利用状态空间法实现对系统的控制
第6期(总第133期)
2005阜12月
机械工程与自动化
MECHANICALENGINEERING&AUT0MATION
No.6
Dec.
文|It编号:1672—6413(2005)06—0012—02 利用状态空间法实现对系统的控制
贺廉云,
(德州学院机电工程系.
孟俊焕
山东德州253015)
通过状态空间理摘要:现代控制理论中的状态空间法对线性与非线性问题均适用.
论建立系统的状态方程及其
解法.实现对系统的控制.利用实际算例,
表
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明状态空间法是分析系统动态响应的
一种有效方法.
关键词:控制论l状态空间法}动态响应
中图分类号:TP13文献标识码:A
0引言
现代控制理论中的状态空间理论发展迅速,它所 研究的对象不再局限于单变量的,线性的,定常的,连 续的系统,而扩展为多变量的,非线性的,时变的,离 散的系统.所谓状态空间法,本质上是一种时域分析 方法,它不仅描述了系统的外部特性,而且揭示了系 统的内部状态和性能.现代控制理论以线性代数和微 分方程为主要数学工具,以状态空间法为基础.分析
和设计控制系统.近年来,状态空间法逐步推广并成 功地运用到军事,生物医学,社会经济及人类生活等 诸多领域,并且有着广阔的发展前景.
本文介绍状态空间法在系统动态响应问题中的应 用,通过现代控制理论中的状态空间理论建立系统状 态方程及其解法,利用对旋转式倒立摆系统的分析,表 明状态空间法是分析系统动态响应的有效方法. 1旋转式倒立摆系统分析
建立比较精确的数学模型是分析和设计控制系统 的基础,用牛顿力学对模型进行简单的分析,并建立如 图1所示的模型.系统的主要机械参数及变量见表1. 在建模过程中,需要的参数还有旋臂绕轴的转动 摩擦力矩系数,.,摆杆绕轴的转动摩擦力矩系数, 旋臂绕轴的转动惯性.,.,摆杆绕轴的转动惯性c,,这 些要通过测量和计算得到.0.,0分别为旋臂和摆杆与
以逆时针方向为正,U为加在电机上的 垂直线的夹角,
控制电压.
2旋转式倒立摆系统建模
根据牛顿力学,在非惯性系.中,对摆杆有: 收稿日期.2005—06—25
作者简介:贺廉云(1966一),女,山东德州人,副教授,在职研究生.
J202+fz0z----Ml2十2gLzsin02.…………(1) 图1模型分析
表1系统的主要机械参数殛变量
旋臂位置0摆杆位置07
旋臂质量m0.
200摆杆质量mz0.
O52k
gkg
旋臂长度月摆杆长度0.20O.25 m
旋臂质心到转轴距离L-0.
10摆杆质心到转轴距离L20.12 mr12
电机力矩一电压比K0
.
0236电机反电动势一转速比K0
.2865N
?m/VV?s
其中.M为旋臂对摆杆的作用力矩,M为: M12===zLz[R0~sin(l02)一R0lCOS(--02)].
………………………………………………… (2)
在惯性系S.中,对旋臂有:
J10l+f101一M0+M21+lg厶sin01.…(3) 其中,为电机输出转矩.为:
2005年第6期贺廉云,等:利用状态空间法实现对系统的拉制?13?
Mo—(—K01).………………………(4) .为摆杆对旋臂的作用力矩,根据反作用规律. l—2
Eg+d2(Rc.s
l+L2c.s2)]?Rsin1一
j
[(d2Rsin
l+2sin2)]?Rc.s1一2gRsin1一
jR.01一m2R20;sin(一02)一m2R202COS(1一 ).………………………………………………(5)
联立式(1),式(5),消去中19变量和并 .代入,得到矩阵形式的系统非线性数学模型:
fJl-}-mzR【
2RL2cos(1—02)
If+KmKe
l
【m2R2sin(0l一02)01
叫之的).…
0l和02均趋于0,有0l,?O,sin0l?1,sin02?2,
有线化模型为:
[m0【2R22Jl,J'
(+o,2)f]='
(l厶+2Rg)(01)+K0m020).…c7\zg/\/一 =
m(,1+00,2)'—II,』'一1I'【2R22J\厂2/ 一
(1厶+m2R)g0m),:=:(0).\2厶/\/ "
.i=-J-iF+J-'Mr02?)一,"
系统的状态方程为:.
f=Ax+BU
y=Cx……………………………(9) 其中,z===
0l
02
?
01
-
02
,B,c为状态方程的系数矩阵:
4==fo.×.zJrz×z],E==foz×-],【一
—
'J【一J
C—EX2×2,Ozx2].
将参数值代入式(9),利用lJr—Al=0求系统特 征值,其中Jr为单位矩阵,也可以在Matlab中求出 系统的特征值入,可以看出系统开环不稳定. 因为rankEB,AB,A.B,AB]一4,rankEc, (c),(CA)](CA.)]=4,系统是完全可控和完全
可观测的.因此可以根据状态反馈确定反馈控制律,使 系统闭环稳定.利用极点配置的方法求反馈矩阵. 在Matlab中求得控制量一一z,因此闭环系统为: 一
(—B)z.
3结论
状态空间法也可应用于其它一些学科领域,如复 合材料结构力学,弹性力学,固体力学,尤其对多输 入,多输出问题有明显的优越性,这将在复杂系统动 态分析中有广泛的应用前景.
参考文献;
[1]谢克明.现代控制理论基础[M].北京:北京工业大学出 版社,1999.
Ez]沈鹏程.弹性力学的状态空间法EJ3.结构力学及弹性力 学教学与教材研究,1995(4):21—22.
RealizingtheControlforSystemUsingStateSpaceLaw
HELlan-yun,MENGjan-huan (DepartmentofEleetromeehanie,DezhouUniversity.Dezhou253015,China)
~stract:Thestatespacelawinmoderncontroltheoryissuitableforlinearandnonlinearproble
m.Thispaperestablishes
;tematicstateequationanditssolutionthroughstatespacetheory,realizesthecontrolforsystemusingstatespacelaw.Actual
culatingexampleshowsthatstatespacelawisaneffectivemethodtOanalyzethedynamicresponseofsystem.
ywords:controltheory;statespacemethod;dynamicresponse
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