一 个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为 ?若m,n p,q，则am an ap aq反之不真～ ?q n,m q，(q 0)。 2( 递推关系与通项公式 anam ，an an,m an,m 2 (n N) , 递推关系:通项公式: an,1 qanan a1 q n,m n,1 ? an 为等比数列，则下标成等差数列的对应项 成等比数列。 推广:an am q 仍 ?q ,1时，Sn，S2n,Sn，S3n,S2n，成等比数列。 6( 等比数列与等比数列的转化 ? an 是等差数列 c等比数列; ? 3( 等比中项:若三个数a,b,c成等比数列，则称b为 a与c的等比中项，且为b ac，注:b是成等比数列的必要而不充分 条件。 4( 前n项和公式 2 ac an (c 0，c 1)是 an log c 是正项等比数列 Sn (q 1) na1 n a,anq a1(1,q) 1 1,q1,q (q 1) an (c 0，c 1)是等差数列; ? an 既是等差数列又是等比数列 , an 是各 7 5( 等比数列的基本性质，(其中m,n,p,q N) 项不为零的常数列。 7( 等比数列的判定法 ?定义法: an,1a q(常数) an 为等比数列; n ?中项法:a2 n,1 an an,2(an 0) an 为 等比数列; ?通项公式法:an k q n (k,q为常数) an 为等比数列;?前 n项和法: Sn n k(1,q)(k,q为常数) an 为等比数 列。 1( 设f(n) 2,24 ,27 ,2 10 , ,2 3n,10 (n N, )，则f(n)等于(D) A2n 7(8,1)B2n,1 7(8,1)C2n,37 (8,1)D2n,47 (8,1)2( 已知数列 an 是等比数列，且 Sm 10，S2m 30，则S3m 70 (问题引入) 猜想: b1n 是等比数列，公比为2。 证明如下:?b11 n,1 a2n,1, 4 2 a2n, 14 1(a12n,1, 24),141 2 (a112n,1, 4 ) 2 bn 即: bn,11b 1n 2 ，? bn 是首项为a, 4 ，公比 为12 的等比数列。 二、性质运用 例 2:?在等比数列 an 中， a1,a6 33，a3a4 32，an an,1 ?求an， ?若Tn lga1,lga2, ,lgan,求Tn ?在等比数列 an 中，若 a15 0，则有等式 a1,a2, ,an a1,a2, ,a29,n (n 29，n N, )成立，类比上述性质，相应的在等比数列 bn 中，若b19 1则有等式 成立。 解:??由等比数列的性质可知: a1 a6 a3 a4 32又a1,a6 33，a1 a6 解得a 1 32，a6 1 所以 a6a 15 1q 11 32，即q 32， 2 所以a1n,16,n n 32 (2 ) 2 ?由等比数列的性质可知， lgan 是等差数列，因为 lgan lg2 6,n (6,n)lg2，lga1 5lg2T(lga1,lgan)n n(11,n) 所以n 2 2 lg2 ?由题设可知，如果am 0在等差数列中有 a1,a2, ,an a1,a2, ,a2m,1,n (n 2m,1，n N, )成立，我们知道，如果若m,n p,q，则am,an ap,aq，而对于 等 比数列 bn ，则有 若m,n p,q，则am an ap aq所以可以得 出结论，若 bm 1，则有b1b2 bn b1b2 b2m,1,n (n 2m,1，n N, )成立，在本题中 8 则有b1b2 bn b1b2 b37,n (n 37，n N) 点拨:历年 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 对性质考查较多，主要是利用“等积性”，题目“小而 巧”且背景不断更新，要熟练掌握。 典例精析 一、 错位相减法求和 例1:求和:Sn , 例2:数列 an 满足 a1 =8， , a4 2，且an,2,2an,1,an 0 (n N) ?求数列 an 的通项公式; 则d a4,a14,1 ,2 1a , 2a 2 , 3a 3 , , na n 所以，an=8，(n,1)×(,2),―10,2n 解:? a 1时，Sn 1,2,3 ,n n(n,1) 2 ?a 1时，因为a 0 S123n a ,a 2 ,a 3 , , n an ? 1S1 2 n,1a n a2 ,a 3 , , a n , na n,1 ? 由?,?得: (1, 11a )Sn 1a, a 2 , ,1nan , a n,1 1(1,1a n ) a ,n 1, 1a n,1a a(an 所以 S,1),n(a,1) n an (a,1) 2 综上所述， n(n,1) (a 1)Sn 2 a(an ,1),n(a,1) an(a2a 1) ,1)点拨:?若数列 an 是等差数列， bn 是等比数列， 则求数列 an bn 的前n项和时，可采用错位相减法; ?当等比数列公比为字母时，应对字母是否为 1进行讨论; ?当将Sn与qSn相减合并同类项时，注意错 位及未合并项的正负号。 二、 裂项相消法求和 b1n n(14,a 1n) 2n(n,2) 1114(n,n,2 )所以 ?Tn b1,b2, ,bn 1 4 (1,1),(1,1), 11 1324,(n,n,2) 1114(1,2, n,1, 1n,2) 3118, 4(n,1) , 4(n,2) m32 对一切n N, 恒成立。 