高中数学微积分和定积分

高中数学微积分和定积分 篇一:高中数学~定积分和微积分基本原理 高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? ? [ 高三数学] 题型:单选题 由曲线y=x，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为( ) A. 1016 B. 4 C. D. 6 33 问题症结:大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析 考查知识点: ? ? 定积分在几何中的应用 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程: ?y?x ,得到两曲线的交点坐标为(4，2)联立方程组?， ?y?x?2 1 因此曲线y=x，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为: ? 4 [x?(x?2)]dx? 16. 3 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 :C 规律方法: 首先求出曲线y=系求解( 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? ? [ 高一数学] 题型:简答题 和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关 曲线y=sinx(0?x?π)与直线y=?围成的封闭图形面积是, 问题症结:找不到突破口，请老师帮我理一下思路 考查知识点: ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程: 规律方法: 利用定积分的知识求解。 2 知识点:定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点: [导数及其应用] 包含次级知识点: 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。 常见考法 本节在段考中常以选择题、填空题和解答题的形式考查利用定积分的几何意义和微积分基本原理求面积，一般属于中档题。在高考中一般以选择题、填空题的形式考查利用定积分的几何意义和微积分基本原理求面积，有时也不考查。 误区提醒 篇二:高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解 3 高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解 一、选择题 x 1((2010?山东日照模考)a,?xdx，b,e???dx，c,??sinxdx，则a、b、c的大小关系是 2 2 2 ( ) A(a<c<b C(c<b<a [答案] D 12222x2x222[解析] a,?xdx,x|0,2，b,?edx,e|0,e,12，c,?sinxdx,,cosx|0,1?0?0?02,cos2?(1,2)， ?c<a<b. 2((2010?山东理，7)由曲线y,x2，y,x3围成的封闭图形面积为( ) A.1 12 1B. 4 1C.3 D.7 12 B(a<b<c D(c<a<b [答案] A 4 2 ??y,x [解析] 由?3得交点为(0,0)，(1,1)( ?y,x?123?1x314??01,1?S,?(x,x)dx,?0?34??12 [点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题: (2010?湖南师大附中)设点P在曲线y,x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP，直线y,x2及直线x,2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1,S2时，点P的坐标是( ) 416A.??3，9 415C.??3，7 [答案] A t22[解析] 设P(t，t)(0?t?2)，则直线OP:y,tx，?S1,?(tx,x)dx,S2,?(x,?0?t6 2 t 2 3 416? B.??59? 413?D.??57? 8t4416 tx)dx,,2t，，若S1,S2，则t，?P??. 5 ?39?363 3(由三条直线x,0、x,2、y,0和曲线y,x3所围成的 图形的面积为( ) A(4 4 B. 3 C.18 5 D( 6 3 [答案] A x4?2 [解析] S,??0xdx,4?0,4. 23 14((2010?湖南省考试院调研)??,1(sinx，1)dx的值为 ( ) A(0 B(2 D(2,2cos1 C(2，2cos1[答案] B 11[解析] ??,1(sinx，1)dx,(,cosx，x)|,1,(,cos1，1) ,(,cos(,1),1),2. 5(曲线y,cosx(0?x?2π)与直线y,1所围成的图形面积 6 是( ) A(2π C.3π 2 B(3π D(π [答案] A [解析] 如右图， S,?0(1,cosx)dx ,(x,sinx)|02π,2π. [点评] 此题可利用余弦函数的对称性????面积相等解决，但若把积分区间改为 2π ?ππ?，则对称性就无能为力了( ?6? 6(函数F(x),??t(t,4)dt在[,1,5]上( ) 0x A(有最大值0，无最小值 32B(有最大值0和最小值, 332 C(有最小值,，无最大值 3D(既无最大值也无最小值 [答案] B [解析] F′(x),x(x,4)，令F′(x),0，得x1,0，x2,4， 73225 ?F(,1)F(0),0，F(4)F(5)33332 ?最大值为0，最小值为,. 3 [点评] 一般地，F(x),?φ(t)dt的导数F′(x),φ(x)( ?0 7 x x12 7(已知等差数列{an}的前n项和Sn,2n，n，函数f(x),??1tt，若f(x)<a3，则x 的取 值范围是( ) A.?，，?? ?6?C((e,11，e)[答案] D x1x11[解析] f(x),?dt,lnt|1,lnx，a3,S3,S2,21,10,11，由lnx<11得，0<x<e. ?1t B((0，e21) D((0，e11) 8((2010?福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y,sinx(0?x?π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点 (该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( ) 1A.π 2B. π 3C.π πD. 4 [答案] A [解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积(由题意得S,?sinxdx,,cosx|0π,,(cosπ,cos0) 8 ,2，再根据几何概型的算法易知所求概率P,212ππ x，2?,2?x<0??? 9((2010?吉林质检)函数f(x),?π的图象与x轴所围成的图形面积S为 ??2cosx?0?x2( ) 3 A.2 B(1 C(4 1D. 2 S ?0 π , S矩形OABC [答案] C ππ0 [解析] 面积S,?2f(x)dx,?,2(x，2)dx，2cosxdx,2，2,4. ?220 10((2010?沈阳二十中)设函数f(x),x,[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[,1.2]x ,,2，[1.2],1，[1],1.又函数g(x)，f(x)在区间(0,2)上 9 零点的个数记为m，f(x)与g(x) 3的图象交点的个数记为n，则?g(x)dx的值是( ) ?m n 5A(, 2 4B(, 3 5C(, 4[答案] A 7D(,6 [解析] 由题意可得，当0<x<1时，[x],0，f(x),x，当1?x<2时，[x],1，f(x),x,1，所以当x?(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，xx45所以m,1，n,4，则?g(x)dx,??,dx,,?1?m?1?36?2 n 4 2 11((2010?江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下:甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为 10 c(b、c可以相等)，若关于x的方程x，2bx，c,0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( ) 1 A.3 2B. 3 1C.2 3D. 4 2 [答案] A [解析] 方程x2，2bx，c,0有实根的充要条件为Δ,4b2,4c?0，即b2?c， 12??0bdb1 由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p, 1×1 3 12((2010?吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y,x2(x?0)与x轴，直线x,1构成区域M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M内的概率是( ) 1A.21C. 3 1B. 42D.5 [答案] C 11 2 [解析] 如图，正方形面积1，区域M的面积为S,?x ?dx 01 111,3|01,，故所求概率p,. 