向量证明四点共面 由n+m+t=1 , 得 t=1-n-m ,代入op=nox+ moy +toz, 得 OP=n OX +mOY +(1-n-m)OZ, 整理,得
OP-OZ =n(OX-OZ) +m(OY-OZ)即ZP =nZX +mZY即P、X、Y、Z 四点共面。
以上是充要条件。
2如果通过四点外的一点(空间中)与四点之间的关系来判断折四点共面
A,B,C,D,4个点,与另外一点O,若OA=xOB+yOC+zOD,x+y+z=1,四点就共面
3设一向量的坐标为(x,y,z)。另外一向量的坐标为(a,b,c)。 如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常数,则两向量平行 如果ax+by+cz=0,则两向量垂直。
答案
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补充 三点一定共面,证第四点在该平面内 用向量,另取一点O 如向量OA=ax向量OB+bx向量OC+cx向量OD,且a+b+c=1 则有四点共面 答案补充 方法已经很详细了呀。4线平行线: 两条线的方向向量矢量积为0,且两条线没交点
面平行线:是线平行面吧,线的方向向量和平面法向量垂直,即线的方向向量和平面法向量数量积为0 ,且线不在平面内
三点共面:三点肯定是共面的,我猜你说的是三点共线吧,比如ABC三点,证明共线,证明AB与BC的方向向量矢量积为0
四点共面:比如ABCD三点证明AB,AC,AD三者满足先求AB,AC的矢量积a,再a和AD数量积为0
3怎样证明空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC且x+y+z=1,则P,A,B,C四点共面
简明地证明,网上的不具体,不要复制!
证明:由x+y+z=1→x向量OC + y向量OC + z向量OC=向量OC,且:x向量OA+y向量OB+z向量OC=向量OP
将上边两式相减得:向量OP-向量OC=x(向量OA-向量OC)+y(向量OB-向量OC)即:向量CP=x向量CA+y向量CB
由x向量CA+y向量CB所
表
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示的向量必在平面ABC内→P点必在平面ABC内。
故:A,B,C,P四点共面。
4可以先随便假设其中3点共面(很简单2点确定一条直线,直线和直线外一点可以确定1个平面) 不防设 A B C 三点共面 只需证明P点在这个平面上即可 以下向量符号省去
证明: PA=BA-BP=OA-OB-(OP-OB)=OA-OP=OA-(a 向量OA+b向量OB+c向量OC )=(1-a)OA-bOB-cOC=(b+c)OA-bOB-cOC=bBA+cCA
到这里 因为ABC已经确定了一个平面 且 PA=bBA+cCA
所以PA平行平面 又A在平面内 所以P点也在该平面内,所以四点共面
如果两个向量a. b不共线,则向量p与向量a.b共面的充要条件是存在有序实数对(x.y),使 p=xa+yb
编辑本段共面向量的定义: 能平移到同一平面上的三个向量叫做共面向量
编辑本段推论:推论1 设OABC是不共面的四点 则对空间任意一点P 都存在唯一的有序实数组(x,y,z)
使得OP=xOA+yOB+zOC {OP,OA,OB,OC均表示向量} 说明:若x+y+z=1 则PABC四点共面 (但PABC四点共面的时候,若O在平面ABP内,则x+y+z不一定等于1,即x+y+z=1 是P.A.B.C四点共面的充分不必要条件)
证明: 1)唯一性:
设另有一组实数x',y',z' 使得OP=x'OA+y'OB+z'OC
则有xOA+yOB+zOC=x'OA+y'OB+z'OC ∴(x-x')OA+(y-y')OB+(z-z')OC=0
∵OA、OB、OC不共面 ∴x-x'=y-y'=z-z'=0即x=x'、y=y'、z=z'
故实数x,y,z是唯一的
2)若x+y+z=1 则PABC四点共面:
假设OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1 且PABC不共面
那么z=1-x-y 则OP=xOA+yOB+OC-xOC-yOC
OP=OC+xCA+yCB(CP=xCA+yCB)
点P位于平面ABC内 与假设中的条件矛盾 故原命题成立
推论2
空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x.y,使 MP=xMA+yMB {MP MA MB 都表示向量} 或对空间任一定点O,有 OP=OM+xMA+yMB {OP,OM,MA,MB表示向量}
选定向量基底,解决常见立体几何问题
利津二中 陈富君 魏静
我们知道,空间向量的坐标运算成为解决立体几何的垂直与平行的证明、角与距离的求解等问题的一个十分有效的工具,用空间向量的方法处理立体几何问题,常常可以收到化繁为简,化难为易,也降低了同学们学习立体几何的思维难度.但是空间直角坐标坐标系的应用有着很大的局限性,取而代之,若以有着特殊关系的三个向量作为基底,通过向量运算将使更多的立体几何问题得到很好的解决.这类问题常以特殊四面体(或空间四边形),平行六面体,特殊三棱柱等为载体.
一、证明三点共线
例1 如图,在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点,G、H分别在BC、CD上,且BG : GC=DH: HC=1: 2.设EG和HF交于点P,求证P、A、C三点共线.
解 设
,则
∵
,∴
∴
且A为PA、AC公共点,故P、A、C三点共线
二、证明直线平行平面
向量
平行平面ABC的充要条件是
例2 直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是AB1与BC1上的点,且
,求证MN∥平面ABCD.
解 设
,则
∥平面ABCD,而
,故MN∥平面ABCD.
三、证明直线垂直直线(或直线垂直平面)
例3 如图,在四面体ABCD中, M是AB的中点,N是CD的中点,求证:MN是异面直线AB,CD的公垂线的充要条件是:AC=BD,BC=AD.
证明 设
必要性 若MN是异面直线AB,CD的公垂线,则
∵
,
同样的可得
,
∴
,
因此,AC=BD,同理BC=AD.
充分性 由AC=BD,得
①
由BC=AD,得
②
①+②得
故MN⊥AM,同理MN⊥CN,即 MN是异面直线AB,CD的公垂线.
四、求异面直线的夹角
例4 在正四面体ABCD中,M、P分别为棱AD、CD的中点,N、Q分别是面BCD、面ABC的中心,求MN与PQ的夹角.
解 设正四面体的棱长为2,O为BC中点,
,则
,
,
∴
,即|MN|=|PQ|=1,
,
因此,MN与PQ的夹角为
空间向量的基底的应用恰恰是教学中的薄弱环节,如果不注意及时补上这一课,久而久之,应用向量的思维会钝化,甚至会缘木求鱼.