初三升高一数学教材

初三升高一数学教材 新人教版高一数学(必修1) 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示 (1) 元素:一般地，我们把研究的对象称为元素(element)。 bc„表示。 元素通常用小写字母a，， (2) 集合:把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)。 集合通常用大写字母A，B，C„表示。 课文说“我们一般用花括号‘{}’表示集合”，也就是赋予了符号“{}”新的含义:表示“所有的”、“全部的”，具有共同特征的研究对象都在大括号内。 注意:{正数}表示所有大于0的实数组成的集合。这种表示是正确的。 但是{所有的正数}这种表示方法是错误的。因为“{}”已经包含“所有的”含义。 (3) 元素与集合的关系:元素与集合的关系有“属于”和“不属于”两种。 元素a属于集合A，记作aA;元素a不属于集合A，记作aA。 ,, ? 符号和是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系。 ,, ? aA与aA取决于a是不是集合A中的元素。两种情况有且只有一种成立。 ,, (4) 集合中元素的特征:?确定性;?互异性;?无序性。 (5) 集合的分类:?有限集;?无限集。 6) 集合的表示方法: ( ? 自然语言法:用文字叙述的形式描述集合的方法。使用此方法时注意叙述清楚。 如:大于1且小于10的偶数构成的集合 注意:用自然语言描述集合不要出现花括号{}。 ? 列举法:将集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法。 注意元素不能重复且元素之间用分隔号“，”。 如:所有正奇数的集合为{1，3，5，7，9，„} ? 描述法:把集合中元素的共同特征描述出来，写在花括号内表示集合的方法，它的 一般形式是{xI|P(x)}，其中“x”是集合中元素的代表形式，它的范围是I;“P(x)”, 是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略。 如不等式2x-5>1的解集可表示为{x|x > 3}或{xR|2 x -5>1}或{x|2 x -5>1} , ? 韦恩(Venn)图法:为了形象地表示集合，常画一条封闭的曲线，用它的内部来表 示一个集合的整体。 ? 区间法:(将会在后面的“1.2函数的概念及其表示法”中学习到。) (7) 特殊集合的表示: 对于一些常用的数集，我们指定一些大写的拉丁字母专门表示这些集合: ?非负整数集(或自然数集)记作N;?正整数集记作N+或者N*;?整数集记作Z; ?有理数集记作Q;?实数集记作R。 [例1]考查下列每组对象能否构成一个集合: (1)著名数学家; (2)月成辅导学校所有高个子同学; (3)直角坐标平面内第一象限的一些点; ,(4)的近似值的全体; (5)不超过10的非负数。 1 新人教版高一数学(必修1) [例2]用符号或填空: ,, 2*(1); (2); 23 {xx,11}， 23 {xx,3}3 {xx,n，1，n,N} 22(3)。 (,1， 1) {yy,x}， (,1，1) {(x，y)y,x} [例3]按要求分别表示下面的集合: (1)用自然语言描述集合{0，2，4，6，8，„}; (2)用列举法表示集合{30的正约数}; (3)用描述法表示集合“正偶数集”; (4)用描述法表示集合{2，-4，6，-8，„，98，-100}; (5)用列举法表示集合{(x，y)|x+y=3，xN，yN}。 ,, 222[例4]下面三个集合:?;?;?。 {xy,x，1}{yy,x，1}{(x，y)y,x，1}(1)它们是不是相同的集合,(2)它们各自的含义是什么, 233x，,x，x，x，,x[例5]由实数所组成的集合，最多含有元素的个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 22[例6]已知集合M={-2，，若2M，求x。 3x，3x,4， x，x,4}, 2[例7]若，求实数的值。 a,3,{a,3， 2a,1，a，1} 2baba，ba[例8]设集合A={1，，}，B={，，}，且A=B，求实数。 aa [例9]已知集合S={a，b，c}中三个元素分别是?ABC的三边长，则?ABC一定不是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 2A,{xax,3x，2,0}[例10]已知集合aa,其中为常数且R。 , a(1) 若集合A是空集，求的范围; a(2) 若集合A只有一个元素，求的值; a(3) 若集合A中至多有一个元素，求的范围。 2 新人教版高一数学(必修1) 1.1.2 集合间的基本关系 (1) 子集:对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说集合A包含于集合B，或说集合B包含集合A，记作:AB(或BA)。这时我们也,,说集合A是集合B的子集。 注意:?当A不是B的子集是记作AB(或BA);?任何一个集合是它本身的子集，即AA;?空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，通常记为;?空集是任何集合的,,子集，即A;?子集具有“传递性”，即:如果AB，BC，那么AC。 ,,,,, (2) 集合相等:如果集合A中的任何一个元素，都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。 根据集合相等的定义可知:要证明A=B，只要证明AB且BA成立即可。 ,,(3) 真子集:如果AB，且A?B，就说集合A是集合B的真子集，记作AB , 注意:空集是任何非空集合的真子集。 (4) 有限集合的子集个数问题: n? 个元素的集合有个子集; 2n n? 个元素的集合有个真子集; 2,1n n? 个元素的集合有个非空真集。 2,1n 2BA,m[例11]已知集合A,,1，3，2,1， B,3，。若，求实数的值。 mm{}{} 2Q,{xax,1}[例12]已知集合P,{xx,1},，集合，若QP，求的值。 a 2BA,Bxmx,，,|10Axxx,，,,|60[例13]已知集合，，且，求m取值范围。 ,,,, [例14]下列各组中的两个集合相等的有() P,{xx,2n，n,Z}， Q,{xx,2(n,1)，n,Z}?; P,{xx,2n,1，n,N}， Q,{xx,2n，1，n,N}?; ，， n1，(,1)2P,{xx,x,0}， Q,{xx,，n,Z}? 2 A. ??? B. ?? C. ?? D. ?? 3 新人教版高一数学(必修1) [例15]已知集合M满足{1，2}M{1，2，3，4，5}，满足条件的集合M有多少个,写,, 出所有的满足条件的集合M。 x,3[例16]设集合M={}，集合N={}，则M与N的关系是() x(x,4)(x,1),0x,0x,2 A.M=N B.MN C. MN D.MN ,,, [例17]已知A={}，B={}，且AB，求实数k的取值范围。 x1,x,3xk，1,x,2k, 1.1.3 集合的基本运算 (1) 并集:由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的并集。 记作A?B。读作:A并B。其含义用符号表示为: ABxxAxB:,,,{|,}或 用Venn图表示并集如下: B AA (2) 交集:由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集。 A:B,{xx,A，且x,B}记作:A?B。读作:A交B。其含义用符号表示为:。 用Venn图表示交集如下: B A (3) 交集与并集的运算性质: A:A,A，A:A,A?; ?; A:,,,，A:,,A A:B,B:A，A:B,B:A?; ?(A:B):C,A:(B:C)，(A:B):C,A:(B:C); A:B,A,A,B，A:B,A,B,A?。 (4) 全集:一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。 4 新人教版高一数学(必修1) (5) 补集:对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。 CA,{xx,U，且x,A}其含义用符号表示为: U 用Venn图表示交集如下: U A A UC (6) 补集与交集、并集的性质——反演律: C(A:B),(CA):(CB)C(A:B),(CA):(CB)?;?。 UUUUUU :[例18] 设U={三角形}，M={直角三角形}，N={等腰三角形}，则MN= :MN= CM= U :CN= C(MN)= UU [例19] 设集合 AxxBxxAB,,,,,,,{|12},{|13},.