二次根式 复习导学案

二次根式 复习导学案 第二十一章 二次根式 复习 一、知识点归纳及题型 (一)二次根式: (1)二次根式:式子(a?0)叫做二次根式( a 考查题型:1判断是否是二次根式;2求相关字母的取值范围;3利用非负性求值。 ??? 例:?1下列式子中二次根式的个数有 ( ) 112(,)2231,x(x,1),38,x，1x，2x，333 ?;?;?;?;?;?;?. A(2个 B(3个 C(4个 D(5个 2被开方数是非负数 小结:判断是否是二次根式的条件1根指数为2;?? 21x，例:2当x __________时，二次根式有意义。 ?x,1 小结:要使二次根式有意义，需要被开方数为非负数，如果出现了分式，还需要使分母不为零。 例:?3若x,y,2，2x，y,7,0，则x,y的值是…………… ( ) x,1，x,0，x,3，x,1，,,,,(A) (B) (C) (D) ,,,,y,3;y,2;y,1;y,5.,,,,小结:初中所学的具有非负性的知识有:绝对值、平方(偶次方)、二次根式(偶次方根) 如果 非负数+非负数=0 则有这两个非负数都等于0。 (2)最简二次根式:?被开方数不含分母;?被开方数中不含能开得尽方的因数或因式(把满足这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 考查题型:1判断是否是最简二次根式;2化为最简二次根式。(注意:所有计算的结果都应化为最简?? 根式。) 12例:1下列二次根式中，最简二次根式是A( B( C( D( ( ) 3a153143?3 例:2把下列根式化为最简二次根式 ? 2a42、 、 、 ,,0.5,m，m3x 小结:在进行二次根式的运算时，必须把最终结果化为最简二次根式的形式。一般有三种类型:1、如果 1 被开方数(式)是分数(式)，可利用二次根式的性质化简;2、如果被开方数中不含分母，可先分解因数 或分解因式，把开得尽的因数或因式开出来。 (3)同类二次根式:化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式( 12考查题型:?判断几个根式是否是同类二次根式;?利用两个同类二次根式求相关字母的值。 例:1在下列各组根式中，是同类二次根式的是( ) ? 122 A、 B、 C、 D、 3和318和aa，,11和abab和3 2如果最简二次根式与是同类二次根式, 则a=__________. 3a,817,2a? 小结:关键是抓住概念?1根指数是2;?2化为最简根式后被开方数相同。 补充内容: (4)分母有理化:把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 (5)有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积为有理式，我们说这两个代数式互为有 理化因式(如:的有理化因数是;的有理化因式是 3,23，222 考查题型:化简根式 1例:化简 7,6 (二)二次根式的性质( (1)(0)aa,是一个非负数; 2(2)()(0);aaa,, a(a?0) a(a,0) aa,(0),, ,2(3)0,(0)aaa,,, (另外: 或 ) , ,,,aa,(0), a(a,0) a(a?0) (4)(0,0)ababab,,,, a(5)____(0,0);,,,abb 考查题型:1化简根式;2求相关取值范围;3实数范围内分解因式;4求某个根式的整数或小数部????分或求代数的值;5把根号外的因式移入根号内。 ? ?1 2例: (,3) 2当x,1时，化简= 2?(1,x) 2 123当?时，化简等于 14421,，，,aaa?a 2 a24,a(A)2 (B) (C) (D)0 2小结:化3简根式分为三种情况1根号下是一个数或因式2根号下是(?b)形式，并且给了取a??? 2值范围。3根号下是一个多项式。对于12种情况可以利用来化简。第3种情况要先分a,a????解因式化为几个因式的乘积，再化简。在化简时，绝对值这一步一定要写出来，防止出现错误。 2例:4如果成立，那么实数a的取值范围是( ) aaa，,，,693? AaBaCaDa.0;.3;.3;.3,,,,, 小结:这种题可以从 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 倒推，等号右边没有a,说明根号内化简合并后和为0,则根号内应化为3-a,所以a?-3。 3例:5实数范围内分解因式:2x-x ? 注意:分解因式时，只分解到数字含一个根式为止，字母不能再次分解。如:x-4一般不能再分解为()()。 x，2x,2 12x，例:6若的整数部分为x，小数部分为y，求的值。 17?y 小结:利用取值范围，求出a，b，得出代数式的值。 例:7把根号外的因式移到根号内:, 。 m,m? 小结:先判断相关字母取值范围，判断原式的符号再变化。 (三)二次根式的运算: (1)二次根式的加减:先将二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。 aa(2)二次根式的乘除: abababab,,,,,,,(0,0);(0,0)bb 考查题型:计算(特别是与零指数、负指数、乘法公式结合的运算。) 1,10例:1 2 312 ，(2,3 ),( ) ( (3，1)(3,1)123,???5 3 三、典型习题 (一)二次根式的概念 1(若x是实数，下列各式中一定是二次根式的是( ) 1222,( ,(,x+2x,2 ,(x+2x+1 ,(x,1 2x 2(要使二次根式有意义，字母x的取值必须满足的条件是( ) x,1 (A)x?1 (B)x?1 (C)x>1 (D)x<1 x3(如果代数式有意义，那么的取值范围是( ) xx,1 A、 B、 C、 D、 x,0且x,1x,0x,1x,0 1,m，4(如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P(m，n)的位置在( ) mn A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 15(如果式子在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 。 4,3x 26(若，则的值为 。 mn，m,3，(n，1),0 27(已知为实数，且，则的值为( ) x,y，，x,yx,1，3y,2,0 A(3 B(– 3 C(1 D(– 1 228(已知直角三角形两边x、y的长满足,x,4,，,0，则第三边长为,,,,. y,5y，69(若x、y都是实数，且y=，求xy的值。 