第一讲一元函数微积分复习

第一讲一元函数微积分复习 编者序 同学们: 你们好～首先欢迎你成为我校专升本的函授生。 在你开始学习高等数学之际，我想先和你沟通一下，谈谈学习内容，学习方式。 作为一名工科的专升本的学生，你应该已经学习过高等数学，并且顺利地通过了入学考试，也许在专科阶段对高等数学的要求不高，也许每个同学的个体水平有差异，但是对一元函数的微积分应该是掌握的，所以在本科阶段，你主要学习:向量代数与空间解析几何、多元函数的微积分、级数与微分方程。 作为一名函授生，是以自习为主，因此有一定的难度，为了弥补这一不足，编写了本辅导材料，希望它在你自学时能起到一个指导教师的作用。 下面介绍一下本辅导材料的结构。 本辅导材料共分十讲，第一讲是一元函数微积分复习，主要起桥梁的作用，使得前后有良好的衔接。在本讲中，将一元函数微积分的基本概念、基本运算作了归纳与小结，并给出典型例题加以说明，你将看到那些熟悉的微积分的演算，我建议你自己动手试一下，并做自测题，为学习多元函数微积分作准备。 从第二讲开始，每一讲的内容由四部分组成: ?考核要求 明确指出学习本讲内容必须达到的要求及重点。 ?内容提要与自学指导 列出本讲的基本概念、定理及公式，并对疑难点作了必要的阐述。 ?典型例题 对本讲的习题作了分类，指出解题的思路、关键点及常用解法，并通过典型例题给予演练。 ?自测题与参考答案 自测旨在进一步强化解题的能力，巩固和提高并检测学习效果。我提供了自测题的答案或提示，供你参考。 附录一是两份模拟试卷，你可以在考前一周内完成，恰似亲临考场，感受真实的考试。附录二是自学进度表，你可以参考执行。 在自学过程中，可将教材与本辅导材料结合起来看。在此，我要提醒你，一定要做题，只有通过做题，才能加深对概念的理解，并掌握基本运算。也许你会说，我仍有一些题不会做，没关系，这是正常现象，只要你能坚持看下去，能初步理解基本概念、基本运算，你的任务也就基本完成了，你就带着余下的问题来参加面授吧。 1 第一讲 一元函数微积分复习 一(极限的运算 1(极限概念 ,,limf(x)A(),,当xx,x,x,00 ,,时，f(x)A()，则称,,,,limf(x)A(),,当x,,x,,, limf(x),A,limf(x),limf(x),A,，x,xx,x00x,x0 (极限运算 2 ?几个重要极限 1xsinnx ， ()， q,1lim,1，limq,0lim(1，x),ex,0n,,,0xx a,0n,m,b01nn,,ax，ax，？，a,01nlim,0n,m ,,1mm,,xbx，bx，？，b01m,n,m,, ,, ? 常用的等价无穷小 x 当 ， ,,tanx,arcsinx,arctanx,ln(1+x),， xx,0sinxe,1 112n ,，, x1,cosx1，x,1x2n ? 求极限的几种最基本的方法 ,f(x)f(x)0,(或),limlim a 用洛必塔法则—— 0,,g(x)g(x) b 用重要极限——见 ? 2 c 用等价无穷小替换——见 ?。 d 用有界量与无穷小乘积为无穷小 e 用夹逼准则 例1 求下列各极限 1,2x102 ? lim()sin(1，x)2x,,2，x ? ,,limnln(n，1),ln(n,1)n,, sinxxe,e ? lim2,0xxln(1,x) 22 解 ? 虽然不存在，但是sin(x，1),1， limsin(x，1)x,, 1,2x10lim(),02x,,又由多项式之比极限可见 ， 2，x故利用有界量与无穷小乘积为无穷小，此极限为0。 1n ? 可利用重要极限 ， lim(1，),e,,nn ,,limnln(n，1),ln(n,1)n,, 2n1n,1n,，，2n，12,,n,,,limln,limln1，(),, n,,n,,,,n,1n,1,,，， 2,lne,2 ? 可利用洛必塔法则及等价无穷小替换 0 这是“”型极限，但若直接用洛必塔法则，较繁，可先变形并用等价无穷小替换，0 简化后再用洛必塔法则， sinsinxxxx,xe,eee,1，，0lim，， ,lim 022,00xx,xln(1,x)，，，，xln1，,x 3 sinx,x,e1x ,, limelim300x,x,,x sinx,x0 ，，,,lim03x,0x cosx1,0 lim，，,,02x,03x sinx1, lim。 ,,,x,06x6 二(导数的运算 1(导数概念 fx，,x,fx，，，，00, ? 导数定义: fx, ，，lim0,x,0,x , ? 几何意义: ，，——曲线在点，，，，处切线的斜率。 ，，fxx，fxy,fx000 ,, ? 微分定义: 若，，则可微，且微分 ，，，，,y,A,x，,x，A,fx，dy,fx,x。0 ? 连续、可导、可微关系: 可导连续(相反箭头不成立)，可导可微。 ,, 2(导数运算 ? 熟记常数及基本初等函数的导数公式 ,,,,,1，，,，，x,xC,0 ,,xxxx，，，，e,ea,alna 11,,，，，，logx,lnx,axxlna ,,，， ，， cosx,,sinxsinx,cosx ,,22，，，，tanx,secxcotx,,cscx 11,,，，，，arcsinx,arccosx,,221,x1,x 11,,，，，，arctanx,arccotx,,221，x1，x ? 熟练掌握求导法则 4 ,,,uuv,uv,,,,,,,, ， ,， ，，，，u,v,u,v，uv,uv，uv,,2vv,, dydydudy1， ,, ,dxdxdxdudx dy ? 掌握隐函数与参数式函数的求导 例2 求下列各导数 22,? 求 y,sinx，1y ,,? 求 ，，yy,flnx 2,x,3t，2tdy,? 求 ,t,0ydx,esint,y，1,0, 解 ? 这是复合函数求导，关键是要弄清该函数是由哪些基本初等函数或简单函数 复合而成，然后从外往里，层层求导，直到对自变量求导为止。 ,22, ，，yxx,2sin，1,sin，1 ,222 ，，xxx,2sin，1,cos，1，1 1,,122222 ，，，，2sinx1cosx1x1x1,，,，,，,，2 1,12222 ，，,2sinx，1,cosx，1,x，1,2x2 x2,sin2x，1,。 2x，1 ? 用复合函数及函数乘积的求导公式 1,,,,y,flnx,lnx,flnx,，，，，，，， x ,,，，flnx,,,,从而 y,,,x,, 5 1,,,，，，，flnx,,x,flnxx ,2x ,,,，，，，flnx,flnx。 ,2x dy dydt? 这是由参数方程所确定的函数的导数，， ,dxdx dtdy其中是隐函数求导，明白了这一点求导就不困难了。 dt y方程两边对求导，(注意) ，，esint,y，1,0y,ytt， dydyyy e,,sint，e,cost,,0dtdt y令代入方程得 ，再代入上式 y,1esint,y，1,0，t,0， dy得 ,e，t,0dt dx又 ， ，，,6t，2,2t,0t,0dt 从而 dye 。 ,t,02dx 三(导数的应用 用导数讨论函数的性态 ,单调区间,区间性态,,凹凸区间,,函数一般性态 ,极值点,,点性态,,拐点,, ,单调区间、极值点——用讨论 y ,,凹凸区间、拐点——用 y讨论 6 ,x 例3 求曲线 的凹凸区间与拐点。 y,xe ,,解 利用 求凹凸区间与拐点。 y ,x,,,,， ，，y,x,2e，令y,0，得x,2 ,x,, 因当x,2时，y,0，故y,xe在(,,，2)上是凸的， ,x ,,因当x,2时，y,0，故y,xe在(2，，,)上是凹的， ,2从而是拐点。 (2，2e) 2,x,,,例4 设对一切实数 满足方程 ， ，，，，，，，，fxxfx，3xfx,1,ex 在点取得极值， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 是极小值。 若，，，，fxfcx,c(c,0) ,证明 因在取得极值，且可导，则必有 ，，，，fxx,cfc,0， ,ce1,,,令代入方程，得可见 ，，fc，x,c，,c ,c,c,,,,若，，;若，，， c,0，则1,e,0，故fc,0c,0，则1,e,0，故fc,0 ,,即 当， ，，，，x,c，c,0，fc,0 由判定极值的第二充分条件可知，，，是极小值。 