集合求: 22[例20] 设集合A={x},集合B={x},若已知 ,Zx,px，15,0,Zx,5x，q,0 :AB={2,3,5},则集合A、B分别为( ) A({3，5}、{2，3} B({2，3}、{3，5} C({2，5}、{3，5} D({3，5}、{2，5} 2[例21]已知全集U,{1，2，3，4，5}，A,{xx,5x，4,0}，求。 CAU 2B,{xx,0，x,R}A,{xx,4mx，2m，6,0,x,R}[例22]已知集合，，若已知 ，求实数m的取值范围。 A:B,, 222:x，4x,0,B,{xx，2(a，1)x，a,1,0}[例23] 设A={x,其中xR,如果AB=B，, a求实数的取值范围。 5 新人教版高一数学(必修1) 22AyyxxyNByyxxyNAB,,,，,,,,,，,46,,218,,求:[例24]已知。 ,,,, 22[例25]已知集合 AxxpxqBxxpxqABAB,，，,,,,,,,0,20,1,.且求::,,,,,, [例26]设全集。已知， (CA):(CB),{a，e}U,{a，b，c，d，e，f，g，h}UU ，，，(CA):(CB),{a，b，c，e，f，g，h}(CA):B,{c，g}(CB):A,{b，f，h}UUUU 求集合A和集合B。 x，1x:[例27] 若M={}，N={Z}，则MN等于( ) xn,,n,Zxn,,n,22 A( B({} C({0} D(Z ,, 222AxxxBxxaxaCxxmx,,，,,,，,,,,，,430,10,10,[例28]已知集合 ,,,,,, 的值或取值范围。 且求ABAACCam::,,,,, ,[例29]定义A—B={x|x?A，且xB}，若M={1,2,3,4,5},N={2,4,8}，则N—M= 。 [例30]某班50个学生中，参加数学竞赛的25个，参加化学竞赛的32人，既参加数学竞 赛又参加化学竞赛的人数最多是几人,最少又是几人, 6 新人教版高一数学(必修1) 1.2 函数的概念及其表示法 (1) 函数的定义: ?传统定义:在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y值与它对应，则称y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量。 ?现代定义:设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中 x)和它对应，那么就称f:A?B为从集的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f( 合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x?A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x?A}叫做函数的值域。 (2) 映射的定义:一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应(包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A?B。如果集合A中的元素a对应到集合B中的元素b，那么其中集合B中的元素b是集合A中元素a对应的“象”;b是a的“原象”。 由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集。 对应有以下几种形式: 开平方 求正弦 求平方 乘以2 1 13 1 1 30: 9 2,1 1 ,3 2 245: 2 2 3 2 24 ,2 4 ,2 60: 4 3 3 1 5 90: 23 1 ,3 9 ,1 16 ) (2) (3) (4) (1 其中:一对多(如?)、多对一(如?)、一对一(如?、?) 总结:?根据映射的定义知“一对多”(如?)不是映射;?A中每一个元素都有象; ?B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象;?A中每一个元素的象唯一。 (3) 函数的定义域:函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受实际意义的制约。 2S,,R如:的定义域是非负实数;圆半径R与面积S的函数关系的定义域为y,x 1y,正数;的定义域是非零实数„„ x 注:求函数的定义域的常见类型 ,(当f(x)为整式时，定义域为,; ,(当f(x)为分式时，定义域为使分母不为,的x的集合; ,(当f(x)为二次根式时，定义域为使被开方式非负的x的集合; ,(当f(x)是由几个式子组成时，定义域是使得各个式子都有意义的x的值的集合。 7 新人教版高一数学(必修1) (4) 函数的对应法则:对应关系f是函数关系的本质特征，y=f(x)的意义是:y就是x 在关系到f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径。 如:f(x)=3x+5，f表示自变量的3倍加上5。 (5) 函数的值域:函数的值域:自变量在定义于内取值时相应的函数值的集合。 x (6) 求函数的值域的常用方法: 1(观察法求函数值域 ]求下列函数值域: [例31 2yx,,，32x,,[1,2]x,,,{2,1,0,1,2}yx,,1(1) (2) 1,0x,, ,yx,,0,0,3y,，1,,,1,0x,x(3) (4) 2(配方法求二次函数值域 2yxx,，,23[例32]已知函数，分别求它在下列区间上的值域。 x,，,[0,)x,,[2,2]x,[1,2]xR,(1); (2); (3); (4)( 提示:(1)函数的定义域不同，值域也不同; (2)二次函数的区间值域的求法:?配方;?作图;?求值域。 (部分分式法求分式函数的值域(分离常数法) 3 5x，4y,[例33]求函数的值域。 x,1 4(利用“已知函数的值域”求值域 [例34]求下列函数的值域: 2yx,,13yxx,,，23(1); (2); 1y,22yx,,25xx，，23(3); (4)( 5(换元法求函数值域 [例35]求函数的值域。 yxx,,,12 6(判别式法求函数值域 [例36] 求函数的值域。 y,1,2x，x 8 新人教版高一数学(必修1) (7) 两个函数相等的定义:函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。 [例37]试判断以下各组函数是否表示同一函数, 3231)f(x)=，g(x)=; (xx 1x,0,,|x|(2)f(x)=，g(x)= ,,1x,0;x, 2xx，1(3)f(x)=，g(x)=; x，x 22(4)f(x)=x,2x,1，g(t)=t,2t,1。 提示:对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数 (8) 区间的概念:设a、b是两个实数，且a 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 制定: ?乘坐公共汽车5公里以内，票价2元; ?5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)。 已知两个相邻的公共汽车站间相距为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。 设票价为y，里程为x，则根据题意，如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站，那么汽车行驶的里程约为20公里，所以自变量x的取值范围是。 ，,0,2 由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式: 2， (0,x,5), ,3， (5,x,10), y= ,4， (10,x,15), ,5， (15,x,20), 根据这个函数解析式，可画出函数图象(如图) 像上面那样表示的函数称为分段函数 注意:,(表示函数的式式可以不止一个，对于分几 个式子表示的函数，不是几个函数而是一个分段函数 ,(函数的图象不一定是一条式几条无限长的 平滑曲线，也可以是一些孤立的点，一些线段，曲线。 (12) 函数图像的作法:?描点法;?变换作图法(平移、对称、其它) [例41]作出下列函数的图像: 221,xx,(,1) (,0)x，x2,yy,x,2x，1y,?; ?; ? ,2x,12x， (x,0), 10 新人教版高一数学(必修1) (13) 用代入法和待定系数法求函数的解析式: 22222?代入法:如已知，求时有:; f(x),x,1f(x，x)f(x，x),(x，x),1?待定系数法:已知的函数类型，要示的解析式时，可根据类型设解析式，从f(x)f(x) 而确定其系数即可。 [例42]已知是一次函数，且，求。 f(x)f[f(x)],4x，3f(x) ?换元法:已经函数求时，令，再求，然后用代替t即可。 xf[g(x)]f(x)t,g(x)f(t)除上述方法以外，还有“拼凑法”、“方程组法”等。 [例43]求下列函数的解析式: 21.已知求(代入法) f(2x，1); f(x),x，2x， 2.