m 12, 88, n,1 , n,2对一切n N恒成立。对n N, ，(12, 8n,1,8n,2)min 12, 8 , 8 16 1,11,2 3所以 m 163 m的最大整数值为5。 点拨:?若数列 an 的通项能转化为 f(n,1),f(n)的形式，常采用裂项相消法求和。 ?使用裂项消法求和 时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项。 三、 奇偶分析 法求和 例3:设二次函数f(x) x2 ,x，当x n，n,1 9 故 1( 在等差数列 an 中，a1=1，前n项和Sn满足 (1,p)Tn p,p, ,p,np p(1,p)1,pp(1,p)(1,p) 2nn 2nn,1 ,np n,1 S2nSn 4n,2n,1 ，n 1，2， 所以 Tn , np n,1 1,p (p 1) ?求数列 an 的通项公式 ?记bn anpan (p 0)，求数列 bn 的前n n(n,1) 2 即:Tn nn,1 p(1,p)np项和Tn。 解:?设数列 an 的公差为d，S2nS 4n,2nn,1 ，n 1，2， 得 a1,a2 a 3，所以 a2 2 1即d a2,a1 1又 4n,2n,1 S2nSn (aa n,nd,1)2n 2 (an,a1)n 2 2(an,n,1) an,1 所以an=n ?由bn n anp a(p 0)，有bn n np 所以T2 3 n n p,2p,3p, ,np ? 当p 1时，Tn(n,1) n 2 当p 1时， pT2 3 n p,2p, ,(n,1)p n ,np n,1 ? ?,?得 (1,p) 2,1,p(p 1) 课外练习 ,( 数列 an 的前n 项和为Sn ，若 a1 n n(n,1) ，则S5等于( B ) A(1B(56C(1D(1630 解:因为 a111n n(n,1) n, n,1 所以S1111,2),(2,13), ,(11 5 (5,6 ) 56 ,(f(x)的定义域为R，且f(x)是以2为周期的周期函数，数列 an 是 首项为a(a N,)，公差为1的等差数列，那么f(a1),f(a2), ,f(a10) 的 值为( C ) A(,1 B(1 C(0 D(10a 解:因为函数f(x)的定义域为R，且f(x)是 以2为周期的周期函数， 所以f(0) 0，且f(x,2) f(x) 又数列 an 是首项为a，公差为1的等差数列 10 由 所以 an a,n,1，又 a N , f(a f(a)(n为奇数) n) f(a,1)(n为偶数)所以 f(a1),f(a2), ,f(a10) 5f(a),5f(a,1) 5 f(0),f(1) 5f(1) 又 f(,1)f(,1,2) f(1) 所以,f(1) f(1)即 f(1) 0 故原式=0，选C。 二、填空题 ,(设等比数列 an 的公比与前n项和分别为q和 SS20n，且q?1，S10 8，则 1,q 10 8 方法一、 a1(1,q10 ) 1,2 8 S20a1(1,q 20 1,q 10 ) (1,q10 )(1,q) 8 方法二、S20 S10,a11,a12, ,a20 S10 10,qS10 S10(1,q10 ) 所以 S201,q 10 S10 8 6(数列 a12n 满足an n,1 , n,2 , , nn,1 ， 又b2，则数列n ban 的前n项和为 8nnan,1 n,1 解:an 1n,1 (1,2, ,n) n2 b2n 11ana 8 n,1 n(n,1)= 8( n ,n,1 ) 所以b1,b2, ,bn 8 11 1111 (,),(,), 1223,(n,n,1) 8 1 8n 1, n,1 n,1数列1121213111111 334444， 的前100项13 914 。(n N, ) 11 ,(的和为 典例精析 一、 函数与数列的综合问题 例1:已知f(x) logax(a 0且a 1)， ,设f(a1)，f(a2)， ，f(an)(n N) 是首项为4，公差为2的等差数列。 ?设a是常数，求证: an 成等差数列; ?若bn anf(an)， bn 的前n项和是Sn，当a 解:?f(an) 4,(n,1) 2 2n,2， 即loga2时，求Sn an 2n,2，所以an a a2n,2 2n2n,2 所以anan,1a a2(n 2)为定值 所以 an 为等比数列。 ?bn anf(an) a2n,2logaa2n,2 (2n,2)a2n,2 当a 2时， 2n,2bn (2n,2) (2) 34 45 (n,1) 25n,2n,2n,3Sn 2 2,3 2,4 2, ,(n,1) 22Sn 2 2,3 2, ,n 2 两式相减得 ,Sn 2 2,2,2, ,2 16, 所以2(1,21,2n,34n,1345n,2n,2,(n,1) 2点拨:本例是数列与函数综合的基本题型之一，特 ,(n,1) 2n,3n,3),(n,1) 2Sn n 2 征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而问题得到求解。 ,( 已知正项数列 an 的前n项和为Sn， ?求证:数列 an 是等差数列; Sn是14与(an,1)的等比中项， 2 ?若bn an2n，数列 bn 的前n项和为Tn，求Tn Tn, ?在?