fc 112243 例5 证明 当。 ，，，，，，0,x,1时，1,x，1,x,1,x243证明 可利用单调性来证明， 112243令，，，则，， ，，，，，，,,Fx,1,x，1,x,1,xFx在0，1上连续，243 232,又 ，，，，，，， Fx,,x,x，2x,,xx,1,0，x,0，1，，故 在,,上单调减少， Fx0，1 ，，，，因此，当 ， ， 0,x,1时Fx,F1 7 又 ，得 ， ，，，，F1,0Fx,0 112243 。 即，，，，，，1,x，1,x,1,x243 四(不定积分 1(熟记基本积分表 ,，1x1, ，，kdx,kx，Cxdx,，C,,,1dx,lnx，C,,,，1x, xxxaxedx,e，Cadx,，C,,lnadxdx,arcsinx，C,2,arctanx，C2,1,x1，x sinxdx,,cosx，Ccosxdx,sinx，C,, dxdx,tanx，C,,cotx，C2,2,cosx sinx tanxdx,,lncosx，Ccotxdx,lnsinx，C,, secxdx,lnsecx，tanx，Ccscxdx,lncscx,cotx，C,, shxdx,chx，Cchxdx,shx，C,, dx22dx22,ln，，x，a，x，C,lnx，x,a，C,22,22a，xx,a 2(第一换元积分法——“凑微分”法 3(第二换元积分法——掌握“三角替换”、简单的“根式替换” 22,a,xx,asint——令,,22三角替换 a，xx,atant——令, ,22——令x,ax,asect,, n简单的根式替换——令 t,ax，b 例6 求下列各积分 8 ,lnxfx，，dx? ? dx2,,，，4，fxx1，lnx 2dxx? ? dx,,221，1，2xa,x 解 ? 利用凑微分法 ,dfxfx，，，， dx,22,,，，，，4，fx4，fx 1fx，，。 ,arctan，C22 ? 利用凑微分法 lnxlnx，1,1，，dx,d1，lnx ,,x1，lnx1，lnx 31222 。 ，，，，,1，lnx,21，lnx，C3 ? 利用三角替换，令，则 x,asint 22asintx，，,dasint，， dx,,2222a,x，，a,asint t1,cos2222 atdtadt,sin,,,2 2a1,,,t,sin2t，C,,22,, 222,,axxa,x,,,arcsin,，C。2,,2aa,, 12 ?利用根式替换， 令，， t,1，2x，则x,t,12 1,,2dt,1，，,,dx2,,, ,,1，t1，1，2x 9 ，1,1tdtt,, dt,,1，1，tt ,t,ln1，t，C，， ，，,1，2x,ln1，1，2x，C。 3(分部积分法 ,,，， uvdx,vdu,uv,udv,uv,uvdx,,,, 注意 ? 分部积分法的第一步是凑微分，再用上述公式。 ? 分部积分法的基本题型是三类，分类如下 nax，，?——xe，sinax，cosax，？dx , n，， ?——xarcsinx，arccosx，arctanx，？dx , ax，， ?——esinbx，cosbxdx , 对第?、?类划线处凑微分，对第?类两次分部积分后会还原，再解方程即可。 例7 求下列各积分 223,xxcos2xdxxedx? ? ,, xlnx? ? esinxdx dx,2,x 解 ? 第?类 1112222 xcos2xdx,xdsin2x,xsin2x,sin2xdx,,,222 12 ,xsin2x,xsin2xdx,2 112 ,xsin2x，xdcos2x,22 1112 ,xsin2x，xcos2x,cos2xdx,222 1112 。 ,xsin2x，xcos2x,sin2x，C224 ? 第?类 22221113,x2,x2,x,x2xedxxdexeedx ,,,,，,,,222 10 22112,x,x 。 ,,xe,e，C22 ? 第?类 lnx1lnx1 dx,,lnxd,,，dlnx2,,,xxxx xln1,,，dx2,xx lnx1,,,，C。xx ? 第?