【word】 电磁散射的拉格朗日乘子区域分解算法

【word】 电磁散射的拉格朗日乘子区域分解算法 电磁散射的拉格朗日乘子区域分解算法 第6期 2007年6月 电子 ACIIAELECI.RONICAslNICA V01.35No.6 June2Oo7 电磁散射的拉格朗日乘子区域分解算法 吕志清,安翔,洪伟 (1.东南大学毫米波国家重点实验室,南京江苏210096; 2.西安电子科技大学天线与微波技术国家重点实验室,西安陕西710071) 摘要:针对电磁散射问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ,提出了一种基于广义变分原理的区域分解算法.将原求解区域划分为若干个不重 叠的子区域,引入拉格朗日乘子法以满足相邻子区域之间场的连续性要求,并建立其修正泛函,使原问题转化为求解 拉格朗日乘子.研究了子区域系数矩阵的可逆性.为了进一步提高效率,采用了重启的广义最小残量法为求解器.数值 算例验证了本文 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 的准确性和有效性. 关键词:电磁散射;区域分解算法;拉格朗日乘子 中图分类号:TN011文献标识码:A文章编 号:0372-2112(2007)06-1069.05 DomainDecompositionMethodwithLagrangeMultipliersfor theAnalysisofElectromagneticScattering L0Zhi—qing,ANXiang2,HONGWei (1.State嘶 laboratoryofMill~Waves,SoutheastUniversity,No~jing,Jiangsu210096,Ch/na; 2.State嘶 LaboratoryofAntennaandMicrowaveTechnology,XidianUniversity,m’?,Shoan~710071,Ch/na) Abstract:Adomaindecompositionmethod(DDM)basedonthegeneralizedvariationalprincipleispresentedfortheanaly— sisofelectromagneticscatteringproblems.Theoriginalcomputationdomainispartitionedintononoverlappingsubdomains.Thenthe modifiedfunctionalfortheoriginalproblemwasestablishedwithhelpofLagrangemultipliers,whichalsoenforcethecontinuity conditionsattheinterfacenodesbetweenneighboringsubdomains.Themethodleadstoareducedlinearsystemofequationswhere onlytheLagrangemup】 iersOCCUr.Theinvertibilityofthecoefficientmatrixoneachsubdomainisstud ied.Toimprovethealgo? rithmfurther,therestartedgeneralizedminimumresi~method(GRMES)isusedasthesolverbecauseofitssuperlinearconver- gencebehavior.Theproposedmethodisveryefficient,inparticularfortheelec tricallylargeproblems.Thevalidityandcomputation? alefficiencyhavebeenverifiedbysortienumericalexamples. Keywords:electromagneticscattering;domaindecompositionmethod;Lagrangemultipliers 1引言 电磁散射特性分析是非常典型的电磁问题之一,解 决此类问题的常见方法大致可以分为两类:积分方程类 方法和差分方程类方法.当遇到电大尺寸或超大电尺寸 问题时,未知数的数量往往非常多,导致矩阵规模高度 膨胀,远远超出计算机的硬件资源,而使得传统方法无 法使用.区域分解算法(DomainDecompositionMethod, DDM)为解决这个矛盾提供了一种有效的途径,由 于每次只需要处理一个子区域,因此大幅度降低了对内 存的要求,甚至在普通PC上就可以计算上百万波长的 电大问题.在计算电磁学领域,文献[1,2]最先提出了一 收稿日期:2006-01-09;修回日期:2007-01-01 种良态的传输条件,即Despres传输条件,从数学上保证 了区域分解算法的可行性.文献[3]采用”洋葱”式的分 区方式,把有限元和Despres传输条件相结合求解了二 维散射问题.