已知求;(换元法,拼凑法) f(x)f(x,1),x，2x， 1f(x),2f(),3x，2，求。(方程组法) 3.已知f(x)x xx,0,,[例44]已知函数试求的值。 fx,f{f[f(,2)]}，，,2xx,0,, 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 (1)如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单y,f(x)y,f(x)调区间，及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。 y,f(x) ,，,，,，,,解:函数的单调区间有,5,,2,,2,1,1,3,3,5， y,f(x)y y ，,,5,2其中y,f(x)在区间， ,，1,3,，,,,2,1,3,5上是减函数，在区间上是增函数。 0 -5 5 x x 注意:1 单调区间的书写 -5 2 各单调区间之间的关系 5 11 新人教版高一数学(必修1) (2)增函数与减函数的定义:一般地，设函数的定义域为I: f(x) 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有x、xx,x1212 ，则函数在区间D上是增函数; f(x),f(x)f(x)12 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有x、xx,x1212 ，则函数在区间D上是减函数。 f(x),f(x)f(x)12 根据函数的单调性的定义判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤: ?取值:在给定区间上任取两个值，，且; xxxx,1212 ?作差变形:作差，通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形; fxfx()(),12 ?定号:判断上述差的符号，若不能确定，则可分区间讨论; fxfx()(),12 ?结论:根据差的符号，得出单调性的结论。 1f(x),,,1[例45]求证:函数在区间上是单调增函数。 (,,,0)x 提示:按照上面所给步骤的格式进行证明。 3[例46]求证:函数在R上是增函数。 f(x),x，x 2[例47] (1)已知函数在区间上是减函数， (,,,3]f(x),x，2(a,1)x，2 求实数的取值范围; a 2 (2)已知的单调递减区间是， (,,,3]f(x),x，2(a,1)x，2 求实数a的取值范围。 ax，11f(x),(a,)[例48]讨论函数在上的单调性。 (,2,，,)x，22 12 新人教版高一数学(必修1) (3)复合函数的单调性: 设，，，都是单调函数，那么在区y,f(x)u,g(x)x,[a,b]u,[m,n]yfgx,[()]间上也是单调函数。并且: [a,b] ?若是上增函数，则与定义在上的函数单调性相同。 y,f(x)[,]mnyfgx,[()][a,b]u,g(x) ?若是上减函数，则与定义在上的函数单调性相反。 [a,b]y,f(x)[,]mnyfgx,[()]u,g(x) 即复合函数的单调性:当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正”) 22[例49]已知，试讨论函数的单调性。 f(x),x,2x,3f(5,x) (4)函数最大(小)值的定义: 一般的，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足: y,f(x) x,I，都有;?存在，使得。 ?对于任意的x,If(x),Mf(x),M00 那么我们称M是函数的最大值。 y,f(x) 下图为函数的图像，指出它的最大值、最小值及单调区间。y,f(x),x,[,4,7] y 3 2 1 -1.5 O -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x -1 -2 [例50]求下列函数的最小值: 12y,,x,[1,3] 1( 2( 3( y,x,2xy,2x,1，xx 2[0,m][例51] 函数在闭区间上有最大值3，最小值2，求m的取值范围。 y,x,2x，3 13 新人教版高一数学(必修1) 2x，3x,0, ,y,x，30,x,1[例52]函数的最大值是多少, , ,,x，5x,1, 1 [例53] 求的最大值为。 f(x),1,x(1,x) 1.3.2 奇偶性 234引:对于f(x),x、f(x),x、f(x),x、f(x),x，分别比较f(x)与f(,x)。 (1)偶函数:一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，xf(x)f(,x),f(x)那么函数就叫做偶函数。 f(x) 奇函数:一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，xf(x)f(,x),,f(x)那么函数就叫做奇函数。 f(x) (3)奇偶性:如果函数是奇函数或偶函数，那么就说明函数具有奇偶性。 f(x)f(x)(4)正确理解函数奇偶性的定义。定义是判断或讨论函数奇偶性的依据，由定义知，若x是定义域中的一个数值，那么-x也必然在定义域中，因此，函数是奇函数或偶函数y,f(x)的一个必不可少的条件是:定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性。 无奇偶性的函数是非奇非偶函数;若一个函数同时满足奇函数与偶函数的性质，则既是奇函数，又是偶函数。 (5)两个奇偶函数四则运算的性质: ?两个奇函数的和仍为奇函数; ?两个偶函数的和仍为偶函数; ?两个奇函数的积是偶函数; ?两个偶函数的积是偶函数; ?一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。 14 新人教版高一数学(必修1) [例54]判别下列函数的奇偶性: 1x32f(x),|x，1|+|x,1|、f(x),、f(x),x，、 f(x),、f(x),x,x?[-2,3] 22x1，xx 提示:函数奇偶性判别方法:先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法判别f(x)与f(-x)的关系。 思考:f(x)=0的奇偶性, 7[例55]设f(x),ax，bx，5，已知f(,7),,17,求f(7)的值。 1[例56]已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x),g(x),，求f(x)、g(x)。 x，1 [例57]已知函数f(x)，对任意实数x、y，都有f(x+y),f(x)，f(y)，试判别f(x)的奇偶性。 [例58]已知f(x)是奇函数，且在[3，7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7，-3]上是 函 数，且最 值是 。 2[例59]已知函数f(x)=ax+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函数值域。 (6)函数的奇偶性与单调性之间的关系: 一般地，若为奇函数，则在[a，b]和[-b，-a]上具有相同的单调性;若为f(x)f(x)f(x)偶函数，则在[a，b]和[-b，-a]上具有相反的单调性。请大家试证明之。 f(x) 2[例60]定义在上的奇函数在整个定义域上是减函数，若，f(x)(,1,1)f(1,a)，f(1,a),0 求实数a的取值范围。 [例61]已知函数是偶函数，在上递减，且，试问: y,f(x)x,(0，，,)f(x),0 1g(x),(,,，0)在上是增函数还是减函数，并证明之。 f(x) 15 新人教版高一数学(必修1) (7)奇函数、偶函数的图像的性质: 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的对称图形(奇函数的图像不一定过原点);反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。 由于奇函数的图像关于原点对称，那么我们可以得出结论:如果奇函数的定义域f(x)为R时，那么必有，这是一个非常重要的结论，在许多与函数的奇偶性有关的综f(0),0 合题型中求解函数的一些性质时往往需要用到它。 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之，如果一个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数。 根据上面的性质，我们也可以学习到画函数图像的另一种方法:如果知道一个函数的奇偶性，我们只要把它的定义域分成关于原点对称的两个部分，得出其中一个部分的函数图像和性质就可以推出这个函数在另一部分上的图像和性质。 [例62]是偶函数，图像与x轴有四个交点，则方程所有实根之和是() y,f(x)f(x),0 A.4 B.2 C.1 D.0 [例63]若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且， f(x)(,,,0]f(2),0 则使得的x的取值范围是( ) f(x),0 (A) (B) (C) (D)(,2，2) (,,,2)(2,，,)(,,,,2):(2,，,) [例64]设奇函数在上为增函数，且，则不等式 fx()(0)，，,f(1)0, fxfx()(),,,0的解集为( ) x (A) (B) (10)(1),，,，，:(1)(01),,,，，: (C) (D) (1)(1),,,，,，，:(10)(01),，，: (1)()xxa，，fx(),[例65]设函数为奇函数，则a, ( x 1x,[例66]设f(x)是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称， y,f(x)2 则=________________( f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5) f(x)[例67]已知定义域为R的函数在(8,，,)上为减函数，且函数y,f(x，8)为 偶函数，则( ) f(6),f(7)f(6),f(9)f(7),f(9)f(7),f(10)(A) (B) (C) (D) 16 新人教版高一数学(必修1) 第一章 知识与能力同步检测(A) 一、选择题(每小题3分，共36分) 1(已知全集，，则( ) U,1,2,3,4,5,6,7A,2,4,5CA,,,,,u ,A. B. C. D. 2,4,61,3,6,71,3,5,7,,,,,,2(已知集合( ) AxxBxxAB,,,,,,,,13,25,则:,,,, A. ( 2, 3 ) B. [,1,5] C. (,1,5) D. (,1,5] 3(图中阴影部分表示的集合是( ) U A. B. A:CBCA:BUUA B C. D. C(A:B)C(A:B)UU xy,,23,4(方程组的解集是( ) ,211xy，,, 51，15，51，15，A . B. C. D. ,,,,，，，，,,,,5(已知集合, 则A与B之间的关系是( ) AxxkkZBxxkkZ,,,,,,3,,6,,,,, AB,AB,A. B. C. D. ABØABÙ6(下列函数与y=x表示同一函数的是( ) 22x233y,xA. B. C.y, D. yx,yx,，，x 27(函数的减区间是( ) yxx,,6 A . (,2] B. [2, ) C. [3, ) D. (,3] ,,，,，,,, 43,6y,8(函数在区间 上是减函数，则y的最小值是( ) ,,x,2 A . 1 B. 3 C. ,2 D. 5 9(下列说法错误的是( ) 42A.是偶函数 yxx,， B. 偶函数的图象关于y轴轴对称 32C. 是奇函数 yxx,， D. 奇函数的图象关于原点中心对称 xx,，,1410(函数f(x)= 的定义域是( ) :,1,41,4A. B . C. D. (，1) [4，] ,,，,，，,, 17 新人教版高一数学(必修1) 2x,0x,,11(函数f(x)= ，则=( ) f(2),,xx(1)，,0x,, A. 1 B .2 C. 3 D. 4 212(某部队练习发射炮弹，炮弹的高度h与时间t的函数关系式是httt,,，，4.914.718，，则炮弹在发射几秒后最高呢( ) A. 1.3秒 B. 1.4秒 C. 1.5秒 D 1.6秒 选择题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、填空题(每小题4分,共16分) 13.已知集合，则集合A的真子集的个数是 Aabc,,,,,, 2,x14.函数的定义域是 y,x,1 53f2,fxxaxbx,，，,8,f,,21015.已知，则 ，，，，，， 16. 对于函数，定义域为D，若存在使，则称为的图象 fx()fx()xD,fxx(),(,)xx00000 95x,上的不动点。由此，函数的图象上不动点的坐标为 fx(),x，3 三、解答题(每大题12分，共48分) 17(已知集合Axx,,,,25Bxmxm,，,,,121，。 ,,,, AB:BA,(1)当m=3时，求集合; (2)若，求实数m的取值范围。 18 新人教版高一数学(必修1) 2218(已知，当为何值时，为奇函数。 mn,fx()fxmxmxn()(1)(1)2,,，,，， 219.已知函数。 fxxx,,，2，， (1)讨论在上的单调性并证明之; fx[1,)，,，， (2)当x,2,5时，求fx的最值。 ，，,, mfxx,，,20. 已知函数 且此函数图象过点(1，5)。 ，，x (1)求实数m的值; fx(2)判断奇偶性; ，， fx(3) 讨论函数在上的单调性,并证明你的结论。 [2,)，,，， 19 新人教版高一数学(必修1) 第一章 知识与能力同步检测(B) 一、选择题(每小题4分，共40分) 1(设集合，则满足的集合B的个数是( ) A,{1,2}AB,,{1,2,3} A(1 B(3 C(4 D(8 x22(已知集合M,,x|,，N,,y|y,3x，1，x,R,，则M,N,( ) ,03(x,1) A(, B({x|x,1} C(,x|x,1, D({x| x,1或x,0} 3(下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是( ) A. , B. , M,{},N,{3.14159}M,{2,3}N,{(2,3)} C. , D. , N,{1}MxxxN,,,,,{|11,}M,{1,3,},N,,{,1,|3|}, AB:,4(若，则( ) AxxBxx,,,,,,{|02},{|12} A. B. C. D. {|1}xx,{|02}xx,,{|2}xx,{|12}xx,, k5(设集合，，若，则的取值范围是( ) Mxx,,,,{|12}Nxxk,,,{|0}MN:,, A( B( C( D([,1，2] (,,,2][,1,，,)(,1,，,) 753(已知，且 则的值为( ) 6fm(5),,,ff(5)(5)，,fxaxbxcx()2,,，， ,，m4A. 4 B. 0 C. 2m D. 7(某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为 t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是( ) d d d d t t t t O O O O A. B. C. D. 8(定义集合A、B的一种运算:ABxxxxxAxB,,,，,,{,,}其中A,{1,2,3}，若，1212 B,{1,2}，则中的所有元素数字之和为( ) AB, A(9 B. 14 C.18 D.21 2xxxxa,，,,,1,9(已知函数若则( ) fxaxaxa()24(03),,，，,,1212 fxfx()(),fxfx()(), A( B( 1212 fxfx()(),fx()fx() C( D(与的大小不能确定 1212 ,,10(为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文(加密)，接收方由密文明 文(解密)，加密规则为:明文abcd,,,abbccdd，，，2,2,23,4.对应密文如明文 1,2,3,45,7,18,16.14,9,23,28对应密文当接收方收到密文时，解密得到明文为( ) 7,6,1,46,4,1,74,6,1,71,6,4,7 A( B( C( D( 20 新人教版高一数学(必修1) 选择题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题(每小题4分,共16分) 1ff5,11(函数对于任意实数满足条件，若则_____ f15,,,fx，,2x，，fx，，，，，，，，fx，， 5312(已知函数若，求=__________ f(2)f(2)10,,fxxaxbx()8,，，, ,x，x2,3,01,13(设，则__________ gg(()),g(x),,22,x,x，x,0, x2,,,,2，xg(x),f，ff(x),14(设，则的定义域为_____________ ,,,,2,x2x,,,, 三、解答题(一共四大题，共44分) 15((本小题满分11分) f(x) (x,0),2 已知函数 f(x),ax，bx，1 (a，b为实数)，x,R，F(x),, ,f(x) (x,0), (1)若且函数的值域为，求的表达式; f(x)F(x)f(,1),0，[0, ，,) (2)在(1)的条件下，当时，是单调函数，求实数k的x,[,2， 2]g(x),f(x),kx 取值范围; m,n,0m，n,0，a,0 (3)设，且为偶函数，判断，能否大于零? f(x)F(n)F(m) 16((满分11分) 22 已知定义域为R的函数f(x)满足。 