的条件下，是否存在常数 ，使得数列 为等比数 列,若存在，试求出 ;若不存在，说明理由。 an,2 解:?Sn是14与(an,1)的等比中项， 2 12 所以Sn 14(an,1) 1 42当n 1时，a1 (a1,1)， a1 1 1 4(an,1,1)22 当n 2时，Sn,1 所以an Sn,Sn,1 1 4(an,an,1,2an,2an,1)22 即(an,an,1)(an,an,1,2) 0 因为an 0，所以an,an,1,2 0 即:an,an,1 2 所以数列 an 是等差数列。 ?Tn 3,2n,32n Tn, an,2 (3, 3, 2n,32n,32,n, ) 12n,3 1 2n Tn, 所以当且仅当3+ =0，即 =,3时，数列 为等比数列。 a n,2 ,( 已知在正项数列 an 中，a1=2，且 An(anan,1)在双曲线y,x数列 bn 中， 点(bn，Tn)在直线y ,22 1上， 1 2x,1上，其中Tn是数列 bn 的前n项和，?求数列 an 的通项公式;?求证:数列 bn 是 等比数列。?若Cn an bn，求证:Cn,1 Cn。 解:?由已知带点An(anan,1)在y2,x2 1上知， an,1,an,,，所以数列 an 是以2为首项，以1为公差的等差数列。 所以an a1,(n,1)d n,1 ?因为点(bn,Tn)在直线y ,1 2x,1上， 13 所以Tn , 12 bn,11bn,1,112 12 所以Tn,1 , 2 两式相减得: bn Tn,Tn,1 , 13 bn,bn,1 所以bn bn,1， 12 b1,1，所以b1 23 为首项， 23 令n 1得b1 , 所以 bn 是一个以以13 为公比的等比数列。 2 1n,12 () n333 所以bn ?Cn an bn (n,1) 23 n 所以Cn,1,Cn (n,2) 23 n,1 ,(n,1) 23 n 23 n,1 (,2n,1) 0 所以Cn,1 Cn 一、选择题 1.(2009广东卷理)已知等比数列 loga1,lo2ga3, ,2 lo2agn,2 1 {an} 满足 an 0,n 1,2 , ，且 a5 a2n, 5 2 2n (n 3) ，则当n 1时， 2 2 2 (n,1)n(2n,1)nA. B. C. D. (n,1) 2n 【解析】由 log 2 a5 an2, 5 2 (n 3)an 2 22n 得， an 0 ，则 an 2 n ， log 2 a1,log 2 a3, , a2n,1 1,3, ,(2n,1) n 2 ，选C. 答案 C S6 S9 2.(2009辽宁卷理)设等比数列{ 7 8 an }的前n 项和为 Sn ，若 S3 =3 ，则 S6 = A. 2 B. 3 C. 3 D.3 S6 (1,q)S3 S3 3 【解析】设公比为q ,则 S3 ,1，q3,3 q3,2 14 S9 于是【答案】B S6 1,q,q1,q 3 36 1,2,41,2 73 an,1 14.(2009湖北卷理)已知数列 an 满足:a,m(m为正整数) ， 1 an ,当an为偶数时， 2 3a,1,当a为奇数时。a,1 n n 若6，则m所有 可能的取值为__________。 答案 4 5 32 a1 am2m解析 (1)若 a1 m 为偶数，则2为偶, 故 2 2 a3 a2 4 m amm 4 8 am 6 1 m 32 ?当4仍为偶数时，32 故32 3m m,1a1 a?当4为奇数时，4 3a3,1 34 m,6 4 3m,14 1 故得m=4。 a3m,1(2)若 a1 m 为奇数，则 a2 3a1,1 3m,1 为偶数，故3 2 必为偶数 am,13m,1 6 316 ，所以 16 =1可得m=5 16.(2009陕西卷文)设等差数列 an 的前n项和为sn,若a6 s3 12,则 an 解析:由 a6 s3 12 可得 an 的公差d=2,首项a1=2,故易得an 2n. 答案:2n Sn17.(2009陕西卷理)设等差数列 an 的前n项和为Sn,若a6 S3 12 lim n ,则 n 2 解析: a 6 12 a1,5d 12 s a 1 2 S1) Sn n,1 limSn li mn,1 n n(n, 13 12 a1,d 12 d 2n2nn n2 n n 答案:1 {a1,an} a1 n,1 (1, 1n)an, n,122.(2009全国卷?理)在数列中，2 n . . 15 b an (I)设nn，求数列{bn}的通项公式 (II)求数列{an}的前n项和Sn an,1 an1 分析:(I)由已知有n,1n,2n bn,1,bn 12n 1 利用累差迭加即可求出数列{bn}b 2,的通项公式: n2n,1(n N*) an (II)由(I)知n 2n,2n,1, nknn , S (2k,k,1) (2k) kk,1 n=k 12k 1k 12 nn (2k) n(n,1) 而 k 1,又 k,1 k 12k是一个典型的错位相减法模型， n k,2 k,1 4,nn,1),n,2,4 易得k 122n,1 Sn=n(2n,1 23.(2009北京理)已知数集 A a1,a2, an ,1 a1 a2 an,n 2,具有性质P;对任意的 aj i,j,1 i j n,，aiaj与ai两数中至少有一个属于A. (?)分别判断数集 1,3,4 与 1,2,3,6 是否具有性质P，并说明理 由; a1,a2, ,an aa,1,1 1,a2, ,a,1 an (?)