2x,3，3,2x，4 (二)最简二次根式的概念 1(下列二次根式中，属于最简二次根式的是( ) x22A( B. C. D. 8xx，12 2(下列根式不是最简二次根式的是( ) 2b2 A. B. C. D. 0.1y21x，a，143(下列各式中属于最简二次根式的是( ) 252xy(A) (B) (C) (D) 0.5x，112 4 y4(把二次根式(y,0)化成最简二次根式为 。 xx 12225(二次根式:中的最简二次根式是 。 45a,30,2,40b,54,17(a，b)2 6( 观察分析下列数据，寻找规律: 0，，，3，2，，3，……。那么第10个数据应是 . 633152 (三)同类二次根式的概念 1(在下列各组根式中，是同类二次根式的是( ) 13A( B( C( D( 2和2和3a,1和a，14ab和ab2 2(下列根式中，与是同类二次根式的是( ) 3 (A) (B) (C) (D) 681218 23(最简二次根式是同类二次根式，则a= a，3和5a,3 a，b4( 若二次根式9a与a，8b是同类二次根式，则a,_____,b,____ 如果最简二次根式和是同类二次根式，那么使有3817224aaxa,,,5( 意义的的取值范围x_______ a，b6(若最简根式与是同类二次根式，则=___________。 3aa，2bab (,0)aa,2(四)公式,,的应用 aa,,a(a,0), 21(如果，那么a的取值范围是( ) a，a,2a，1,1 A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a?1 12(化简的结果是( ) a,a A( B. C. - D. - ,aa,aa 3(实数p在数轴上的位置如图所示， 化简 22(p,1)，(p,2),______________. 24(若a,3,0，则化简的结果是 a,6a，9，4,a (A) ,1 (B) 1 (C) 2a,7 (D) 7,2a a，25(化简二次根式的结果是 a,2a (A) (B) (C) (D) ,a,2,,a,2a,2,a,2 21816,,,，xxx6(若化简的结果是2x-5，则x的取值范围是( ) 5 (A)x为任意实数 (B)?x?4 (C) x?1 (D)x?1 1 7(若a?1，则化简后为( ). (A) (B) (C) (D) 228(化简得 44123xxx,，,,，， (A) 2 (B) (C),2 (D) ,，44x44x, xx,9(能使等式成立的的x的取值范围是( ) x,2x,2 A、 B、 C、 D、无解 x,2x,002,,x 2210(化简 . x，y，x,2xy，y(x,y)的结果是 13211(化简aa= ,,,a 1212、已知,，化简的结果是 x3x，2,1,4x，4x2 222213(实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 a,a，2ab，b，(c,a)，b，c a b 0 c (五)二次根式的运算。 [A] 选择与填空 1(计算 2 一的结果是( ) 9 A . 1 B -1 C (- 7 D . 5 2(下列计算正确的是( ) 2,( ,( ,( ,( 62,164,,32221,,2464,,3 23.计算的值为( ) ,，(57) 37, A(2 B(,2 C(,2,2 D(,2，2 774.下列计算正确的是( ) 27,126,2(A) (B)==1 (C) (D) 9,4(2,5)(2，5),18,2,2,3232 1b,5(已知 ，则,a与b的关系是( ) a,2，1, 2,1 (A)a,b (B)ab,1 (C)a,-b (D)ab,一1 A(2 B(,2 C( D( 222 6(下列运算中，错误的是( ) (( 6 122A( B(, C( D( (2,3),2,32，3,622，32,5222 27(若ab,o，则代数式可化简为( ) ab A) (B) (C) (D) (aba,b,ab,a,b 1122a,8(已知 ，b,，则 的值为( ) a，b，7 5,25，2 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 2,x9(已知,则代数式的值为( ) x,2x,1 A(, B( C(3 D(4 2222 7,710(化简= 7 211(等式x,y,(x，y)，( )中的括号应填入,,,,,, 12(用计算器比较:，，的大小(用小于符号连接)____________________( 524335 1113( 已知x,，则的值等于___________. x,x52, 1114(计算:= . ，,276323， [B] 解答题 ,10121,,023，2,()，1.计算:; 2(计算:; 1221，,，，，,,243,1,, 3.先化简下面的代数式，再求值:a(1,a)，(a,1) (a，1)，其中. a,3，1 1124.已知，，求的值( y,3()，,x,2xyxy， 5.直线:(， 为常数)的图象如图(10)所示，化简:mnlymxn,,，,(3)2y ol2mnnnm,,，,,441. x 图(10) 7 20042005022(已知:。 求:的值。 6a,，,,，，,(25)(52)2(52)(2)aa，4 227、先化简，再求值:，其中a,3，b,4( ，，，，a，b,a,b 8(观察下列分母有理化运算: 11,,，,,，12,23, 1223，， 11 ,,，,,，34,,20022003, 3420022003，， 利用上面的规律计算: 1111 ()(12003)，，，，， 12233420022003，，，， x，y2xy,9(已知y=。求:的值。 x,8，8,x，18x,yxy,yx 110(已知a是整数部分，b是 的小数部分，求的值。 55a，b，2 8 11(观察下列各式及其验证过程: 2222,，33 3322222222122()(),，,，验证:;22,,,,，223321213,, 3333,，，88 332333333133(),,，+3()验证:33,,,,，228831318,, 4(1) 按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形记过并进行验证。 415(2) 针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，n?2)表示的等式并证明。 9