文献[4]采用Schur补方法,在并行环境下 计算了二维导体柱的散射.文献[5]将计算结构力学中 的有限元分裂与互连算法(FiniteElementTearingandIn. temonnecting,唧)L6应用于电磁问题,它要求每个子区 域的系数矩阵是可逆的,但其算法不易保证这一点.文 献[7]则将区域分解思想应用于超大规模电路的参数提 取.文献[8]将区域分解算法应用于微波电路的全波分 析,并研究了其加速算法.文献[9]结合了区域分解算法 与时域有限差分方法.文献[1o]首次提出了一种利用矩 1070电子2O07焦 阵方程的基本解向量进行迭加的区域分解算法(Partial BasicSolutionVectors—DomainDecompositionMethod,PBSV— DDM),并将不变性测试方程(MeasuredEquationofInvari? 趴ce,胍I)应用于其中,获得了很好地效果.文献[11]则 将PBSV.DDM应用于二维电磁散射问题. 在上述研究基础上,针对电大散射问题,本文提出 了一种基于广义变分原理的区域分解算法.首先将原 区域划分为若干个不重叠的子区域,在每个子区域上 独立剖分网格.采用拉格朗日乘子法以满足相邻子区 域之间场的连续性条件,并以此建立了修正泛函,从而 将原问题转化为求解拉格朗日乘子.研究了子区域系 数矩阵的可逆性.为了加快求解速度,没有采用传统区 域分解算法常用的高斯.赛德尔迭代法_1~3,8,13,14],而是 利用Krylov子空间类算法超线性收敛的特点_1,采用 了重启的广义最小残量法来求解关于拉格朗日乘子的 缩维方程.数值算例验证了本文算法的准确性和有效 性. 2基本理论和方法 考虑图1所示的二维柱体散射问题,其纵向场分量 满足 f一耋(璧)一昌(a骞)+=,,?n() L边界条件,EI1 式中的,a和卢是与媒质特性有关的参数,,是激励 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 .常见的边界条件形式是 =p在上;(雾+a,)?二+一=g在n上 (2) 其中,P,q和),是已知函数;,是的边界,且P= Un;是单位外法向矢量. 上述问题的泛函为[17]: F()=1?.【()2+t~y()+1 + j(号)一』】(3) 不失一般性,将区域n分成四个互不重叠的子区 域n(i=1,2,3,4),如图2所示.显然,式(3)在每个子 区域上也是成立的,因此,它可以被改写成: (声)=F,(?,)+(声)+(?)+凡(?)(4) 其中(i=1,2,3,4)是子区域(i=1,2,3,4)上的场; ()是式(3)在子区域(i=1,2,3,4)上的表达式, 即 吉?.警)()1df’J + J’?.. (詈一)一(5) 在两个子区域的连接边界处,场应满足连续性条 件 ‘I1I/’1=‘IIr1,’I1Ir2=‘I2Ir2,’I3I=zI,’I3Ir4=Ir4 (6) 根据广义变分原理[19],引入拉格朗日乘子,得到修正泛 函: F=F1(1)+F2(2)+F3(3)+() +I1(1一4)+I2(l一2) 』TIF2 +I3(3一2)+I4(3一4)(7)』1 其中1,2,3和4分别是对应于四条连接边界I11, I12,I13和I14的拉格朗日乘子.在引入拉格朗日乘子 后,式(3)和(6)的驻值问题就转化为修正泛函的驻 值问题. 采用有限元方法,在每个子区域上独立地剖分网 格,使相邻子区域在连接边界上的网格保持匹配.令 对(i:1,2,3,4)的一次变分等于零,得到 K1000 000 000 000K4 1 一 2 3 4 + 曰T1曰T200 0曰曰0 00曰T3曰 曰五00曰五 1 一 2 一 |;L3 一 4 (8) 其中K分别是第i个子区域中的()经离散后所 得到的系数矩阵和右端向量;是由第i个子区域中的 未知场量组成的列向量;是由第i条连接边界上的拉 格朗日乘子组成的列向量;T的作用是将第条连接边 界上的拉格朗日乘子映射到第i个子区域,相当于一个 扩充算子. 令对2i(i=1,2,3,4)的一阶偏导数等于零,得 到离散后的连续性条件 Bll00 B12B220 0B23B33 00B34一声 (9) 式中B的作用是将第.『个子区域上的场值映射到第i 条连接边界,相当于一个提取算子.式(8)和(9)中的云 和互为转置矩阵,它们的元素只有三种取值:0,1, 第6期吕志清:电磁散射的拉格朗日乘子区域分解算法1071 一 1. 将式(8),(9)写成分块矩阵的形式,即 (K云)= 从而得到关于的缩维方程 B—K一云=藤一(11) 一 旦从上式求出了,就可以根据式(8)独立地求解每 个子区域内部的场值. 然而,式(6)属于Dirichlet条件,式(8)中的矩阵 (i=1,2,3,4)并非在任何情况下都是可逆的,在物理上 表现为存在谐振问题1J.如果任何一个(=1,2,3, 4)奇异,上述算法都会失效.为了解决此问题,根据电 磁场的唯一性定理[,即:对于一个有耗区域,如果给 定了其边界上的切向场分量,就可以唯一地确定此区 域内部的场.