集中载荷作用下超静定等强度梁的体积优化设计

集中载荷作用下超静定等强度梁的体积优化 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 集中载荷作用下超静定等强度梁的体积优 化设计 第24卷第6期 2005年11月 曲靖师范学院 JOURNALOFQUJINGNORMALUNIVERSITY Vo1.24No.6 Nov.2005 集中载荷作用下超静定等强度梁的体积优化设计 李清禄,谢新港 (1.;M-州理工大学理学院,甘肃兰州730050;2.华中农业大学工程技术学院,湖北武汉430070) 摘要:利用阶梯折算法,研究了集中载荷作用以及几何约束条件下,一次超静定等强度梁的体积优化 设计.用实例给出了在集中载荷作用下的等强度梁与等截面梁的体积对比. 关键词:超静定;等强度;梁;优化设计;阶梯折算法 中图分类号:0343文献标识码:A文章编号:1009—8879(20o5)06—0078—03 寻求最优解一直是工程人员和力学工作者追 求的目标,这方面的文章已不少L1J.梁的等强度 设计是一种体积最小的,满足强度条件的最优化 设计,它广泛应用于土木,建筑工程等领域,在工 程实际上具有重要的意义. 超静定梁在任意分布载荷作用下的体积优化 设计已有研究【3].本文将研究等强度梁在任意集 中载荷作用下的体积最优化设计.在这个问题中, 对阶梯折算法进行改进,采用分段等分的办法,得 到了目标函数和几何约束条件关于设计变量的显 式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式.最后归结为求解一组方程数目与梁的 超静定次数相等的非线性代数方程.方程的多少 与分段的数目无关,问题的精确度只与分段的数 目有关,而与方程的数目无关.计算了一个实例, 并与同样条件下的等截面梁作了体积对比. 本文的强度以满足弯矩所产生的正应力为 准,而略去了由剪力产生的剪应力. 1基本方程 考虑长为z,截面为矩形,宽为b的上下对称 的逐段变截面一次超静定梁,在梁的中点作用集 中载荷P.如图l所示. 图1一端固定一端简支变截面梁 显然,在力P作用下,在目前的支承情况下, 梁上的弯矩分布必有如图2所示的曲线,梁上有 一 和剪力为零的点:,且眠 个弯矩为零的点. 必小于零.基于梁的弯矩分布情况,我们对全梁进 行分段等分,即:分成3部分来考虑,分别为 图2弯矩分币不惹圈 0一l,l—2,2一l,我们将梁分成(/1,+1) 段分三段等分的阶梯梁(这里的n是任意的).其 中a(i=0,1,…P,P+1…k,…,l,/1,+1)是各分 点的坐标,且a.=0,a+.=1.我们以D(i=0,1, 2,…n)表示第i段(a?<a…)的抗弯刚度.由 文献[4]知,图1所示的梁在集中力P作用下,其 挠度表达式为 Y()=y(O)+Y(0)一 善n(1){)一 (1){+2. p善n{--ai—(一(~i-1--ai). ()+P(1) 式中(=D.ID(i=0,1,2,…,1),并规定 一 .=0,y(O),Y(0)=0,M.和Q.分别为梁在a. (=0)点的挠度,转角,弯矩和剪力;{—aio是 Heaviside函数,它定义为 Ix-a, . (2) 收稿日期:2005—07—14 基金项目:兰州理工大学校科研发展基金(SB10200420) 作者简介:李清禄,兰州理工大学理学院讲师,硕士,主要从事弹性力学研究 ? 78? 李清禄,谢新港:集中载荷作用下超静定等强度梁的体积优化设计 该梁在任意截面上的弯矩M()为 ()_M … o+Qox, 一 P(x-l, x 2) <~ , l/2 > ' f,2. 2边界条件 2ai+i)]+箦‰^(f_n2吾)_(2 一 a…). (3)(2口".一l)]+p/3h~--J(12) <~ll2' (4)3强度条件(4)隅反什 >l/2. Q.=P —T Mo(8) c口,= {二享ai:二PMo(1aiI:,2【一丁)+(z一),口>f,2 Mo(1一TX1)+PI=0(10) 2: l(11)2儿 对于变厚度的非均匀介质梁,Df=6(i ,,(f)=一善n…)_(2--ai+!