第10炼函数零点个数问题

第10炼函数零点个数问题第10炼函数零点个数问题第10炼函数零点个数问题第10炼函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，关于函数yfxxD，我们把方程fx0的实数根x称为函数yfxxD的零点2、函数零点存在性定理：设函数fx在闭区间a,b上连续，且fafb0，那么在开区间a,b内最少有函数fx的一个零点，即最少有一点x0a,b，使得fx00。1）fx在a,b上连续是使用零点存在性定理判断零点的前提2）零点存在性定理中的几个“不必定”（假设fx连续）①若fafb0，则fx的零点不必定只有一个，可以有多个②若fafb0，那么fx在a,b不必定有零点③若fx在a,b有零点，则fafb不必定一定异号3、若fx在a,b上是单调函数且连续，则fafb0fx在a,b的零点独一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为yfx，则fx的零点即为满足方程fx0的根，若fxgxhx,则方程可转变成gxhx，即方程的根在座标系中为x,hx交点的横坐标，其范围和个数可从图像中获取。由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特色，且能互相转变，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵巧转变。（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但没法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确立在一个较小的范围内。比方：关于方程lnxx0，没法直接求出根，构造函数fxlnxx，由f10,f1即可判021定其零点必在,1中22、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：经过代入特别值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。弊端：方法单调，只好判断零点存在而没法判断个数，且能否获取结论与代入的特别值有关（2）方程的根：工具：方程的等价变形作用：当所给函数不易于分析性质和图像时，可将函数转变成方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数弊端：可以直接求解的方程种类较少，很多转变后的方程没法用传统方法求出根，也没法判断根的个数（3）两函数的交点：工具：数形结合作用：前两个主若是代数运算与变形，而将方程转变成函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特色，是数形结合的表现。经过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）也许确立参数的取值范围。弊端：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，平时进行参变分别，其目的在于若含x的函数可作出图像，那么因为别的一个只含参数的图像为直线，因此便于观察），另一方面取决于作图的精确度，因此会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的均衡（作图问题详见：1.7函数的图像）3、在高中阶段主要观察三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理，（2）二次方程根分布问题，（3）数形结合解决根的个数问题或求参数的值。此中第（3）个种类常要用到函数零点，方程，与图像交点的转变，请经过例题领悟如何利用方程构造出函数，从而经过图像解决问题的。三、例题精析：例1：直线ya与函数yx33x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围为()．A．2,2B．2,2C．2,D．,2思路：考虑数形结合，先做出yx33x的图像，y'3x233x1x1，令y'0可解得：x1或x1，故yx3x3在,1,1,单调递加，在1,1单调递减，函数的极大值为f12，极小值为f12，做出草图。而ya为一条水平线，经过图像可得，ya介于极大值与极小值之间，则有在三个相异交点。