333 二、填空题 1 13((2010?芜湖十二中)已知函数f(x),3x2，2x，1，若?? ,1f(x)dx,2f(a)成立，则a, ________. 1[答案] ,13 [解析] ???,1f(x)dx,??,1(3x，2x，1)dx,(x，x，x)| ,1,4，??,1f(x)dx,2f(a)，?6a，4a，2,4， 2 1 1 2 3 2 1 1 1 12 ?a,,1或3 π1 14(已知a,?0(sinx，cosx)dx，则二项式(a)6的展开式中含x2项的系数是 2________( [答案] ,192 ππππ [解析] 由已知得a,?0(sinx，cosx)dx,(,cosx，sinx)|0,(sin,cos),(sin0,cos0) 2222,2， (2, 1 )的展开式中第r，1项是Tr，1,(,1)×C6×2 6 r r 6,r ×x 3,r ，令3,r,2得，r,1， 故其系数为(,1)1×C61×25,,192. 15(抛物线y,2x与直线y,4,x围成的平面图形的面积 13 为________( [答案] 18 2 ??y,2xy2 [解析] 由方程组?解得两交点A(2,2)、B(8，,4)，选y作 为积分变量x2?y,4,x? 2 x,4,y y2y2y32 ?S,??,4[(4,y),2]dy,(4y,26 ,4,18. 2 416((2010?安徽合肥质检)抛物线y2,ax(a0)与直线x,1 围成的封闭图形的面积为， 3若直线l与抛物线相切且平行于直线2x,y，6,0，则l 的方程为______( [答案] 16x,8y，1,0 [解析] 由题意知? ?0 1 2 dx,a,1， 3 篇三:高中数学定积分知识点 14 数学选修2-2知识点总结 一、导数 1(函数的平均变化率为 f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f ?? ??x?xx2?x1?x 注1:其中?x是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数y?f(x)在x?x0处的瞬时变化率是lim f(x0??x)?f(x0)?y ，则?lim ?x?0?x?x?0?x 称函数y?f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做y?f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或 y'|x?x0，即f'(x0)=lim f(x0??x)?f(x0)?y . ?lim ?x?0?x?x?0?x 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率; 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度; 6、常见的导数和定积分运算公式:若f?x?，g?x?均可导(可 15 积)，则有: 用导数求函数单调区间的步骤: ?求函数f(x)的导数f'(x) ?令f'(x)0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ?令f'(x)<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间; [注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数f'(x) (3)求方程f'(x)=0 的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 ，检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如 果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求f(x)在?a,b?上的最大值与最小值的步骤如下: ?求f(x)在?a,b?上的极值; ?将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点; 9(求曲边梯形的思想和步骤 (“以直代曲”的思想) 16 10.定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质: 性质 1 ?1dx?b?a a ba b b b b b 性质5 若f(x)?0,x??a,b?，则?f(x)dx?0 ?推 广:?[f1(x)?f2(x)???fm(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx????fm(x) a a a a ?推广:?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx????f(x)dx a a c1 17 ck b c1c2 b 11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0. ( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积; (2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数; (3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x 轴 上方图形的面积减去下方的图形的面积( 12(物理中常用的微积分知识(1)速度的导数为加速度。(2)力的积分为功。 二、推理与证明知识点 13.归纳推理的定义: 从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 (((((((归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 14.归纳推理的思维过程大致如图: 15.归纳推理的特点: 18 ?归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。 ?由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。 ?归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。 16.类比推理的定义: 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 17.类比推理的思维过程 18.演绎推理的定义: 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 19(演绎推理的主要形式:三段论 20.“三段论”可以表示为:?大前题:M是P?小前提:S是M ?结论:S是P。 其中?是大前提，它提供了一个一般性的原理;?是小前提，它指出了一个特殊对象;?是结论，它是根据一般性原 19 理，对特殊情况做出的判断。 21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。 要注意叙述的形式:要证 A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 24反证法:是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 25.反证法的一般步骤 (1)假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立; (2)从假设出发，经过推理论证，得出矛盾; (3)从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。 26 27.反证法的思维方法:正难则反 (((( 28.归缪矛盾 (1)与已知条件矛盾: (2)与已有公理、定理、定义矛盾; (3)自相矛盾( 20 29有关的数学命题)的步骤 ? nn?N(1)证明:当n??时命题成立; 00(2)假设当n=k (k?N*，且k?n0)时命题成立，证明当时命题也成立. 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确 注]:常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。 三、数系的扩充和复数的概念知识点 30.复数的概念:形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫实部， b叫虚部，数(((( 集C??a?bi|a,b?R?叫做复数集。 规定:a?bi?c?di?a=c且， 强调:两复数不能比较大小，只有相等或不相等。 ?实数 (b?0)? 31(数集的关系:复数Z???一般虚数(a?0) 虚数 ()?? ??纯虚数(a?0)? 32.复数的几何意义:复数与平面内的点或有序实数对一一对应。 33.复平面:根据复数相等的定义，任何一个复数z?a?bi，都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定。 由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平 21 面， 22