函数奇偶性与周期性
函数的奇偶性和周期性
考试
要求
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1、判断函数的奇偶性、周期性.
2、利用函数的奇偶性、周期性求值.
典题精讲
板块一:函数的奇偶性
奇偶性 定 义 图像特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，偶函数 关于y轴对称
都有f(,x),f(x)，那么函数f(x)是偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，奇函数 关于原点对称
都有f(,x),,f(x)，那么函数f(x)是奇函数 注意:
1(判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称(定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件(
2(判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(,x),,f(x)，而不能说存在x使0f(,x),,f(x)、f(,x),f(x)( 0000
3(分段函数奇偶性判定时，f(,x),f(x)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整00
个定义域上的奇偶性是错误的(
题型:判断函数奇偶性
【例1】
对于定义在R上的函数f(x)，给出三个命题:
?若f(,2),f(2)，则f(x)为偶函数;
?若f(,2)?f(2)，则f(x)不是偶函数;
?若f(,2),f(2)，则f(x)一定不是奇函数(
其中正确命题的序号为________(
解析:根据偶函数的定义～对于定义域内的任意实数x～若f(,x),f(x)～则f(x)是偶函数(从而命题?正
确～命题?错误,对于常数函数～命题?错误(
【变式1】
2已知f(x),ax，bx是定义在[a,1,2a]上的偶函数，求a，b的值.
2解析:?f(x),ax，bx是定义在[a,1,2a]上的偶函数～
1?a,1，2a,0～?a,.又f(,x),f(x)～ 3
1?b,0～?a，b,. 3
题型二:利用函数奇偶性求值
【例2】 2已知y,f(x)，x是奇函数，且f(1),1.若g(x),f(x)，2，则g(,1),________.
2[解析]?y,f(x)，x是奇函数～且x,1时～y,2～?当x,,1时～y,,2～
2即f(,1)，(,1),,2～
得f(,1),,3～所以g(,1),f(,1)，2,,1.
【变式2】 2已知奇函数f(x)的定义域为[,2,2]，且在区间[,2,0]上递减，求满足f(1,m)，f(1,m)<0的实数m的取值
范围(
[解析]?f(x)的定义域为[,2,2]，
,,2?1,m?2，,,?解得,1?m?3.? 2 ,2?1,m?2，,,
又f(x)为奇函数，且在[,2,0]上递减，
?f(x)在[,2,2]上递减，
222?f(1,m)<,f(1,m),f(m,1)?1,m>m,1，即,2
0) f，x，
【例3】
3,,已知定义在R上的函数f(x)满足f(x),,fx，，且f(1),2，则f(2 014),________. ,,2
3,,[解析]?f(x),,fx，～ ,,2
333，，,,,,?f(x，3),fx，，,,fx，,f(x)( ，,,，,,222
?f(x)是以3为周期的周期函数(
则f(2 014),f(671×3，1),f(1),2.
【变式3】
12已知函数f(x)对任意的实数满足:f(x，3),,，且当,3?x<,1时，f(x),,(x，2)，当,1?x<3时，f，x，
f(x),x.则f(1)，f(2)，f(3)，…，f(2 014),________.
1[解析] ?对任意x?R～都有f(x，3),,～ f，x，
?f(x，6),f(x，3，3)
11,,,,,f(x)～ f，x，13，,f，x，
?f(x)是以6为周期的周期函数～?当,3?x<,1时～
2f(x),,(x，2)～
当,1?x<3时～f(x),x～
?f(1),1～f(2),2～f(3),f(,3),,1～
f(4),f(,2),0～
f(5),f(,1),,1～f(6),f(0),0.
?f(1)，f(2)，…，f(6),1～
?f(1)，f(2)，…，f(6),f(7)，f(8)，…，f(12),…,f(2 005)，f(2 006)，…，f(2 010),1～
2 010?f(1)，f(2)，…，f(2 010),1×,335. 6
而f(2 011)，f(2 012)，f(2 013)，f(2 014),f(1)，f(2)，f(3)，f(4),1，2,1，0,2～
?f(1)，f(2)，…，f(2 014),335，2,337.
