矩阵的秩的性质和
矩阵秩与矩阵运算之间的关系
要谈矩阵的秩,就得从向量组的秩说起,向量组的秩,简而言之就是其极大无关组里向量的个数。进而扩展到线性方程组,在线性方程组的概念中(课本P90)定理1说:“线性方程组有解的充要条件是,它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。”
那么不妨把矩阵用向量组的方式来看,则有行秩和列秩,一个矩阵的行秩和列秩相同,而其初等变换又不会改变秩。自然而然,我们就得到了一个判断矩阵秩的方法,就是将它转化为阶梯形矩阵,非零行数目即其秩。矩阵进一步发展就是运算了,包括数乘、加减、乘积等,又涉及到单位矩阵、三角矩阵、可逆矩阵以及矩阵的分块等概念,综合所学,我们得到如下性质:
1、矩阵的初等变换不改变秩,任一矩阵的行秩等于列秩。
2、秩为r 的n 级矩阵(n r ≥),任意r+1阶行列式为0,并且至少有一个r 阶子式不为0.
3、)}(),(min{)(B rank A rank AB rank ≤ )'()(A r a n k A r a n k =,)()()(B rank A rank B A rank ±=± )()(A rank kA rank =
4、设A 是n s ?矩阵,B 为s n ?矩阵,则+)(A rank )}(),(min{)()(B rank A rank AB rank n B rank ≤≤-
5、设A 是n s ?矩阵,P,Q 分别是s,n 阶可逆矩阵,则
)()()(A rank AQ rank PA rank ==
6、设A 是n s ?矩阵,B 为s n ?矩阵,且AB=0,则
n B rank A rank ≤+)()(
7、设A 是n s ?矩阵,则)()'()'(A rank A A rank AA rank ==
其中,也涉及到线性方程组解得问
题
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:
8、对于齐次线性方程组,设其系数矩阵为A ,n A rank =)( 则方程组有惟一非零解,n A rank <)(则有无穷多解,换言之,即为克莱姆法则,
非齐次线性方程组有解时,n A rank =)(惟一解,n A rank <)( 有无穷多解。
还有满秩矩阵:
9、可逆?满秩
10、行(列)向量组线性无关,即n 级矩阵化为阶梯形矩阵后非零行数目为n 。
扩展到矩阵的分块后:
11、110(A )(A )0n n A rank rank rank A ?? ?=++ ? ???
12、()()0A C rank rank A rank B B ??≥+ ???
证明:
1、先证明初等变换不会改变秩,就先从行秩开始。
设矩阵A 的行向量组是12s γγγ,,设A 经过1?初等变换j+i*k 变成矩阵B ,则B 的行向量组是1,,,,,,i i j s k γγγγγ+,显然, 1,,,,,,i i j s
k γγγγγ+可由12s γγγ,线性表出,由于1()j i j i k k γγγγ=?+-,因此12s γγγ,也可由1,,,,,,i i j s k γγγγγ+线性表出,于是它们等价,而等价向量组有相同的秩,因此A 的行秩等于B 的列秩。
容易证明,2?型和3?型初等变换亦使所得矩阵的行向量组与原矩阵等价,从而不改变矩阵的行秩。
进而列秩也可以得到证明,又已知阶梯形矩阵的行秩与列秩相同,那么,讲一个矩阵通过初等变换得到阶梯形矩阵,行秩等于列秩的性质便得证。
2、设s n ?矩阵A 的秩为r ,则A 的行向量组中有r 个线性无关的向量,设A 的第1,,r i i 行向量线性无关,它们组成一个矩阵A 1(称A 1是A 的子矩阵),由于A 1的行向量组线性无关,因此A 1的行秩为r ,列秩也为r 。于是A 1又r 列线性无关。设A 1的第1,,r j j 列线性无关,它们组成A 1的一个子矩阵A 2的列向量组线性无关,因此2||0A ≠。即
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