可得：a2,2 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：A小炼有话说：作图时可先作常系数函数图象，关于含有参数的函数，先分析参数所饰演的角色，而后数形结合，即可求出参数范围。例2：设函数fxx22x2lnx1，若关于x的方程fxx2xa在0,2上恰有两个相异实根，则实数a的取值范围是_________思路：方程等价于：x22x2lnx1x2xaax2lnx1，即函数ya与gxx2lnx1的图像恰有两个交点，分析gx的单调性并作出草图：g'x12x1x1x1令g'x0解得：x1gx在0,1单调递减，在1,2调递增，单g112ln2,g00,g222ln3，由图像可得，水平线ya位于g1,g2之间时，恰好与gx有两个不一样的交点。12ln2a22ln3答案：12ln2a22ln3小炼有话说：（1）本题中的方程为x22x2lnx1x2xa，在构造函数时，进行了x与a的分别，此法的好处在于一侧函数图像为一条曲线，而含参数的函数图像因为不含x因此为一条水平线，便于上下平移，进行数形结合。由此可得：若关于x的函数易于作出图像，则优先进行参变分别。因此在本题中将方程转变成ax2lnx1，构造函数gxx2lnx1并进行数形结合。（2）在作出函数草图时要注意界限值能否可以取到，数形结合时也要注意a能否取到界限值。例3：已知函数fxkx2,x0，若函数yfxk有三个零点，则实数lnx,xkR0k的取值范围是（）A.k2B.1k0C.2k1D.k2思路：函数yfxk有三个零点，等价于方程fxk有三个不一样实数根，从而等价于fx与yk图像有三个不一样交点，作出fx的图像，则k的正负会以致fx图像不一样，且会影响yk的地址，因此按k0,k0进行分类谈论，而后经过图像求出k的范围为k2。答案：D小炼有话说：（1）本题表现了三类问题之间的联系：即函数的零点方程的根函数图象的交点，运用方程可进行等式的变形从而构造函数进行数形结合，解决这种问题要选择适合的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原则。（2）本题所求k在图像中饰演两个角色，一方面决定fx左边图像直线的倾斜角，另一方面决定水平线的地址与x轴的关系，因此在作图时要兼备这双方面，进行数形结合。例4：已知函数fx满足fxf3x，当x1,3,fxlnx，若在区间1,9内，函数gxfxax有三个不一样零点，则实数a的取值范围是（）ln31ln31ln31ln3ln3A．,B.,C．,D．,3e93e92e93思路：fxf3xfxfx，当x3,9，fxfxlnx，所333lnx,1x3以fxlnx,3x，而gxfxax有三个不一样零点yfx与yax93有三个不一样交点，如所示，可得直yax在中两条虚之，因此可解得：ln31a3e9答案：B小有：本有以下两个亮点。（1）如何利用fxfx，已知x1,3,fx的分析式求x3,9,fx的分析3式。（2）参数a的作用直yax的斜率，故数形合求出三个交点a的范例5：已知函数f(x)是定在,00,上的偶函数，当x0，2|x1|1,0x2f(x)1fx2,x2，函数g(x)4f(x)1的零点个数（）2A．4B．6C．8D．10思路：由fx偶函数可得：只要作出正半的像，再利用称性作另一半像即可，当x0,2，可以利用y2x利用像作出像，x2，fx1fx2，即自量差2个位，函2数折半，而可作出2,4，4,6，⋯⋯的像，gx的零点个数即fx1根的个数，即f1的4x与y4交点个数，观察图像在x0时，有5个交点，依据对称性可得x0时，也有5个交点。共计10个交点答案：D小炼有话说：（1）fx1fx2近似函数的周期性，但有一个倍数关系。仍旧可以考虑利用周期2性的思想，在作图时，以一个“周期”图像为基础，其他各部分依据倍数调整图像即可2）周期性函数作图时，若函数图像不连续，则要注意每个周期的界限值是属于哪一段周期，在图像中要正确标出，便于数形结合。3）奇妙利用fx的奇偶性，可以简化解题 步骤 新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤 。比方本题中求交点个数时，只要分析正半轴的状况，而负半轴可用对称性解决例6：关于函数fx．．fxfx，称fx为“局部，若在定义域内存在实数x，满足奇函数”，若fx4xm2x1m23为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（）A.13m13B.13m22C.22m22D.22m13思路：由“局部奇函数”可得：4x2m2xm234x2m2xm230，整理可得：4x4x2m2x2x2m260，考虑到4x4可将2x2x视为整体，方程转变成：2x2x22m2x2x2x2x22，从而x2m280，利用换元设t2x2x（t2），则问题转变成只要让方程t22mt2m280存在大于等于2的解即可，故分一个解和两个解来进行分类谈论。