类 xxxxesinxdx,sinxde,esinx,ecosxdx ,,, xx,esinx,cosxde, xxx,esinx,ecosx,esinxdx,所以 1xxx 。 ，，esinxdx,esinx,ecosx，C,2 五(定积分 1(掌握牛顿——莱布尼兹公式 b, 。 ，，，，，，，，，，fxdx,Fb,Fa，其中Fx,fx,a 2(记住两个积分 a,afx偶函数，，2fxdx，，,,0,，， fxdx,,,a，，fx奇函数,0, ,,n1n331,,,,,,,？，n为正偶数,,,,,nn2422nn22,,sinxdxcosxdx ,,,00,,n1n342,,,,,,？1，n为大于1的正奇数,,nn253, ————称为华里士公式 11 3(变限定积分的导数公式 xdftdtfx,，，，，,adx ,(x)d,,，，，，，，，，，，,,,,ftdt,f,x,x,f,x,x,(x),dx 例8 求下列各积分 ,,sinxx02,,? fx1dxfx,,，，，，，2,,02,1xx,0，, ,432? ，，1,cos2xsinx，sinxdx,,,2 解 ? 令 x,1,t 21fx1dxftdt,,，，，，,,0,1 01,21tdtsintdt,(，)，,,,102 3,,,t24201,,=。 t，,t,，cos,10,,,,323,, ? 利用对称与奇偶性及华里士公式， 43因为 是偶函数， 是奇函数， 1,cos2x,sinx1,cos2x,sinx 所以 , 4321,cos2xsinx，sinxdx，，,,,2 ,52,22sinxdx，0,0 42162,22,,,。 5315 2xd4例9 ? 求 1，tdt,sinxdx 12 2xftdt，，,0,, ? 设 fxff，，，，，，连续，且0,0，0,0，求limx0,x2，，xftdt,0 2xd484?。 解 1，tdt,1，x,2x,1，sinx,cosx,sinxdx 2x2ftdt，，fx,2x,，，00? ,lim，，lim0xx00x,x,22，，，，，，xftdt2xftdt，xfx,,00 22fx，，0,lim ，，0xx,0，，，，2ftdt，xfx,0 2,，，fx2x,2lim0x,,，，，，3，fxxfx 2,，，fx,4lim 0x,，，fx,，，3，fxx ,，，f0,4,1。,,，，，，30，0ff 13 自测题一 1(求下列各极限 x,xe,e,2x ? lim20x,x,sinx 22? ，，limx，x,x，1x,，, xx，a,,已知 ? lim,9，求a,,,,xx,a,, xxftdt，，,a ? ，，lim，其中fx连续,xa,xa 2(求下列各导数 2xa2222, ? ，，y,x，a，lnx，x，a，求y22 f，，xx ? ，，y,e,fe，求dy 2,x,ln1，t，，,,, ? ，求y，y,y,t,arctant, , ? ，，xy,sinx，y，求y，dy 3(求下列各积分 13dx ? ? xsin,xdx,,0122x1，x 21ex，1cosx，，dx ? ? lnxdx1,,2,11，xe 2,31,x，x,1,,,fxdx，其中fx,，，xfxdx ? ? ，，，，,,,20,x,xe，x,1, x2,t4(求函数 ，，。 Ix,tedt的极值,0 25(证明不等式: ，，。 当x,0时，2xarctanx,ln1，x 14 参考答案 111(? ; ? ; ? ; ? 。 ，，afaln332 222(? ; a，x f，，xxf，，xxx,, ? ; ,,，，，，，，dy,efx,fe，efe,edx 2t1t，,,, ? ; yy,，,24t cosx，y,y，，cos，，x，y,y, ? y,，dy,dx。 ，，，，x,cosx，yx,cosx，y 213(? ; ? 2,; ? ; 2sin1,3 11,,,,9,1, ? ; ? ; ? 。 21,，，，，，，,e,exfx,fx，C,,42e,, 4(。 ，，I0,0极小值 25(提示:令 ，， ，利用单调性。 ，，fx,2xarctanx,ln1，x 15