因此,在划分子区域时,如果一个子区域 内的媒质是有耗的,其内部不会发生谐振,相应的矩阵 是可逆的;如果子区域内不存在损耗,则可以使该子 区域包含损耗性的边界条件,比如,完全匹配层或者引 入Despres传输条件,这样该子区域所对应的k就成为 可逆矩阵. 3算法的实现 本算法的关键在于求解方程式(11),我们采用迭代 法,在求解过程中只需要计算矩阵向量积,不必显式形 成I1云.传统区域分解算法往往采用高斯.赛德尔 迭代法,其收敛相对较慢,为了加快求解速度,本文采 用具有超线性收敛特点的Krylov子空间类算法,并选择 了重启的广义最小残量法,具体过程如下: (1)在每个子区域上独立地计算右端向量的贡献, 通过B将其提取到连接边界; (2)给定的初值; (3)通过云将互扩充到每个子区域,独立地求解 每个子区域; (4)通过B提取出连接边界上的场值,得到矩阵向 量积; (5)判断是否收敛,如果已经收敛,就停止迭代,否 则,回到(3). 需要说明的是,扩充算子云和提取算子云并不需 要显式形成,而且几乎不花费计算量和存储量,在编制 计算机程序时,它们只是一组赋值语句.为了提高收敛 速度,可以构造合适的预条件器.从式(11)来看B硒1’ 似乎是一个很好的选择,然而,数值实验表明,这个预 条件器的效果并不理想,在某些情况下甚至还起到相 反的作用(见下文算例3). 4数值算例 算例1计算了平面波照射下的理想导体椭圆柱 的电磁散射.椭圆长轴为5,短轴为2.072(是自由空 间中的波长,下同).采用二阶吸收边界条件,有限元网 格尺寸为0.052,沿椭圆长轴方向把计算区域分成上下 两个完全相同的子区域.图3和图4分别是TM波和,IE 波入射时柱体表面电流的计算结果,可以看出,本文算 法与传统有限元方法的计算结果吻合得很好,这说明 本文方法是准确的. ,(.) 图3柱体表面电流分布(TM波入射) ,(.) 图4柱体表面电流分布(TE波入射) 算例2区域分解算法的一个重要研究目标是解 决电大问题.我们计算了TM波照射下周长为1000A的 理想导电方柱的散射.采取沿环向划分子区域的 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 , 使每一个子区域都包含一段吸收边界.图5是柱体表面 电流计算结果.为了对比计算效率,分别采用本文方法 和PBSV.DD10,11J计算了周长从402到103002的理想 导体方柱的电磁散射,采用完全相同的网格剖分和子 区域划分方式,图6统计了两种算法需要求解的矩阵方 L| 图5理想导体方柱表面的电流分布 1O72电子2OO7短 程的数量,它清楚地表明了本文算法的计算效率更高. 簌 譬 书6 戳 极 垃 墩 连接节点数 图6两种算法计算效率的对比 算例3图7是两个圆心距d=50的理想导体圆 柱,它们的半径均为.=20,l,表面都涂覆有总厚度为 2f的有耗媒质,其中t=0.2,媒质1的参数为,1=4— 2j,,1=4;媒质2的参数为,r2=2一J,=2.计算了入 射波沿225~入射时的雷达散射截面,计算结果见图8. 计算中,取媒质1的网格尺寸为0.0512,媒质2的网格 尺寸为0.o3,自由空间的网格尺寸为0.06,总共有 1539244个未知数.将整个计算区域沿环向分成8个子 区域,连接边界上总共有1109个节点,其中最大的子区 图7两个涂覆介质的电大尺寸导体圆柱示意图 (图中的?代表第一种媒质;?代表第二 种媒质) ,(.) 图8两个涂覆介质的电大尺寸导体圆柱的雷达散射截面 域有436910个未知数.分两种情况:一是不使用预条件 器;一是使用预条件器劫,计算精度要求都为相对 误差不超过1O,.结果表明,不使用预条件器时,需要 迭代9r7次,占用的计算时间为1832.35s,内存为52NB (在一台PentiumIV3.4GI-lz,1GB内存的计算机上);而 使用预条件器时,竞需要迭代733次,占用的计算时间 为31640s.可见该预条件器不仅没有降低迭代次数,还 起到了相反的作用,类似现象在计算导电柱体散射时 也曾出现过,其原因是该预条件器未能使矩阵的条件 数有所改善,这也说明构造高效率的预条件器将是一 个重要的工作. 5结论 针对电磁散射问题,本文提出了一种基于广义变 分原理的区域分解方法.通过引入拉格朗日乘子法以 满足相邻子区域之间场的连续性要求,将有约束的变 分问题转化为无约束的变分问题,将原问题转变为求 解拉格朗日乘子,研究了子区域系数矩阵的可逆性,并 采用重启的广义最小残量法为求解器,以加快计算速 度.该算法极大地提高了计算效率,数值算例验证了其 准确性和有效性. 尽管本文算法具有并行计算的特点,但受硬件资 源所限,我们尚未在这方面展开工作. 参考文献: [1]DespresB.DomaindecompositionmethodandtheHelmholtz problem[A].ProcIntSympMathematNumericalAWe,~ WavePropagationPhenomena[Cj.StrasbourgFrance:SIAM, 199.44,52. 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