设gtt22mt2m280。（1）若方程有一个解，则有相切（切点xm大于等于2）或订交（此中交点在x2双侧），即00，解得：m22或13m13或g2m2022m22（2）若方程有两解，则g20，解得：m13,m1313m22，m2m2综上所述：13m22答案：A小炼有话说：本题借用“局部奇函数”看法，实质为方程的根的问题，在化简时将2x2x视为整体，从而将原方程进行转变，转变成关于2x2x的二次方程，将问题转变成二次方程根分布问题，进行求解。例7：已知函数yfx的图像为R上的一条连续不停的曲线，当x0时，f'xfx0，则关于x的函数gxfx1的零点的个数为（）xxA．0B．1C．2D．0或2''思路：f'fxxfxfxxfxx00，结合gx0的零点个数xxx即为方程fx10，结合条件中的不等式，可将方程化为xfx10，可设xhxxfx1，即只要求出hx的零点个数，当x0时，h'x0，即hx在0,上单调递加；同理可得：hx在,0上单调递减，hxminh01，故hxh010，因此不存在零点。答案：A小炼有话说：1）本题因为fx分析式未知，故没法利用图像解决，因此依据条件考虑构造函数，利用单调性与零点存在性定理进行解决。（2）所给不等式f'xfx0表现出fx轮流求导的特色，猜想可能是吻合导数的x'xfx乘法法规，变形后可得0，而gx的零点问题可利用方程进行变形，从而与条x件中的xfx相联系，从而构造出hx例8：定义域为R的偶函数fx满足对xR，有fx2fxf1，且当x2,3时，fx2x212x18，若函数yfxlogax1在0,上最少有三个零点，则a的取值范围是（）A.2B.3C.0,5D.0,60,0,5623思路：fx2fxf1表现的是间隔2个单位的自变量，其函数值差f1，联想到周期性，考虑先求出f1的值，由fx为偶函数，可令x1，得f1f1f1f10fx2fx，fx为周期是2的周期函数。已知条件中函数yfxlogax1有三个零点，可将零点问题转变成方程fxlogax10即fxlogax1最少有三个根，因此fx与ylogax1有三个交点。先利用fx在x2,3的函数分析式及周期性对称性作图，经过图像可得：a1时，不会有3个交点，考虑0a1的图像。设gxlogax，则yloagx1gx，利用1图像变换作图，通过观察可得：只要当x2时，ylogax1的图像在fx上方即可，即loga21f22loga32logaa2130a3因此a23答案：B小炼有话说：本题有以下几个亮点：（1）fx的周期性的判断：fx2fxf1可猜想与fx周期性有关，可带入特别值，解出f1，从而判断周期，配合对称性作图（2）在选择出交点的函数时，若要数形结合，则要选择可以做出图像的函数，比方在本题中，fx的图像可做，且ylogax1可经过图像变换做出例9：已知定义在R上的函数fx满足fx2fx，当x1,3时，fx1x2,x1,10，若方程3fxx恰有三个不一样的实数根，t1x2,x，此中t1,3则实数t的取值范围是（）A.4B.2C.4,3D.20,,23,333思路：由fx2fx可得fx4fx2fx，即fx的周期为4，所yfx与gxx解方程可视为的交点，而t的作用为3影响yt1x2图像直线的斜率，也绝对此段的最值（ymaxt），先做出yx的图像，再依据三个交点的条3件作出fx的图像（如图），可发现只要在x2处，fx的图像高于gx图像且在x6处fx的图像低于gx图像即可。因此有f6g6f(6)f(t2)22，即2t2f2g2f(2t)33答案：B例10：（2014甘肃天水一中五月考）已知函数fxsinx1,x02的图像logaxa0,a1,x0上关于y轴对称的点最少有3对，则实数a的取值范围是（）A.0,5B.5,1C.3,1D.0,35533思路：考虑设对称点为x0,x0，此中x00，则问题转变成方程fx0fx0最少有三个解。即sinx1logax有三个根，因此问题转变成2gxsinx1与hxlogax有三个交点，先做出ysinx1的图像，22经过观察可知若ylogax与其有三个交点，则0a1，进一步观察图像可得：只要g5h5，则满足题意，因此51loga52loga5115，因此a5sinloga2loga522aa5答案：A三、最近几年模拟试题题目优选：1、已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x[0,1]时，f(x)x，那么在区间(1,3)内，关于x的方程f(x)kxk(kR)有4个根，则k的取值范围是()．