f[f(x),x，x],f(x),x，x (1)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a，求f(a); (2)设有且仅有一个实数x，使得f(x)= x，求函数f(x)的解析表达式。 000 21 新人教版高一数学(必修1) 17((本小题满分11分) 2 设函数。 f(x),x,4x,5 (1)在区间上画出函数的图像; f(x)[,2，6] (2)设集合。试判断集合和,,A,xf(x),5，B,(,,，,2]:[0，4]:[6，，,)A 之间的关系，并给出证明; B k,2 (3)当时，求证:在区间上，的图像位于图像的上方。 [,1,5]f(x)ykxk,，3 18((本小题满分11分) 2 设a为实数，记函数的最大值为g(a)。 f(x),a1,x，1，x，1,x 1，x，1,x (1)设t,，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t); (2)求g(a); 1 (2)试求满足的所有实数a。 g(a),g()a 22 新人教版高一数学(必修1) 第二章 基本初等函数(I) 2.1 指数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 (1) 什么是平方根,什么是立方根,一个数的平方根有几个，立方根呢, 23归纳:若，则叫做a的平方根。同理，若，则叫做a的立方根。 xa,xa,xx 根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2;零的平方根、,2 立方根均为零。 (2) n次方根的概念 n次方根的定义及性质是平方根、立方根的定义及性质的推广，根式记号是平方根、立方根记号的推广。 ,n，则x叫做a的n次方根，其中n ,1，且n?,,当nn次方根:一般地，若xa, nnnaa,a为偶数时，a的n次方根中，正数用表示，如果是负数，用表示，叫做根式. na表示，其中n称为根指数，a为被开方数。 当n为奇数时，a的n次方根用符号 n,nana为奇数, 的次方根有一个,为, a为正数:,nnana为偶数, 的次方根有两个,为,,, n,nana为奇数, 的次方根只有一个,为, a为负数:,nan为偶数, 的次方根不存在.,, n00,零的n次方根为零，记为 小结:一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况。 nnnnna(3) 根据n次方根的意义，可得:,它肯定成立。而表示a的n次方根， ()aa, nnnnaa,a但是等式一定成立吗,如果不一定成立，那么等于什么, aa,0,,nnnnaa,若n为奇数，; 若n为偶数, aa,,||,,,aa,0, 34334(3)273,(8)|8|8,,,,,,,,,如 nna小结:当n为偶数时，化简得到结果先取绝对值，再根据绝对值算具体的值，这样就避免出现错误。 23 新人教版高一数学(必修1) (4) 初中时的整数指数幂，运算性质有: 1,nn00; aa,,(0)aaaaaaa,,,,,,,,,1(0),0无意义na mnmnmnmn，nmmnnnn; aaaaa,,,;()(),()aaabab,, (5) 分数指数幂: 观察以下式子，并总结出规律:,0 a 1085102528424552? ? aaaa,,,()aaaa,,,() 10125123435102524454? ? aaaa,,,()aaaa,,,() 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为: m*nmn aaamnN,,,(0,,) 正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同。 m,1*n即: aamnN,,,(0,,)mna 规定:0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义。 说明:规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的 n111 mmmm一种新的写法，而不是 aaaaa,,,,,,(0) 由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即: rsrs，1) aaaarsQ,,,,(0,,) rSrs2) ()(0,,)aaarsQ,,, rrr3) ()(0,0,)ababQbrQ,,,,, [例1] 求下列各式的值 324234(1)(8),(3)(3),,(4)()ab,(2)(10),(1) [例2] 求出下列各式的值 473473(1)(2)(2)(33)(1)(3)(33),,,,aaa 2[例3] 若 aaaa,，,,211,求的取值范围 343334[例4] 计算 (8)(32)(23),，,,, 24 新人教版高一数学(必修1) 1nn，，1221,(2)()2[例5] 计算:的结果 n,248 1an,3107[例6] 若 ,,,3,384,[()]求的值aaa3103a3 (6) 与分数指数幂有关的混合运算: 四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的. 整数幂的 运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序。 [例7] 计算下列各式(式中字母都是正数) 32115111,884336622(1) (2) ()mn(2)(6)(3)ababab,,, 2a34[例8] 计算下列各式(1) (2),0) (a(25125)25,,32aa. 29,532232(3) (4) 322322，,,(9)(10)100, 14333373,324,6，33计算:(1); [例9] 9 1111,,,73010.25,,3342(2); 0.0081,[3，()],[81，(3)],10，0.02788 311,,33513,,222a,a,(a)(a)(3); 41 33a,8abb33,(1,2)a(4); (5)。 23,610,43，2222a3334b，2ab，a x,xx,x2，2,a8，8[例10](1)已知(常数)，求的值; 11 22x,y(2)已知x，y,12，xy,9， x,y，求的值。 11 22x，y 1122,,xx，,222xx，,3(3)已知，求的值; 33,22xx，,3 25 新人教版高一数学(必修1) 2.1.2 指数函数及其性质 (1) 指数函数的定义: x函数(,0且?1)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R。 aaxya, 思考:在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么, xx2x，2x(1) (2) (3) (4) (5) y,2y,,(2)y,,2y,,yx, x2xa,2(6) (7) (8) (,1，且) ayx,4yx,ya,,(1) x小结:根据指数函数的定义来判断说明:因为,0，是任意一个实数时，是一个aax确定的实数，所以函数的定义域为实数集R。 x,当时xa,00,等于, 若a,0,,x当时xa,0,无意义,, 11x若,0，如在实数范围内的函数值不存在。 ayxx,,,先时,对于=等等,(2),,68 xx若=1, 是一个常量，没有研究的意义，只有满足ay,,11,yaaa,,,(0,1)且 1xxx，5x的形式才能称为指数函数，不xayxyy为常数,象y=2-3,y=2等等,,,3,31,,,， x符合。 yaaa,,,(01)且的形式,所以不是指数函数(2) 指数函数图象的研究: x先来研究,1的情况。