一 …z+2a1)一(z一(z+ 基于前面所述,强度条件可写为: ?p一1?一(口)(13) 尸??后一lb[]^;?(口f+1)(14) i?k1b[o]h?M(口)(15) 对于等强度梁,在(13)一(15)中都应有等式 成立,式中[]为材料的许用正应力. 当眠给定时,可通过强度约束求出各个段 的高度h(i=0,1,…,n)是一个变量的函数, 显然高度h是的显式表达式.上述问题可归 结为求一组h,即求解关于肘.的一个非线性代 数方程.在满足(13)一(15)各式的等式条件下,使 (12)式成立,即Y(Z)=0.我们用牛顿迭代法求 出满足(12)式的h.,并进而确定其余的h(i=0, 1,…n). 4算例 例考虑一端固支,一端简支的梁,其上中点 作用有集中力为P=60O00kg,梁宽b=24cm,梁 长Z=9m.材料的[]=1600kg/c,Yong氏模量 E=2×1kg~ (a)如将全梁分为18段,根据弯矩分布情况 分为3部分,求得l8个截面的高度如表1所示: (单位cIn2).图3(a)为优化后梁的形状与厚度分 布. 表l全梁分为l8段时截面高度 ? 79? 第6期曲靖师范学院第24卷 (b)如将全梁分为36段,根据弯矩分布情况 分为3部分,求得36个截面的高度如表2所示: 布. 从计算结果可知,等强度梁的体积分别为等 (单位c).图3(b)为优化后梁的形状与厚度分截面梁体积的69%和67%. 表2全梁分为36段时截面高度 5结论 图3优化后形状或者厚度分布 利用阶梯折算法思想,采用对梁分段等分的 办法,从理论上研究了受集中力作用的超静定梁 的优化设计问题.研究表明:方程的多少与分段的 数目无关,问题的精确度只与分段的数目有关,优 化后的体积随着分段数目的增加而减小.由计算 对比结果看出,等强度梁的体积只有等截面梁的 体积的68%左右,这在工程上可大大节约原材 料.本文优化结果为桥梁的设计提供了理论依据. 参考文献: [1]吴莹,俞焕然,李论.单绞柔韧性机器人手臂的优 化设计[J].兰州大学,1995,31(力学专辑):1—5. [2]俞焕然,姚林泉.在给定屈曲载荷作用下弹性环形薄 板的体积优化设计[J].兰州大学(自然科学版), 1993,(1):35.37. [3]叶开沅.非均匀变厚度弹性体力学若干问题的一般解 ?[J].兰州大学(自然科学版),1979,(1)力学专 号,133,157. 冯燕伟.材料力学[M].北京:高等教育出版 [4]叶开沅, 社.1989:275,281. [5]解可新,韩立兴,林友联.最优化原理[M].天津大学出 版社.2001:106,l10. VolumeOptimalDesignofEqui--strengthStatic--indeterminant BeamunderaConcentratedForce LiQinglu.XieXingan~ (1.SchoolofScience,LanzhoBuniv.ofTech.,LanzhouGansu730050; 2.Schooloftechnology,HuazhongAgriculturalUniversity,WuhanHubei43(1070,China) Abstract:Inthispaper,theoptimaldesignofminimizingvolumeofaequi—strengthstatic—indeterminantbeam subjectedtoaconcentratedforceandgeometryconstraintisstudiedbyuseofthesmppedreduc tionmethod.And weobtainthevolumeratiooftheequi—-strengthbeamandthecross—-sectiononeunderconcentratedforcebyan example. Keywords:equi—-strength;beam;optimaldesign;steppedreductionmethod ? 80? [责任编辑:谭昆]