证明:1 1，且n; (?)证明:当n 5时，a1,a2,a3,a4,a5成等比数列. 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法(本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题. 4 (?)由于3 4与3均不属于数集 1,3,4 ，?该数集不具有性质P. 1 2,1 3,1 6,2 3,6 由于2,61236 3,1,2,3,6都属于数集 1,2,3,6 ， ?该数集具有性质P. 16 an (?)? 由于A a1,a2, an 具有性质P，?anan ananan与an中至少有一个属于A， . 1 a1 a2 an，?，故anan A 1 an an A从而 ?，?a1 1. akan an1 a1 a2 an， ?，故 akan A,k 2,3, ,n,. an 由A具有性质P可知 an an an,1 an an,1 an an,1 akana2ana2 A,k 1,2,3, ,n,. ana1又?anan， ana1 an?an 1, a2, an,1,， an从而 an , ,ana2,ana1 a1,a2, ,an,1,an， a1,a2, ,an ?a1,a2, ,an,1,1,1 an. a5 a2,a5a3 a3a(?)由(?)知，当n 5时，有4，即a5 a2a4 a32， ?1 a1 a2 a5，? Aa3a4 a2a4 a5，?a3a4 A， a4 由A具有性质P可知 a3 a3a4 a3. A1 a3a2 a2a4 a3a2 a2 a2a4 a32，得 a3 a2a2，且，?a3， a5?a4 a4a3 a2a1 a2，即a1,a2,a3,a4,a5是首项为1，公比为a2成等比数列. 25(2009江苏卷)对于正整数n?2，用 组数，其中a,b 1,2, ,n 2Tn 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示关于x的一元二次方程x,2ax,b 0有实数根的有序数组(a,b)的2(a和b可以相等);对于随机选取的a,b 1,2, ,n (a和b可以相等)，记Pn为关于x的一元二次方程x,2ax,b 0有实数根的概率。 17 (1)求Tn2和Pn2; Pn 1,(2)求证:对任意正整数n?2 ，有 【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。 29.(2009江西卷理)各项均为正数的数列 am,an (1,am)(1,an) a 1 2{an}，a1 a,a2 b，且对满足m,n p,q的正整数m,n,p,q都有 ap,aq(1,ap)(1,aq4.) ,b (1)当5时，求通项an; 1 an .(2)证明:对任意a，存在与a有关的常数 ，使得对于每个正整数n，都有 am,an ap,aq (1,ap)(1,aq) .1 2 解:(1)由a1,an(1,am)(1,an) 得 ,a2 45代入化简得 a2,an,1(1,a2)(1,an,1)(1,a1)(1,an) 2an,1,1 an,1,2 将a1 an . 1,an 所以1,an11,an,1 ,31,an,1 18 { 1,an故数列 1,an为等比数列，从而 1,an 11,a3 n , a3n ,1 n n 3n ,1.即 n a 3,1 可验证， n3n ,1满足题设条件. am,an bba1,an n,1 (2) 由题设 (1,am)(1,an) 的值仅与m,n有关,记为 m,n, 则(1,a a,an 1)(1,an) (1,a)(1,an) . f(x) a,x(x 0) 考察函数 (1,a)(1,x) ,则在定义域上有 1 a 1 1,a,f(x) g(a) 1 , a 1 2 a 0 a 1 1,a, 故对n N* ， bn,1 g(a) 恒成立. b2an 2n g(a) 又 (1,a2 n) , 0 g(a) 1 注意到 2,解上式得 g(a) an g(a) 1 取 g(a) a,即有 n . . 1n,30. (2009湖北卷理)已知数列 aS ,a,()1 n 的前n项和nn2,2 (n为正整数)。 n (?)令 bn 2an ，求证数列 bn 是等差数列，并求数列 an 的通项公式; cn,15n (?)令 n n an ， Tn c1,c2,........,cn 试比较 Tn 与2n,1的大小，并予以证明。 19 S1n,1 解(I)在n ,an,(2),2a1 中，令n=1，可得S1 ,a，即1 n,1,2 a12 S ,a1n,21n,1 当n 2时，n,1n,1,(2),2， an Sn,Sn,1 ,an,an,1,(2) ， 2aa1n,1nn,1 n n,1,(2),即2an 2an,1,1. n bn 2an, bn bn,1,1,即当n 2时，bn,bn,1 1. 又 b1 2a1 1, 数列 bn 是首项和公差均为1的等差数列. b,(n,1) 1 n 2na 于是n 1n, ann 2n. cn,1an,1)(1n (II)由(I)得n nn (2) ，所以 T1 n 2 2,3 (12131n 2),4 (2),K,(n,1)(2) 1 2T1213141n,1 n 2 (2),3 (2),4 (2),K,(n,1)(2) 1T,(1)2,(1)3,K,(1)n,(n,1n,1 由?