第讲 定积分的定义

第讲 定积分的定义 第讲 定积分(一) 一、目的要求 1、理解定积分的定义，了解定积分的可积条件; 2、理解定积分的几何意义; 3、掌握定积分的性质; 4、熟练掌握含变上限积分积分的求导方法 5、理解并熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式. 二、内容理解与典型错误 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 问题1 对定积分定义的理解 1、定积分的定义体现了无限分割和无限求和的思想，可以用分割、近似、求和、取极 限来进行概括。 ,2、根据定义，定积分的值与积分区间的分法无关;与小区间中的取法无关;与积分i bb变量的选择无关(即f(x)dx,f(t)dt)。而只与被积函数及积分区间有关。f(x)[a,b],,aa 简称“三个无关，两个有关”。 3、定积分与不定积分的区别:定积分是一个极限值，是个常数。不定积分是一类函数 的总体(集合)。 4、函数在区间I上是否可积与函数在此区间上有没有原函数无关。 n limf(,),x常见错误:用“” 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示定积分 ,iin,,i,1 n limf(,),xd,max{,x}解答:应该用“”表示，其中。 ,iiid,0i,1 n,,[a,b]因为积分区间的分法是任意的，所以“”不能推出“”。只有在积d,0[a,b]分区间是等分的情况下，两者才等价。 问题2 对定积分性质和几何意义的理解和典型错误分析 bccacf(x)dx，f(x)dx,f(x)dx公式中的“”可以在“”，“”之间，也可以在b,,,aba ac“”，“”之外。 f(x)积分中值定理中要求是连续的，不能仅是可积的。 (a,b),可以证明:积分中值定理中的也可以在内。 定积分的几何意义通常可用规则图形的面积来得到某些定积分，由定积分的几何意义可 2b12(),b,a,22()()1b,xx,adx,4x,xdx,,知:,xdx,，，甚至。 ,,,a,0182 b常见错误:“表示由所围成图形的面积” f(x)dxy,f(x),x,a,x,b,y,0,a 时”才正确。 解答:应该加上条件“f(x),0 问题3 对变上限积分的理解和典型错误分析 xx变上限积分中，变上限积分的值与积分变量无f(t)dtf(t)dtt,[a,x],x,[a,b]t,,aa xxxx关，只与变量有关，所以变上限积分是的函数，我们设。 f(t)dt,(x),f(t)dt,,aa x当被积函数在上连续时，,(x),f(t)dt在上连续、可导，且导函f(x)[a,b][a,b],a x,数，所以说f(t)dt是的一个原函数。 ,(x),f(x)f(x),a xx另外，当在上连续时，f(t)dt可导，,(x),f(t)dt作为一个可导的函f(x)[a,b],,aa数，会和其他可导函数一样，会用于求极限、求极值、求最值甚至计算积分等运算。 x常见错误1:设连续，则表示 (A) f(x)f(t)dt,a (A)的一个原函数; (B)的一个原函数; f(t)f(x) (C)的所有原函数; (D)的所有原函数. f(t)f(x) 解答:这个答案是错误的。 正解(B) x作为一个定积分，其值与积分变量无关，显然(A)(C)都错，仅是的f(x)f(t)dt,a x一个原函数，事实上 f(x)dx,f(t)dt，C,,a xd常见错误2:“xsindtt,xsinx” ,0dx xxxf(t)dt解答:这个答案是错误的。在积分中，相对于来说是常数，即t,a xxxf(t)dt,xf(t)dt。 ,,aa xxxd,正解:xsintdt,(xsintdt),sintdt，xsinx ,,,000dx xg(x)f(t)dtf(x)g(x)也可以说，通常不是的原函数。 ,a 问题3 对牛顿-莱布尼茨公式的理解和典型错误分析 牛顿-莱布尼茨公式的条件可以弱化，可以证明有以下结论: ,a,bF(x)a,b(a,b)F(x),f(x)设函数f(x)在[]上可积，在[]上连续，在内可导且， b,f(x)dx,F(b),F(a)F(x),f(x)或除了有限点外处处有，则 ,a 牛顿-莱布尼茨公式建立了不定积分和定积分之间的联系，它用原函数的增量来表示定积 分，在一定条件下，只要算出不定积分就可以算出定积分。我们甚至并不需要(或求不出) 原函数a，而只需要知道在、两点处的原函数之差就可以算出定积分F(x)F(b),F(a)b b另外，由于牛顿-莱布尼茨公式还可以表示成f(x)dx,a ,，它也建立了微分中值定理和积分中值定理间F(b),F(a),f(,)(b,a),F(,)(b,a) 的联系。 21132dx[]常见错误1:“” ,,,,,1,2,1x2x 1解答:这是错误的。在[]不连续，不可导。 ,1,22x 1，x111,,(arctan),(,arctan),常见错误2:因为， 22x1,x1，x1，x 311,,,3则有 dx[arctan],,,,,,,11,2,,x6321x，33 3，x511,,,3或= dx,,，,,[arctan]11,2,,12123,x，x1133 1，x1arctan解答:这两种做法都是错误的。在处不可导， 在处不arctanx,0x,1x1,x 可导。 11,,3正解:只要找到在区间[]上的连续的原函数，牛顿-莱布尼茨公式都可21，x3 31,3用，最简单的就是[arctan] dx,x,11,2,,21，x33 例题 111，，，1、计算 lim(？)22222n,,n,n,n,n41424 111，，，解: lim(？)22222n,,n,n,n,n41424 1111,，，，lim(？) 22nn,,1n2,4,,44222nnn n1111x,1,lim,arcsindx。 ,,,,02,,n026ni,1i4,x24,()n 当我们学会计算定积分后，就可以用定积分算出这个极限。一般说来，求这类极限的 方法有:先求和再算极限;用夹逼定理;用定积分。 122,x2、证明不等式 ,edx,2,,1e 2x证明:设，求在的最大值和最小值， f(x)[,1,1]f(x),e 21x,f(0),1,f(,1),，得驻点，，根据估值定理得 x,0f(x),2xee 122,x ,edx,2,,1e 估值定理常用于证明不等式，其中还涉及单调或闭区间上连续函数的最值问题。 3、求下列函数的导数 x033(1),(x),1，tdt (2),(x),1，tdt ,,0x 22xx33,(x),1，tdt,(x),1，tdt(3) (4) ,,0x 3,解:(1) ,(x),1，x x33,,(x),,1，tdt(2)， ,(x),,1，x,0 22xdddx,,321，tdt,,x(3)由于是的函数，也就是的复合函数，所以即x,20dxdxdx 6, ,(x),2x1，x 2xx33,(x),1，tdt,1，tdt(4) ,,00 63, ,(x),2x1，x,1，x x,tf(t)dt,,0, x0,f(x)f(0),04、设，其中有连续导数，且， F(x),,2x, C , x0,, ,F(x)F(x)(1)求使在连续;(2)求。 Cx,0 xtf(t)dt,xf(x)10解:C,limF(x),lim,lim,f(0),0， 22x2x,0x,0x,0x xxx32tf(t)dtxf(x),2xtf(t)dtxf(x),2tf(t)dt,,, 0 0 0,, 当时，， x,0,F(x),(),243xxx x()tftdt,,()(0)()()()(0),Fx,Fxfxfxfxf 0,。 (0)limlimlimlimlimF,,,,,,32x,0x,0x,0x,0x,0333xx3xx 22y,xdy,t5、设，求。 sinx,edt,0x,0,21dx 22dydydy,y,xy,x()()xe解: 时，。?cos,(,1),0，?,1，cosxe，。 y,1,1，ex,0x,0dxdxdx 2222dydydyy,xy,x2()()xexeyx ?， ?。 ,,sin，cos,,2(,),(,1),2ex,022dxdxdx a6、知在[,a,a]上连续(a,0)，且，又， f(x)f(x),0g(x),x,tf(t)dt,,a,证明:在[,a,a]上单调增加。 g(x) axa证: g(x),x,tf(t)dt,x,tf(t)dt，x,tf(t)dt,,,,,aax xa ,(x,t)f(t)dt，(t,x)f(t)dt,,,ax xxxx ,xf(t)dt,tf(t)dt,tf(t)dt，xf(t)dt.,,,,,,aaaa xxxx, g(x),f(t)dt，xf(x),xf(x),xf(x)，f(t)dt，xf(x),f(t)dt，f(t)dt.,,,,,,aaaa ,,,在[,a,a]上单调增加g(x),f(x)，f(x),2f(x),0, 故g(x)。 x227、设，其中f(x)在的某邻域内可导，且f(0),0，F(x),tf(x,t)dtx,0,0 F(x),limf(0),1，求。 4x,0x x22解: F(x),tf(x,t)dt,0 20x1122x,t,u, ,2tdt,du ,f(u)du,f(u)du 2,,0x22 2x1f(u)du2,01f(x),f(0)11F(x)2,,lim,f(0),. ,,limlim244x,0,0,0xx444xxx ab8、f(x)(0,，,)f(1),1在上连续，且对任意的正数a，b，积分与a无关，且，f(x)dx,a 求 f(x)。 abab解:设，?在上连续，且积分与， f(x)(0,，,)a无关F(a),f(x)dxf(x)dx,,a a ,?， F(a),bf(ab),f(a),0 11在上式中令，得，，?，。 