用描点法画出函数的图象: ay,2取点列表如下(请填写空白部分): x,3.00,2.00,1.000.000.501.001.502.00 1x 1 2 4 y,22 - y xy=2 - - - - - - 0 x - - - - - - 26 - 新人教版高一数学(必修1) 1x再研究，0,,1的情况，完成以下表格并绘出函数的图象 ()y,a2 ,2.00,1.50,1.000.001.002.00 x 1x y,()4 2 1 2 -- x1,, yy y,,,2-- ,, -- - - -- - - -- xx 00 - - -- - - -- -- (3) 指数函数图象的特征和性质: 图象特征 函数性质 -- ,1 0,,1 ,1 0,,1 aaaa -- 向轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R x 图象关于原点和轴不对称 y非奇非偶函数 + 函数图象都在轴上方 函数的值域为Rx 0函数图象都过定点(0，1) a=1 自左向右， 自左向右， 增函数 减函数 图象逐渐上升 图象逐渐下降 在第一象限内的图 在第一象限内的图 xxaa,0，,1 ,0，,1 xx象纵坐标都大于1 象纵坐标都小于1 在第二象限内的图 在第二象限内的图 xxaax,0，,1 x,0，,1 象纵坐标都小于1 象纵坐标都大于1 (4) 利用函数的单调性，结合图象还可以看出: xaa(1)在(,0且?1)值域是[(),()][(),()];fafbfbfa或 [,]abfxa上,()= xfxfxx,,,0,则()1;()取遍所有正数当且仅当R;(2)若 xaa(3)对于指数函数(,0且?1)，总有fa(1);, fxa(), xxfx()fx()a(4)当,1时，若,，则,; 1212 27 新人教版高一数学(必修1) x[例11] 已知指数函数(,0且?1)的图象过点(3，π)， aafxa(), 求 fff(0),(1),(3),的值. 42||xx,4[例12]求下列函数的定义域:(1) (2) ()y,y,23 [例13] 比较下列各题中的各值的大小 2.5 3 0.3 3.1 ,0.1,0.2(1)1.7 与 1.7(2)与 (3) 1.7与 0.90.80.8 xxbx,0a,0b,0[例14]设，且(，)，则与的大小关系是( ) ab,,1a ba,,1ab,,11,,ba1,,abA( B( C( D( ,x，1[例15]若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是( ) my,2，m m,,2m,,2m,,1m,,1A( B( C( D( xx[例16]已知函数的值域为，则的范围是( ) ,,1,7xy,4,3,2，3 A( B( C( D( (,,,0),,,,，,,,2,4(0,1),2,4,,,0,1,2 xxxx[例17]如图为指数函数，则与1的大小a,b,c,d(1)y,a,(2)y,b,(3)y,c,(4)y,d关系为 ( ) ya,b,1,c,db,a,1,d,c A( B( c abd 1,a,b,c,da,b,1,d,cC( D( x,2xfxa(),，[例18]已知函数， (1)a,x，1 求证:函数在上为增函数。 fx()(1,),，,O x xx[例19]要使函数在上恒成立。求的取值范围。 ，,ax,,,,1y,0y,1，2，a,4 x,221,,x,xx，x[例20]已知求函数。 y,2,2的值域2,,,,4,, xx，,,11x[例21]设函数，求使的取值范围。 fx()2,fx()22, xx4，1,2,11[例22](2004全国错误～未找到引用源。理)解方程 xx，24,2,12,0(2004全国错误～未找到引用源。文)解方程 28 新人教版高一数学(必修1) 2.2 对数函数 2.2.1对数与对数运算 (1) 对数的概念: x一般地，若，那么数叫做以a为底N的对数，记作，xxN,logaNaa,,,(0,1)且a叫做对数的底数，N叫做真数。 a 2如:，读作“2是以4为底，16的对数”; 416,2log16,,则4 1112 ，则,log2，读作“是以4为底2的对数”。 42,422 (2) 对数式与指数式的互化: 在对数的概念中，要注意: 1)底数的限制,0，且?1 aa x2) aNNx,,,loga 指数式对数式 , 幂底数??对数底数 a 指 数??对数 x ?N?真数 幂 说明:对数式可看作一个记号，表示底为(,0，且?1)，幂为N的指数logNaaaa xaN,或表示方程(,0，且?1)的解. 也可以看作一种运算，即已知底为(,0，aaaa且?1)幂为N，求幂指数的运算. 因此，对数式又可看幂运算的逆运算。 alogNa (3) 两类特殊的对数: ? 以10为底的对数称为常用对数，logN常记为. lgN10 lnN? 以无理数e=2.71828„为底的对数称为自然对数，logN常记为. e 以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2， 即. lg1002, (4) 对数的运算: 对数式可看作指数运算的逆运算，这样我们能从指数与对数的关系以及指数运算性质， 得出相应的对数运算性质。 mnmnmn，mn，如:于是 由对数的定义得到 aaaMaNa,,,,,,设。MNa,, mnmn，，MNamnMN,,，,log MamMNanN,,,,,,log,logaaa logM，logN,logMN得: aaa 29 新人教版高一数学(必修1) 即:同底对数相加，底数不变，真数相乘。 根据指数的性质按照以上的方法可以推出对数的其它性质: 如果,0且?1，M,0，N,0，那么: aa 1) logloglogMNMN,，aaa M2) logloglog,,MNaaaN n3) loglog()MnMnR,,aa logbc4)(换底 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ，换的底C只要满足C,0且C?1即可。) logb,alogac [例23] 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. 11,6m4,,(1)5=645 (2)2 (3)()5.73 643 (4) (5) (6) log164,,log0.012,,log102.303,110e 2 [例24] 求下列各式中x的值 22logx,,(,,lnex1) (2) (3) (4) log86,lg100,x64x3 [例25] 将下列指数式与对数式互化，有的求出的值 . xx 1,11x42,3(1) (2) (3) ,5log,x2275 1x5,()64lnex,(4) (5) (6) lg0.0001,x4 bN归纳小结: ?,0且a?1) aNba,,,log(a 1的对数是零，负数和零没有对数 log1a,?对数的性质 a,0且a?1 a logNaaN, logloglogbcN,,+abc[例26](1)求且不等于1，N,0) a的值(a,b,cR,, 1log3log53533，(2)计算的值 30 新人教版高一数学(必修1) [例27] 判断下列式子是否正确，,0且?1，,0且?1，,0，,，则有 aaxaxxy (1) (2) logloglog()xyxy,,，logloglog()xyxy,,,aaaaaa x(3) (4) logloglogxyxy,,logloglog,,xyaaaaaay 1n(5) (6) x,,loglog(log)logxnx,aaaax 1n(7)xx, loglogaan [例28] 用，，表示出(1)(2)小题，并求出(3)、(4)小题的值。 logxlogylogzaaa 2xyxy755(1)log (2) (3) (4) log(4，2)lg100logaa23zz 11ab[例29]已知，且，求的值。 35,,c，,2cab 22x,1[例30] 设，，且，求的最小值。 2log2log30yx,，,y,1Txy,,4xy 解方程[例31] 。 ，，，，，，log3x,1,logx,1，log3，x444 ln2ln3ln5[例32] 若,则( ) abc,,,,,235 (A)a0，f(3)>0，f(-k)<0同时成y,f(x) 立即可，解得-10 f(1.5)[1，2] 1 <0 f(1.25)[1，1.5] 0.5 <0 f(1.375)[1.25，1.5] 0.25 如此列表的优势:计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步( 532x,x,3x，3,0[例3] 用二分法求方程 的无理根(精确到0.01)。 53223解析:由于，所以原方程有两个有理根1和-1，而其无x,x,3x，3,(x,1)(x,3) 33x,3,0理根是方程的根，令，以下用二分法求的近似零点。 g(x)g(x),x,3 由于故可取[1,2]作为计算的初始区间，列表如下: g(1),,2,0,g(2),5,0, 区间 中点 中点函数值 [1，2] 1.5 0.375 [1，1.5] 1.25 -1.047 [1.25，1.5] 1.375 -0.4004 [1.375，1.5] 1.4375 -0.0295 [1.4375，1.5] 1.46875 0.1684 [1.4375，1.46875] 1.45312 0.06835 [1.4375，1.45312] 1.45031 0.05064 [1.4375，1.45031] 1.4439 0.0103 [1.4375，1.4439] 由于区间[1.4375，1.4439]的长度1.4439-1.4375=0.0064<0.01，所以这个区间的两个端点均可 47 新人教版高一数学(必修1) 作为函数零点的近似值，取其近似值为1.44，因此原方程的无理根是1.44。 g(x) x,1x[例4]用二分法求函数在区间[0，1]内的零点的近似值(精确到0.01)。 f(x),3，x，1 x0.1[例5] 借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解(精确到)。 2，3x,7 [例6] 利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根: 2(1),x，3x，5,0; (2); 2x(x,2),,3 222x,4x,45x，2x,3x，5(3); (4)。 [例7] 利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间: 3(1); (2); f(x),2xln(x,2),3f(x),,x,3x，5 x,1(3); (4) f(x),3(x，2)(x,3)(x，4)，xf(x),e，4x,4 432[例8] 已知，请探究方程的根。如果方程有f(x),0f(x),2x,7x,17x，58x,24 根，指出每个根所在的区间(区间长度不超过1) 30.013[例9] 用二分法求的近似值(精确到)。 48 新人教版高一数学(必修1) 3.2 函数模型及其应用 3.2.1几类不同增长的函数模型 (1) 数学模型为一次函数的问题: 一次函数也是最常见的一种函数模型，在初中就已经接触过。 [例10]某人开汽车以60Km/h的速度从A地到150Km远的B地，在B地停留1h，再以50Km/h 的速度返回A地。把汽车离开A地的距离x(Km)表示为时间t(h)(从A地出发时开 始)的函数，并画出函数图象;再把车速v(Km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函 数图象。 (2) 数学模型为二次函数的问题: 二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。 [例11]渔场中鱼群最大养殖量为m吨。为保证鱼群生长空间，实际养殖量不能达到最大养 殖量。已知鱼群年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为 k(k>0)。 i)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域; ii)求鱼群年增长量的最大值; iii)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围。 [例12]某公司生产一种产品每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要 增加投资0.25万元。经预测知，市场对这种产品的年需求量为500件，且当地出售 125t,t这种产品的数量为t(单位:百件)时，销售所得的收入约为(万元)。 2 i)若该公司的产产量为x(单位:百件)(x>0)时，试把该公司生产并销售这种产品 是的年利润表示为当年产量x的函数; ii)当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大, 86.25,9.3iii)当该公司这种产品年产量多大时，当年不会亏本,() 49 新人教版高一数学(必修1) (3) 数学模型为指数函数的问题: x一般地，形如的函数叫做指数函数，而在生产、生活实际中，以y,a(a,0，a,1) x函数作为模型的应用问题很常见。 y,k,a，b [例13] 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%， 1每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求, 3 (已知:)lg2,0.3010，lg3,0.4771 [例14]某城市现有人口总数为100万人，如果年增长率为1.2%，试解答下面问题: i)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式; ii)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人); iii)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)。 (4) 数学模型为对数函数的问题: a,1y,logx(a,0，a,1)形如的函数叫做对数函数，时，此函数为增函数;a 0,a,1时，此函数为减函数。虽然直接以对数函数作为模型的应用问题不是很多，但我们知道，对数运算实际是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算。 [例15]在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除 Mv,2000ln(1，)燃料外)的质量为m(kg)的关系。当燃料质量是火箭质量的多少m 倍时，火箭的最大速度可达12km/s, 50 新人教版高一数学(必修1) (5) 比较函数模型的增长趋势: [例16] 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 供你选择，这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报40元; 方案二:第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元; 方案三:第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番( 请问，你会选择哪种投资方案, [例17]南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输 方式，现只可选择其中一种，这三种运输方式的主要参数如下表所示: 运输工具 途中速度(千米/时) 途中费用(元/千米) 装卸费用(元) 装卸时间(h) 飞机 200 16 1000 2 火车 100 4 2000 4 汽车 50 8 1000 2 这批水果在运输(包括装卸)过程的损耗为200元/小时，设A、B两市间距离为s千米。 i)如果用W1，W2，W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用(包括损耗)， 求出W1，W2，W3与x间的函数关系式。 ii)应采用哪种运输方式，才能使运输时的总支出费用最少, [例18]某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件。为了 估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的 x月产量y与月份x的关系。模拟函数可以选择二次函数或函数(其中y,a,b，c 为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模a,b,c 拟函数较好,说明理由。 [例19] 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在 销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金(单位:万元)随销售利y x润(单位:万元)的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。 xy,logx，1现有三个奖励模型:y,0.25x ( y,1.0027 问:其中哪个模型能符合公司的要求, 51 新人教版高一数学(必修1) 3.2.2函数模型的应用实例 (1)已知函数模型求解: [例20]通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描 述问题所用的时间。讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生 的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散。分析结果和实验表明，用 表示学生掌握和接受概念的能力，表示提出和讲授概念的时间(单位:分)，xf(x) 可有以下的公式: 2,xxx,0.1，2.6，43， (0,,10)， , fxx(),59 ， (10,,16)，, ,xx,3，107， (16,,30)。, 问开讲后多少分钟，学生的接受能力最强,能维持多长时间, (2)已知表格或图形求函数模型及解: [例21]我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目 的。某市用水收费的方法是:水费=基本费+超额费+损耗费。若每月用水量不超过最 3低限量只付基本费8元和每户定额损耗费c元;若用水量超过最低限量a(m) 33m，除了付以上的基本费和损耗费外，超过部分每付b元的超额费。已知a(m) 每户每月的定额损耗费不超过5元。 该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示: 月份 用水量(立方米) 水费(元) 1 9 9 2 15 19 3 22 33 根据以上数据求a,b,c。 52 新人教版高一数学(必修1) (3)由已知条件建立数学模型: [例22] 某商店将每件进价为180元的西服按每件280元销售时，每天只卖出10件，若每件 售价降低m元，当m=20时，其日销售量就增加15件，而当m?