-?得2n 12221)(2) 11 [1,()n,1] 1,,(n,1)(1)n,1 3,n,3 n 1,1222,1 2 T,3 n 3,n2n n Tnn,3n2n,1) n,52n,1 3,2n,52n,1 (n,3)(2, 2n(2n,1) T5n 于是确定n与2n,1的大小关系等价于比较2n与2n,1的大小 由2 2 1,1;22 2 2,1;23 2 3,1;24 2 4,1;25 2 5;K 可 猜想当n 3时，2n 2n,1.证明如下: 证法1:(1)当n=3时，由上验算显示成立。 (2)假设n k,12k,1k 时 2g2 2(2k,1) 4k,2 2(k,1),1,(2k,1) 2(k,1),1 20 所以当n k,1时猜想也成立 n 综合(1)(2)可知 ，对一切n 3的正整数，都有2 2n,1. 证法2:当n 3时 2 (1,1) Cn,Cn,Cn,K,Cn n n 1 2 n,1 ,Cn Cn,Cn,Cn n01n,1 ,Cn 2n,2 2n,1 n 综上所述，当n 1,2时 Tn 5n 2n,1，当n 3时 Tn 5n2n,1 31.(2009四川卷文)设数列(I)求数列 a an 的前n项和为Sn， 对任意的正整数n，都有n 5Sn,1 bn 4,an1,an (n N) * 成立，记。 an 与数列 bn 的通项公式; bn 的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rn 4k (II)设数列 成立,若存在，找出一个正整数k;若不存在， 请说明理由; cn b2n,b2n,1(n N) * (III)记，设数列 cn 的前n项和为Tn，求证:对任意正整数n都有 Tn 32; 解(I)当n 1时，又 a1 5S1,1, a1 , 1 4 an 5Sn,1,an,1 5Sn,1,1 an,1,an 5an,1,即 an,1an , 14 q , 1 4的等比数列， ?数列 an 是首项为 a1 , 1 4，公比为 4,(, an (, 14 14 14 )) n bn ) n (n N) n * 1,(, ?， ,,,,,,,,,,,,,3分 成立。 (II)不存在正整数k，使得 4,(,bn 1,(, Rn 4k 114 )) n 4, n 5(,4),1 n 证明:由(I)知 21 b52015 16k,40 2k,1,b2k 8,5(,4)2k,1,1,(,4)2k,1 8,5 16k,1,16k,4 8,(16k,1)(16k,4) 8. ,?当n为偶数时，设n 2m(m N) ?Rn (b1,b2),(b3,b4), ,(b2m,1,b2m) 8m 4n n 2m,1(m N,当n为奇数时，设) ?Rn (b1,b2),(b3,b4), ,(b2m,3,b2m,2),b2m,1 8(m,1) ,4 8m,4 4n ?对于一切的正整数n，都有Rn 4k ?不存在正整数k， 使得Rn 4k成立。 ,,,,,,,,,,,,,8分 bn 4,5 (III)由(,4)n,1得 c515 16n 16n 16nn b2n,1,b2n 42n,1,5 42n,1,1 (16n,1)(16n,4) 15 (16n)2,3 16n,4 15 (16n)2 1516n b134 1 3,b2 3, c2 3， T 3 当n 1时，12， 当n 2时， 1,(1,2 T41)n] n 3,25 (1 162,163, ,116n) 43,25 2[1 1,1 16 1 2 4,25 16693 31,1 48 2 16 32.(2009湖南卷文)对于数列{un},若存在常数M,0,对任意的n N*，恒有 un,1,un,un,un,1, ,u2,u1 M, 则称数列{un}为B,数列. ,1 (?)首项为1，公比为2的等比数列是否为B-数列,请说明理由; (?)设Sn是数列{xn}的前n项和.给出下列两组判断: 又22 A组:?数列{xn}是B-数列, ?数列{xn}不是B-数列; B组:?数列{Sn}是B-数列, ?数列{Sn}不是B-数列. 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论; (?)若数列{an}是B-数列，证明:数列{a2 n}也是B-数列。 an,1 解: (?)设满足题设的等比数列为{an},则n (,12) .于是 a1n,11,2 n,an,1 (,2),(,2)n 3 2 (1 2)n,2,n 2. |an,1,an|,|an,an,1|, ,|a2,a1| 3 1,(1)2, ,(1)n-1 1n =2 1, 222 3 1,() 3. = 2 ,1 所以首项为1，公比为2的等比数列是B-数列 . (?)命题1:若数列{xn}是B-数列，则数列{Sn}是B-数列.此命题为假命题. 事实上设xn=1，n N*，易知数列{xn}是B-数列，但Sn=n， |Sn,1,Sn|,|Sn,S,n1,| ,|S2,S 1|. n 由n的任意性知，数列{Sn}不是B-数列。 命题2:若数列{Sn}是B-数列，则数列{xn}不是B-数列。此命题为真命题。 事实上，因为数列{Sn}是B-数列，所以存在正数M，对任意的n N*，有 |Sn,1,Sn|,|Sn,S,n1,| ,|S2,S 1|, M 即|xn,1|,|xn|, ,|x2| M.