x,(0,，,)bf(b),f(1),bf(b),1,0a,1f(b),f(x),bx 9、计算下列定积分 ,,34(1) (2) 1，cos2xdxtanxdx,,00 ,,,2444解:(1)原式= tanx(secx,1)dx,tanxdtanx,tanxdx,,,000 ,1124,[tanx，lncosx],(1,ln2) 022 ,,,2(2)原式= 2cosxdx,2cosxdx，2(,cosx)dx,,,,002 ,, = 2(sin,sin0),2(sin,sin),22,22 2,x,x, 0,x,1fx(),10、设，求，. F(x),f(t)dt0,x,2,,0,2,x, 1,x,2, xx123F(x)f(t)dttdtx解:x,[0, 1]时，， ,,,,,003 21xx7x2,,，x, x,(1, 2]时，。 F(x),f(t)dt,f(t)dt，f(t)dt,,,00162 1,3x, 0,x,1,,,3F(x),? ,2x7,xx,，2,,1,,2.,62, ，1,0,,1xx,x,(),fx1F(x)[0,2]11、设，求，，并讨论在F(x),f(t)dt0,x,2,2,0x,1,x,2,2, 上的连续性和可导性 xx12()()(1)x,[0, 1)解:时，Fx,ftdt,t，dt,x，x ,,002 31xx1x42,，()()(1)x,[1, 2]时，Fx,ftdt,t，dt，tdt ,,,001632 3F(x)F(1,0),,F(1，0)在处，，?在处连续。 x,1x,12 3233141xxx，,，,163222,,F,,(1),lim,1F(1)lim，?在处不可导。 F(x)x,1，,,，x,x,11x13x,,1 在内可导。 F(x)[0,1),(1,2] x以上两例表示:当连续，则可导;若只是可积而不连续，f(x)f(x)F(x),f(t)dt,0 x则连续，但不一定可导。 F(x),f(t)dt,0 12、设在[]上连续，且单调减少，式证明对任意，都有f(x)0,1k,[0,1]k1f(x)dx,kf(x)dx ,,00 11kkk证明:f(x)dx,kf(x)dx,f(x)dx,kf(x)dx,kf(x)dx ,,,,,0000k k1 =(1,k)f(x)dx,kf(x)dx ,,k0 k由积分中值定理(1,k)f(x)dx,(1,k)f(,)(k,0) (,,[0,k]) 11,0 1 kf(x)dx,kf(,)(1,k) (,,[k,1]) 22,k 再由于，且f(x)单调减少 ,,,12 1kf(x)dx,kf(x)dx,k(1,k)[f(,),f(,)],0? 12,,00 习题 1、下列结论正确的是( ) bxdd (A); (B); f(x)dx,f(x)f(x)dx,f(x),,aadxdx bb,, (C); (D)。 f(x)dx,f(x)f(x)dx,f(x)，c,,aa b,,,[a,b]f(x),0f(x),0f(x),02、设在区间上，，，，， S,f(x)dx1,a b,aS,f(b)(b,a) ;S,[f(a)，f(b)]，则必有( B ). 232 S,S,SS,S,SS,S,SS,S,S (A);(B);(C);(D)。 123213312231 1，x,1xf(x),ln(1，t)dtf(x)g(x)3、设，，则当时，是的( B ) x,0g(x),e,x,1,0 (A)等价无穷小; (B)同阶但非等价无穷小;(C)低阶无穷小;(D)高阶无穷小 321f(x)dx，f(t)dt，f(u)du,f(x)4、(1)设为连续函数，则 ,,,213 x2sintdt,0lim,(2) 。 ,0xtanxsinx, lnx,3)若连续，且， (f(x)F(x),F(x),f(t)dt1,x xtd2(4)若连续，则= 。 f(x)[sinf(u)du],,00dx 0d25、(1)求 xcos tdt2, xdx 2 t 2dxdx2, (2)，，求 x,ulnuduy,ulnudu,,2t 1 dydy x(3)若连续，且，求曲线y,f(t)dt在原点处的切线方程 f(x)f(0),1,0 2x 0 0dd22422xcos tdt,,[xcos tdt]解:。 ,cos tdt,2xcosx22,,, 0xx dxdx 2,,2xcost,dydy,2t1t,6、设，求，在的值 2,2y,tcost,cosudu2dxdx,1,u, x22,F(x),(x,t)f(t)dt7、设f(x)有连续的导数，f(0),0,f(0),0，，当x,0,0k,时，F(x)与是同阶无穷小，求 xk xF(x),(1,lnt)dt(x,0)8、求函数的递减区间 ,1 111n，，，lim[？？]9、求极限 222n,,n，n，n，n(1)(2)() f(x)a,b10、设在[]上连续 cbcf(x)dx,kf(x)dxa,b (1)证明，对任意正数，在[]上至少存在一点，使; k,,ac cf(x),0 (2)若，证明上式中的唯一。