A．013k或k46C．013k或k46B．01k4D．01k42、（2014吉林九校联考二模，16）若直角坐标平面内A,B两点满足条件：①点A,B都在函数fx的图像上；点A,B关于原点对称，则称A,B是函数fx的一个“姊妹点对”x22x,x0（A,B与B,A可看作同一点对），已知fx2x,x0，则fx的“姊妹点e对”有______个2x,x2,函数gxbf2x3、（2015，天津）已知函数fx2,x2,，此中x2bR，若函数yfxgx恰有4个零点，则b的取值范围是（）A.7,B.,7C.0,7D.7,244444、（2015，湖南）已知fxx3,xaxfxb有两x2,x，若存在实数b，使函数ga个零点，则a的取值范围是______5、（2014，新课标全国卷I）已知函数fxax33x21，若fx存在独一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（）A.2,B.1,C.,2D.,16、（2014，山东）已知函数fxx21,gxkx，若方程fxgx有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A.0,1B.1,1C.1,2D.2,227、（2014，天津）已知函数fxx23x,xR，若方程fxax10恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是_________8、（2015，江苏）已知函数fxlnx,gx0,0x1，则方程x242,x1fxgx1实根的个数为__________9、已知函数fxax33x21，若fx存在独一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（）A.2,B.1,C.,2D.,110、关于函数fx,gx，设mx|fx0,nx|gx0，若存在m,n使得mn1，则称fx与gx互为“零点关系函数”，若函数fxlog2x1e1x与gxx2axa3互为“零点关系函数”，则实数a的取值范围是（）A.2,7B.7,3C.2,3D.2,43311、已知偶函数f(x)满足对任意xR，均有f(1x)f(3x)且f(x)m(1x2),x[0,1]，若方程3f(x)x恰有5个实数解，则实数m的取值范围x1,x(1,2]是.12、（2016，河南中原第一次联考）已知函数fxcos2xasinx在区间0,nnN内恰有9个零点，则实数a的值为________13、（2014，四川）已知函数fxexax2bx1,a,bR,e2.71828为自然对数的底数（1）设gx是函数fx的导函数，求函数gx在区间0,1上的最小值（2）若f10，函数fx在区间0,1内有零点，求a的取值范围习题答案：1、答案：B分析：依据周期性和对称性可作出fx的图像，直线f(x)kxk(kR)过定点1,0结合图像可得：若(1,3)内有四个根，可知k0,1。若直线与fx在2,3相切，联4立方程：yx2ky2y3k0，令0可得：k33ykxk，当k时，解得66x52,3，综上所述：k10,42、答案：2y2x,y和x,y，不如设xex分析：关于原点对称的两个点为0，则有，yx22x从而x22x2，因此“姊妹点对”的个数为方程x22x2的个数，即曲线xxe2ey22x与y的交点个数，作出图像即可得有两个交点xxe3、答案：D2x,x2,得f(2x)22x,x0分析：由fx222,x2,，x,xx02xx2,x0因此yf(x)f(2x)4x2x,0x2，22x(x2)2,x28642x2x2,x0即yf(x)f(2x)2,0x2x25x8,x215105510152468yf(x)g(x)f(x)f(2x)b,因此yfxgx恰有4个零点等价于方程f(x)f(2x)b0有4个不一样的解，即函数yb与函数yf(x)f(2x)的图象的4个公共点，由图象可知7b2.44、答案：a,01,分析：gxfxb由两个零点，即方程fxb有两个根，从而yfx与yb有两个交点。可在同向来角坐标系下作出yx3,yx2，观察图像可得：a0时，水平线与yx2有两个交点，故吻合题意；当0a1时，fx为增函数，因此最多只有一个零点，不符题意；当a1时，存在水平线与yx3,yx2分别有一个交点，共两个吻合题意。