于是 xn,1,xn,xn,xn,1, ,x2,x1 xn,1,2xn,2xn,1, ,2x2,x1 2M,x1, 所以数列{xn}是B-数列。 (注:按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法) (?)若数列 a n 是B-数列，则存在正数M，对任意的n N,有 23 an,1,an,an,an,1, ,a2,a1 M. 因为 an an,an,1,an,1,an,2, ,a2,a1,a1 an,an,1,an,1,an,2, ,a2,a1,a1 M,a1. 记K M,a22 1，则有an,1,an (an,1,an)(an,1,an) (an,1,an)an,1,an 2Kan,1,an. 222222 因此an,1,an,an,an,1,...,a2,a1 2KM. 故数列 a2 n 是B-数列. 33. (2009陕西卷理) 已知数列 xx1,1 n}满足， 2xn，1,1 ’1,x,n N* n. , ,猜想数列{xn}的单调性，并证明你的结论; |x (?)证明:n,1-x12n,n|?6(5)1 。 x112 1 2及xn+1 1,x得x2 ,x54 13 证明(1)由n38，x421 由x2 x4 x6猜想:数列 x2n 是递减数列 下面用数学归纳法证明: (1)当n=1时，已证命题成立 (2)假设当n=k时命题成立，即 x2k x2k,2 x1 2k,2,x2k,4 易知x2k 0，那么1,x,1 x2k,3,x2k,1 2k,11,x2k,3(1,x2k,1)(1,x2k,3) x2k,x2k,2 =(1,x2k)(1,x2k,1)(1,x 02k,2)(1,x2k,3) 即x2(k,1) x2(k,1),2 也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合(1)和(2)知，命题成立 x (2)当n=1时，n,1,xn x2,x1 16，结论成立 0 x 1, 1,x 2,x 当n 2n,1n,1n 1 时，易知1,x 1 n,12 24 (1,xn)(1,xn,1) (1, 11,xn,1 )(1,xn,1) 2,xn,1 52 xn,1,xn 11,xn , 11,xn,1 xn,xn,1 (1,xn)(1,xn,1) 222n-1 xn,xn,1 ()xn,1,xn,2 ()x2,x1555 2 12n-1 ) 65 an 35.(2009天津卷理)已知等差数列{anbn }的公差为d(d 0)，等比数列{ , bn }的公比为q(q>1)。设 sn = a1b1 + a2b2 „..+ ,若 Tn = a1b1a2b2 - +„..+(-1) n,1 anbn S3 ,n N a1b1 == 1，d=2，q=3，求 的值; 2dq(1,q 2n ) 若 b1 =1，证明(1-q) S2n -(1+q) T2n = 1,q 2 ，n N; ln是，，，n , (?) 若正数n满足2 n q，设 k1,,.k..,2,,..k.,n和1.2..ll12 的两个不同的排列， c1 ak1b1,ak2b2,...,aknbn ， c1 c2 c2 al1b1,al2b2,...,alnbn 证明。 本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公 式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力 的能力，满分14分。 (?)解:由题设，可得所以， an 2n,1,bn 3 n,1 * ,n N S3 a1b1,a2b2,a3b3 1 1,3 3,5 9 55 bn q n,1 (?)证明:由题设可得 2 则 2n,1 S2n a1,a2q,a3q,.....,a2nq 2 3 , ? 2n,1 T2n a1,a2q,a3q,a4q,.....,a2nqS2n,T2n 2(a2q,a4q,...,a2 nq 3 2n,1 , ) ? 式减去?式，得 式加上?式，得 S2n,T2n 2(a1,a3q,....,a,n2 2 2n, 1 q 2 ? ) 式两边同乘q，得 q(S2n,T) 2(aq,2n1 aq,...,.3 3 ,n2 a 2n,1 1 q ) 25 所以， (1,q)S2n,(1,qT2)n S(2n,T2n),q(2Sn,2T n) 2d(q,q3,K,q2n,1) 2dq(1,q2n 1,q2,)n N* (?)证明:c1,c2 (ak1,al1)b1,(ak2,al2)b2,K,(akn,aln)bn n,1 (k1,l1)db1,k(,2ldb2)q,1K,kn(,lndb)q1 因为d 0,b1 0,所以 c1,c2 db (k1,l1),(k2,l2)q,K,(k1n,ln)qn, 1 若kn ln，取i=n 若kn ln，取i满足ki li且kj lj,i,1 j n 由(1),(2)及题设知，1 i n且 c1,c2 (k1 db1,l1),(k2,l2)q,K(ki,1,li,1)qi,2,(ki,li)qi, 1 当ki li时，得ki,li ,1,由q n，得 ki,li q,1,i 1,2,3.....i,1 2 即k,2 1,l1 q,1，(k2,l2)q q(q,1)„，(ki,1,li,1)qi qi,(q,1) 又(ki,1 ,qi,1 i,li)q,所以 c1,c2q,1),(q,1)q,K(q,1)qi,2,qi,1 (q,1)1,qi,1 db ( 11,q 因此c1,c2 0,即c1 c2 c1,c2 ,1 当ki li同理可得db1，因此c1 c2 综上，c1 c2 37.