待定系数法分解因式[教材]
学科:奥数
教学内容:待定系数法分解因式
经验谈:
待定系数法作为最常用的解
题
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方法,可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中,认真学好并掌握待定系数法,必将大有裨益。
【内容综述】
将一个多项式
表
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示成另一种含有待定系数的新的形式,这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组,其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满足的关系式,这种解决问题的方法叫做待定系数法。
本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。
【要点讲解】
这一部分中,通过一系列题目的因式分解过程,同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法,步骤,技巧等。
??例1 分解因式
思路1 因为
所以设原式的分解式是然后展开,利用多项式的恒等,求出m, n,的值。
解法1因为所以可设
比较系数,得
由?、?解得把代入?式也成立。
?
思路2 前面同思路1,然后给x,y取特殊值,求出m,n 的值。
解法2 因为所以可设
因为该式是恒等式,所以它对所有使式子有意义的x,y都成立,那么无妨令
得 令得
?、?得或 解
把它们分别代入恒等式检验,得
?
说明:本题解法中方程的个数多于未知数的个数,必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立,则需将此解舍去;若得方程组无解,则说明原式不能分解成所设形成的因式。
??例2 分解因式
思路 本题是关于x的四次多项式,可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。
解 设
由恒等式性质有:
由?、?解得代入?中,?式成立。
?
说明 若设原式
由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解,故设原式
???例3 在关于x的二次三项式中,当时,其值为0;当时,其值为0;当时,其值为10,求这个二次三项式。
思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式,然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒待式的性质。 解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入,得
解得
故所求的二次三项为
思路2 根据已知时,其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值。
解法2 由已知条件知当时,这个二次三项式的值都为0,故可设这个二次三项式为
把代入上式,得
解得
故所求的二次三项式为即
说明要注意利用已知条件,巧设二次三项式的表达式。
????例4 已知多项式的系数都是整数。若是奇数,
证明
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这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积,然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的。
证明:设
(m,n,r都是整数)。
比较系数,得
因为是奇数,则与d都为奇数,那么mr也是奇数,由奇数的性质得出m,r也都是奇数。 在?式中令,得?
由是奇数,得是奇数。而m为奇数,故是偶数,所以
是偶数。这样?的左边是奇数,右边是偶数。这是不可能的。
因此,题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
说明:所要证的命题涉及到“不能”时,常常考虑用反证法来证明。
????例5 已知能被整除,求证:
思路:可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。
证明:设展开,比较系数,得
由?、?,得,
代入?、?得:,
?
???例6若a是自然数,且的值是一个质数,求这个质数。
思路:因为质数只能分解为1和它本身,故可用待定系数法将多项式分解因式,且使得因式中值较小的为1,即可求a的值。进而解决问题。
解:由待定系数法可解得
由于a是自然数,且 是一个质数,
?
解得
当时,不是质数。
当 时,是质数。
?=11 .
A级
???1、分解因式_______.
???2、若多项式能被 整除,则n=_______.
??3、二次三项式当 时其值为-3,当 时其值为2,当 时其值为5 ,这个二次三项式是_______. ??4、m, n是什么数时,多项式能被整除,
B级
???5、多项式 能分解为两个一次因式的积,则k=_____.
???6、若多项式 能被整除,则_______.
??7、若多项式当2 时的值均为0,则当x=_____时,多项式的值也是0。
???8、求证:不能分解为两个一次因式的积。
参考答案或提示:
1.
提示:设原式
比较两边系数,得
由?、?解得
将 代入?式成立。
?原式
2、-4。
提示:设原式
=
比较系数,得
由?、?解得
代入?得
3、
提示:设二次三项式为
把已知条件代入,得
解得
?所求二次三项式为
4.
设
比较系数,得
解得
?当m=-11,n=4已知多项式能被整除。
5.-2
提示:设原式
.
比较系数,得
解得
6.-7
提示:设原式
比较系数,得
解得
?
7.3.
提示:设原式
比较系数,得
解得c=3.
?当x=3时,多项式的值也是0.
8.设原式且展开后比较系数,得
2m,n,1,
,3m,n,14 ,
,mn,15,
而这与?矛盾,即方程组无解。故命题得证。 由?、?得代入?,再由?、?得 将上述入?得.