综上所述：a,01,5、答案：C分析：ax33x210a31，令1t，依题意可知ya与y3tt3应在有xx3x独一交点且位于t0的地域。设gt3tt3，因此g't33t231t1t，则gt在1,0,0,1单增，在,1,1,单减，g12,g12，作出图像可知只有当a2时，ya与y3tt3有独一交点，且在t0的地域。6、答案：B分析：方法一：方程fxgx有两个不等实根可转变成函数yfx与ygx的图像有两个不一样交点，此中k为直线的斜率。经过数形结合1即可获取k,12方法二：本题还可以先对方程进行变形，再进行数形结合，x21kx中x0明显不x21x211,x2是方程的解，当x1x，则问题0时，kx，设hx3x1,x2x转变成yk与yhx交点为2个。作出图像后即可观察到k的范围7、答案：0,19,分析：方程为：x23xax1，x1明显不是方程的解，因此x1时，ax23xx，1即ax145，令tx1，则ya与yt45有4个交点即可，作出图x1t像数形结合即可获取a0,19,8、答案：4分析：方程等价于fxgx1，即fxgx1或fxgx1共多少1,0x1个根，y1gxx21,1x2，数形结合可得：fx与y1gx有两个交7x2,x21,0x1点；y1gxx23,1x2，同理可得fx与y1gx有两个交点，所5x2,x2以共计4个9、答案：C133，令t1分析：ax33x210a，依题意可知at33t只有一个xxx零点t0且t00，即ya与gtt33t只有一个在横轴正半轴的交点。gt3t23可知gt在,1,1,减，在1,1增，g12作出图像可得只有a2时，ya与gtt33t只有一个在横轴正半轴的交点。10、答案：C分析：先从fxlog2x1e1x下手，可知fx为单增函数，且f10，因此fx有独一零点x1，即m1；因此1n10n2，即gxx2axa3在0,2有零点。考虑方程x2axa30ax23x1412，即ya与x1xyx142在0,2有公共点即可，数形结合可得：a2,3x111、答案：(837,415)(4615,837)666分析：当m0时，方程恰有5个解方程3m[1(x42)]x有两个解且方程3m[1(x8)2]x无解，考虑这两个方程的鉴识式可得154m837；由对称66性，当m0时，方程恰有5个解的范围是837m154；因此m的取值范66围是(837415)(415837)6,6,6612、答案：a1分析：由f(x)0，得cosx2asxi，即22asxin．1设=0nsixng(x)22sixnasxi，n令1tsxin，则g(x)22t．考a察t1(0,2)的函数g(x)的零点个x数，即以以下图所示为tsinx，x(0,2)的图象，易知：（1）方程2t2at10的一个根为1，另一个根为(1,0)时，g(x)在(0,2)内有三个零点，此时21a110，解得a1；（1）方程2t2at10的一个根为－1，另一个2(21)a(1)10根为(0,1)时，g(x)在(0,2)内有三个零点，此时2(1)2a(1)10，解得21a110a1．综上可知当a1时，f(x)cos2xasinx在(0,2)内有3个解．再由933可知，n236．综上可知a1，n6．13、分析：（1）gxf'xex2axbg'xex2a当x0,1时，g'x12a,e2a当12a0a1时，g'x02gx单调递加gxming0b当12a0e2a1ae时22gx在0,ln2a单调递减，在ln2a,1单调递加gxmingln2a2a2aln2ab当20e'时，eaa2gx0gx单调递减gxming1e2aba1g0b综上所述：时，gxmin1e2时，gxgln2a2a2aln2ab2amin2aexming1e2ab时，g2（2）f10,f00且fx在区间0,1内有零点.fx在0,1不但调，且最少有两个极值点gxf'x在0,1最少有两个零点由（1）可得：若a1ex在0,1单调，至多一个零点，均不符题意或a，则g1e22a22gx在0,ln2a单调递减，在ln2a,1单调递加gln2a02a2aln2ab0g001b0g10e2ab0由f10可得：eab10be1a，代入到不等式组可得：2a2aln2aa1e0ae21e1a0a1e2ae1a01e1a0ae2由2ae1a0a1e下边判断：ae2,1时，2a2aln2aa1e0能否恒成立设ha2a2aln2aa1e3a2aln2a1eh'a32a12ln2a12ln2aa令h'a0解得：ae2ha在e2,e单调递加，在e,1单调递减22hamaxhe3eelne1ee1e022ha2a2aln2aa1e0在ae2,1时恒成立ae2,1