(2009年上海卷理)已知 an 是公差为d的等差数列， bn 是公比为q的等比数列。若an 3n,1，是否存在m、k N*，有am,am,1 ak?说明理由; 26 an,1 找出所有数列若 an 和 bn ，使对一切n N, * an bn ,并说明理由; a1 5,d 4,b1 q 3, b a 试确定所有的p，使数列n中存在某个连续p项的和是数列n 中的一项，请证明。 ，得6m,5 3k,1， ((((((2分 [解法一](1)由 am,am,1 ak 4 k,2m 整理后，可得 , , 3， m、k N， k,2m为整数， 不存在m、k N，使等式成立。 ((((((5分 an,1 bn a1,nd b1q n,1 (2)若 a ，即 a1,(n,1)d n,1 ， (*) 1 b1q(?)若d 0,则 bn 。 当{ an }为非零常数列，{ bn }为恒等于1的常数列，满足要求。 ((((((7分 lim a1,nda1,(n,1)d 1 (?)若d 0，(*)式等号左边取极限得此时等号左边是常数， d 0，矛盾。 综上所述，只有当{ an n ，(*)式等号右边的极限只有当q 1时，才能等于1。 }为非零常数列，{ an,1an bn }为恒等于1的常数列，满足要求。((((((10分 an nd,c,若 bn,且 bn 为等比数列 【解法二】设 an,2 /an,1an * 2n,1 则 an,1 q,对n N都成立，即anan,2 qa 2 * 2 2 (dn,c)(dn,2d,c),q(dn,d,c)对n N都成立， a qd....7分 若d=0，则 an c 0, bn 1,n N * dn,d,c m 若 d 0,则q=1, bn m (常数)即 dn,c * ，则d=0，矛盾 an,1an bn an c 0,bn 1,使对一切n N, 综上所述，有(3)设 an 4n,1,bn 3,n N* n ， 10分 k * am,1,am,2, ,am,p bk 3,p、k N,m N . 4(m,1),1,4(m,p),1 2 p 3 k ， m,2p,3 3 k 4p , p、k N*, p 35 ,s N . 13分 3s,2,4m 3 2s,2 取k,2 3s,3 (4,1) 2s,2 ,2 (4,1)s ,3 0, 15分 由二项展开式可得正整数M1、M2，使得(4-1)2s+2=4M1+1, 2 (4,1)s 8Ms 2,(,1)2, 4m 4(M1,2M2),, (,1)s ,1, 2, 存在整数m满足要求. 故当且仅当p=3s,s N时，命题成立. 说明:第(3)题若学生从以下角度解题，可分别得部分分(即分步得分) 若p为偶数，则am+1+am+2+,,+am+p为偶数，但3k为奇数 故此等式不成立，所以，p一定为奇数。 当p=1时，则am+1=bk,即4m+5=3k， 而3k=(4-1)k 0 k = Ck 4,C1 ,1 kk 4 k (,1), ,Ck,1 k 4 (,1) k,1 ,Ck (,1)k 4M,(,1)k ,M Z, 当,为偶数时，存在,，使,,，,,3k成立 1分 当p=3时，则 =3k,所以4m+9=3k-am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk, 也即3(4m+9) 1,4(m+1)+5=3k-1 由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m, 4m+9=3k成立 2分 当p=5时，则am+1+am+2+,,+am+5=bk,即5am+3=bk 也即5(4m+13)=3k,而3k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在 故不是所有奇数都成立. 2分 三、解答题 10.(2008全国I)设函数f(x) x,xlnx(数列 an 满足0 a1 1，an,1 f(an)((?)证明:函数f(x)在区间(0， 1)是增函数; (?)证明: an an,1 1 ; ? a1,b(?)设 b (a1，1) k，整数a1lnb (证明: ak,1 b ( (?)证明:f(x) x,xlnx，f',x, ,lnx,当x ,0,1,时， f',x, ,lnx 0 故函数 f,x, 在区间(0,1)上是增函数; (?)证明:(用数学归纳法)(i)当n=1时， 0 a1 1 ， a1lna1 0 ， a2 f(a1) a1,a1lna1 a1 ，1)，1是]增函数，由函数f(x)在区间(0是增函数，且函数f(x)在 x 1处连续，则f(x)在区间(0a2 f(a1) a1,a1lna1 1 ，即 a1 a2 1 成立; a ak,1 10 a1?ak ak,1 1 (?)假设当x k(k N*)时，k成立，即 1]是增函数，0 a1?ak ak,1 1得 那么当n k,1时，由f(x)在区 间(0，f(ak) f(ak,1) f(1)ak,1 ak,2 1 .而 an,1 f(an) ，则 ak,1 f(ak),ak,2 f(ak,1) ， a an,1 1 ，也就是说当n k,1时，n也成立; an an,1 1 根据(?)、(?)可得对任意的正整数n， 恒成立. a f(an) (?)