(0，20)时，其日销 售却毫无增加，为了获得最大利润，每件售价定为多少元, (4)增减比率问题的求解: 增长率和降低率是生活中最常见的问题之一，要理解变化率的真正含义，从而正确找出变化前后两个量之间的关系。 万元，以后 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 每年按年增长率p%增长，则n年后的年产值y若某厂去年年底产值为a 为多少呢,我们先看特例: 经过1年后其年产值为; a(1，p%) 2经过2年后其年产值为; a(1，p%)，a(1，p%)p%,a(1，p%) 3经过3年后其年产值为; a(1，p%) n归纳到一般有，经过n年后其年产值为; y,a(1，p%) n类似地有下降率的 计算公式 六西格玛计算公式下载结构力学静力计算公式下载重复性计算公式下载六西格玛计算公式下载年假计算公式 为; y,a(1,p%) n储蓄中复利计算公式为。复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息y,a(1，r) 和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息，其实质是指数函数的应用。 a[例23] 按复利计算利率的一种储蓄，本金为元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x， 写出本利和y随着存期x变化的函数式。如果存入本金1000元，每期利率2.25%， 试计算5期后的本利和是多少, 53 新人教版高一数学(必修1) 第三章 知识与能力同步检测 一、选择题(每小题4分，共40分) xx1(设,用二分法求方程内近似解的过程中得，，，，fx,3，3x,83，3x,8,0在x,1,2 则方程的根落在区间( ) ，，，，，，f1,0,f1.5,0,f1.25,0, A( B( C( D(不能确定 (1,1.25)(1.25,1.5)(1.5,2) x2(若方程有两个实数解，则的取值范围是( ) axa,,,0a A( B( C( D( (1,)，,(0,1)(0,2)(0,)，,3(拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)=1.06()给她出，其中m>0，0.5，[m]，1 [m]是大于或等于的最小整数。如[4]=4、[2.7]=3,[3.8]=4,则从甲地到乙地通话时间5.5 分钟的电话费为 A(3.71 B(3.97 C(4.24 D(4.77 54(函数的实数解落在的区间是( ) fxxx()3,，, A( B( C( D( [0,1][1,2][2,3][3,4]5(若函数唯一的一个零点同时在区间、、、内， fx()(0,8)(0,4)(0,2)(0,16) 那么下列命题中正确的是( ) A(B(fx()fx()(0,1)(0,1)(1,2)函数在区间内有零点 函数在区间或内有零点 2,16C(D(fx()fx()(1,16)，,函数在区间内无零点 函数在区间内无零点 6(北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》，在这个节目中曾经有这样一个抢答题:小 蜥蜴体长15cm，体重15g，问:当小蜥蜴长到体长为20cm时，它的体重大约是( ) A(20g B(25g C(35g D(40g 7(今有一组实验数据如右:现准备用下列函数中的 t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 一个近似的表示这些数据满足的规律，其中最接 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 近的一个是: 2t,1V,2t,2V,V,logtV,logtA( B( C( D( 1222 8(某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利 2x润(x,N)万元与营运年数的关系为，则每辆客车营运多少年y,,x，12x,25y 使其营运年平均利润最大. A(2 B(4 C(5 D(6 54 新人教版高一数学(必修1) 9(《中华人民共和国个人所得税法》第十四条中有下表: 个人所得税率表——(工资、薪金所得适用) 级别 全月应纳税所得额 税率 1 不超过500元部分 5 2 超过500元至2000元部分 10 3 超过2000元至5000元部分 15 4 超过5000元至20000元部分 20 5 超过20000元至40000元部分 25 6 超过40000元至60000元部分 30 7 超过60000元至80000元部分 35 8 超过80000元至100000元部分 40 9 超过100000元部分 45 “全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去800元后的余额，某人一月份交纳 税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于( ) A(800,900元 B(900,1200元 C(1200,1500元 D(1500,2800元 10(容器中有浓度为m,的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加 满，这样进行了10次后溶液的浓度为( ) bbbb101099()(1,)()(1,)A(?m, B( ?m, C(?m, D(?m, aaaa 选择题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题(每小题4分,共12分) 2000200211. 一个高中研究性学习小组对本地区年至年快餐公司发展情况进行了调查，制成了 该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如图)， 根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 万盒。 55 新人教版高一数学(必修1) 199254.8x%200512. 年底世界人口达到亿,若人口的年平均增长率为,年底世界人口 为亿,那么与的函数关系式为 ( xyy 313. 用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，x,2x,5,0x,2.5[2,3]0 那么下一个有根的区间是 。 三、解答题(每大题12分，共48分) 810014(建造一个容积为立方米，深为米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米元，2 300池底的造价为每平方米元，把总造价(元)表示为底面一边长(米)的函数。 xy 15. 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆汽车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆 车的月租金每增加50元时，未租出的车辆会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费 150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。 (1) 当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车, 2) 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大,最大月收益是多少, ( 16(某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200平 方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过 16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间池壁造价 为每米248元，池底建造单价为每平方米80元。(池壁的厚 度忽略不计，且池无盖) (1)写出总造价(元)与污水处理池长x(米)的函数关 y 系式，并指出定义域。 (2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低,并求出最低总造价, 1996500017. 某电器公司生产种型号的家庭电脑，年平均每台电脑的成本元，并以纯利润A 2%1997标定出厂价.年开始，公司更新设备、加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成 2000199680%本逐年降低.年平均每台电脑出厂价仅是年出厂价的，但却实现了纯利润 50%的高效率. 56 新人教版高一数学(必修1) 2000?年的每台电脑成本; 199619962000?以年的生产成本为基数，用“二分法”求年至年生产成本平均每年降 0.01低的百分率(精确到) 57