板块三:函数奇偶性、周期性的综合应用
【例4】
2设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x，2),,f(x)(当x?[0,2]时，f(x),2x,x.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x?[2,4]时，求f(x)的解析式(
解:(1)证明:?f(x，2),,f(x)～
?f(x，4),,f(x，2),f(x)(
?f(x)是周期为4的周期函数(
(2)?x?[2,4]～?,x?[,4～,2]～?4,x?[0,2]～
22?f(4,x),2(4,x),(4,x),,x，6x,8. 又?f(4,x),f(,x),,f(x)～
2?,f(x),,x，6x,8～
2即f(x),x,6x，8～x?[2,4](
【变式4】
2,x，2x，x>0，,,0，x,0，已知函数f(x),是奇函数( ,
2 ,x，mx，x<0,
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[,1，a,2]上单调递增，求实数a的取值范围(
解:(1)设x<0～则,x>0～
22所以f(,x),,(,x)，2(,x),,x,2x. 又f(x)为奇函数～所以f(,x),,f(x)～
22于是x<0时～f(x),x，2x,x，mx～所以m,2. (2)要使f(x)在[,1～a,2]上单调递增～
,a,2>,1～,,结合f(x)的图像知 2?1～,a,,
所以1,a?3～故实数a的取值范围是(1,3](
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1、判断下列函数的奇偶性(
22x,x(1)f(x),1,x，x,1;(2)f(x),3,2x，2x,3;(3)f(x),3,3;
22,x，x，x>0，4,x,,(4)f(x),;(5)f(x), 2 |x，3|,3x,x，x<0.,,
2,x,1?0～,,解:(1)?由得x,?1～ 2 1,x?0～,,
?f(x)的定义域为{,1,1}(
又f(1)，f(,1),0～f(1),f(,1),0～ 即f(x),?f(,x)(
?f(x)既是奇函数又是偶函数(
,3,,,(2)?函数f(x),3,2x，2x,3的定义域为～不关于坐标原点对称～ ,,2?函数f(x)既不是奇函数～也不是偶函数( (3)?f(x)的定义域为R～
,xxx,x?f(,x),3,3,,(3,3),,f(x)～
所以f(x)为奇函数(
2,4,x?0～,,(4)?由得,2?x?2且x?0. |x，3|,3?0～,,
?f(x)的定义域为[,2,0)?(0,2]～
2224,x4,x4,x?f(x),,,～ |x，3|,3，x，3，,3x
?f(,x),,f(x)～?f(x)是奇函数(
2(5)易知函数的定义域为(,?～0)?(0～，?)关于原点对称～又当x>0时～f(x),x，x～则当x<0时～,x>0～
2故f(,x),x,x,f(x),
2当x<0时～f(x),x,x～则当x>0时～,x<0～
2故f(,x),x，x,f(x)～故原函数是偶函数(
2、已知函数y,f(x)是R上的偶函数，且在(,?，0]上是减函数，若f(a)?f(2)，求实数a的取值范围.
解析:?y,f(x)是R上的偶函数～且在(,?～0]上是减函数～
?函数y,f(x)在[0～，?)上是增函数(
?当a>0时～由f(a)?f(2)可得a?2～
<0时～由f(a)?f(2),f(,2)～可得a?,2. 当a
所以实数a的取值范围是(,?～,2]?[2～，?)(
3、已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，，?)上是增函数，且f(2),1，若f(x，a)?1对x?[,1,1]恒成立，则实数a的取值范围是________(
解析:由题意得,2?x，a?2对x?[,1,1]恒成立～即,2,x?a?2,x对x?[,1,1]恒成立(当x?[,1,1]时～(,2,x),,2,(,1),,1～(2,x),2,1,1～所以实数a的取值范围是[,1,1]( maxmin
5,,4、设f(x)是周期为2的奇函数，当0?x?1时，f(x),2x(1,x)，则f,,________. ,,2解析:?f(x)是周期为2的奇函数～
555,,,,,,?f,,,f,,f,2 ,,,,,,222
1111,,,,,,f,,2××1,,,. ,,,,2222
25、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x，2),,f(x)(当x?[0,2]时，f(x),2x,x. (1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x?[2,4]时，求f(x)的解析式;
(3)计算f(0)，f(1)，f(2)，…，f(2 011)(
[解析](1)证明 ?f(x，2),,f(x)～
?f(x，4),,f(x，2),f(x)(
?f(x)是周期为4的周期函数(
(2)解 ?x?[2,4]～?,x?[,4～,2]～
?4,x?[0,2]～
22?f(4,x),2(4,x),(4,x),,x，6x,8～又f(4,x),f(,x),,f(x)～
2?,f(x),,x，6x,8～
2即f(x),x,6x，8～x?[2,4](
(3)解 ?f(0),0～f(2),0～f(1),1～f(3),,1.又f(x)是周期为4的周期函数～
?f(0)，f(1)，f(2)，f(3),f(4)，f(5)，f(6)，f(7),…,f(2 008)，f(2 009)，f(2 010)，f(2 011),0. ?f(0)，f(1)，f(2)，…，f(2 011),0.
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x,x1、(2010?江苏
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)设函数f(x),x(e，ae)(x?R)是偶函数，则实数a的值为________(
x,xx,x解析:设g(x),x～h(x),e，ae～因为函数g(x),x是奇函数～则由题意知～函数h(x),e，ae为奇函
?h(0),0～解得a,,1. 数～又函数f(x)的定义域为R～
32、设函数f(x),xcos x，1.若f(a),11，则f(,a),________.
3333解析:观察可知～y,xcos x为奇函数～且f(a),acos a，1,11～故acos a,10.则f(,a),,a?cos a，1,,10，1,,9.
23、若函数f(x),x,|x，a|为偶函数，则实数a,________.
解析:法一:?f(,x),f(x)对于x?R恒成立～
?|,x，a|,|x，a|对于x?R恒成立～两边平方整理得ax,0对于x?R恒成立～故a,0.
法二:由f(,1),f(1)～得|a,1|,|a，1|得a,0.
4、设定义在[,2,2]上的偶函数f(x)在区间[,2,0]上单调递减，若f(1,m)
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