证明:由f(x) x,xlnx(n,1可 k a1,b, ailnaia,b a,b,alnak,1kkki 1 a?ba,b ai,b?0若存在某i?k满足i，则由?知:k,1 a ba,b a,b,alna,1kkk若对任意i?k都有i，则k k k k a1,b, ailnai a1,b, ailnb a1,b,( ai)lnb i 1 i 1 i 1 a,b,kalnb11 a b a,b,kalnb a,b,(a,b) 01111，即k,1成立. 11.(2008山东卷)将数列,an,中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 ,, 2bn 记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，,构成的数列为,bn,,b1=a1=1. Sn 为数列,bn,的前n项和，且满足,(n?2). 1 bnSN,S 2 n 1= (?)证明数列, Sn ,成等差数列，并求数列,bn,的通项公式; a81 , 491时， (?)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等 比数列，且公比为同一个正数.当求上表中第k(k?3)行所有项和的和. 12.(2007湖南)已知 Sn 3nan,Sn,1 2 2 2 An(an，bn)an 0 x a aS{a}y en N*()是曲线上的点，1，n是数列n的前n项和，且满 足 ， 3，，4,( ，n 2， bn,2 b (I)证明:数列 n (n?2)是常数数列; {a} (II)确定a的取值集合M，使a M时，数列n是单调递增数列; AA (III)证明:当a M时，弦nn,1(n N*)的斜率随n单调递增 S,Sn,1 3nan 解:(I)当n?2时，由已知得n( 2 2 2 因为于是 an Sn,Sn,1 0 ，所以 2 Sn,Sn,1 3n 2 ( ,, ? Sn,1,Sn 3(n,1) ( ,,? ( ,, ? 由?,?得于是 an,1,an 6n,3 an,2,an,1 6n,9 an,2,an 6e an,2an ( ,, ? ， ,, ? e 6 由?,?得 bn,2 所以 bn e e an,2,an bn,2 (n?2)b ，即数列 n 是常数数列( a2 12,2a (II)由?有 S2,S1 12 {a2k} ，所以 {a2k,1} (由?有 a3 a3,a2 15 ， a4,a3 21 ，所以 a3 3,2a ， a4 18,2a ( 而 ?表明:数列所以数列 和分别是以 a2 ，为首项，6为公差的等差数列， ， a2k a2,6(k,1){an} ， a2k,1 a3,6(k,1) a1 a2 ， a2k,2 a4,6(k,1)(k N*) 是单调递增数列且 且 a2k a2k,1 a2k,2 对任意的k N*成立( a1 a2a2,6(k,1) a3,6(k,1) a4,6(k,1) 94 a 154( a1 a2 a3 a4 a 12,2a 3,2a 18,2a 915 M a a 44 ( 即所求a的取值集合是 kn bn,1,bnan,1,an e an,1 ,e an (III)解法一:弦 AnAn,1 的斜率为 an,1,an 任取记当当 x0 f(x) e,e x x0 ，设函数 x x x,x0 x f(x) e(x,x0),(e,e0) (x,x0) x x xxx 2 ，则，则 x x g(x) e(x,x0),(e,e0)g (x) e(x,x0),e,e e(x,x0) ， x x0x x0 (x，, ) 时，g(x) 0，g(x)在0上为增函数， (, ，x0) 时，g(x) 0，g(x)在上为减函数， 所以 x x0 时， g(x) g(x0) 0 (, ，x0)(x0，, ) ，从而f`(x) 0，所以f(x)在和上都是增函数( {a} 由(II)知，a M时，数列n单调递增， kn e an,1 ,e an 取 x0 an ，因为 an an,1 an,2 ，所以 an,1,an e an,1 e an,2 ,e an an,2,an e an ( an,2 取 x0 an,2 ，因为 an an,1 an,2 kn,1 ,e an,2 ，所以 an,1,an,2 ,e an,an,2 ( 所以 kn kn,1 ，即弦 AnAn,1(n N*)e,e x an,1 的斜率随n单调递增( f(x) 解法二:设函数 kn e an x,an,1 e,e x (, ，an,1)(a，, ) ，同解法一得，f(x)在和n,1上都是增函数， an,1 ,e an,1 所以故 an,an,1 lim, n?a n,1 x,an,1 e an,1 kn,1 e an,2 ,e an,1 ， an,2,an,1 lim, e,e x an,1 n?an,1 x,an,1 e an,1 ( kn kn,1 ，即弦 AnAn,1(n N*) 的斜率随n单调递增( 5.(辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试) {an}满足a1 1,an,1 1a 2 n ,4 1,记Sn a1,a2, ,an, 222 数列 m的最小值 A(10 B(9 答案:A. 若 S2n,1,Sn m 30对任意n N*恒成立，则正整数 ( ) C(8 D(7