2012年高考试题汇编——文科数学：导数

2012高考试题分类汇编：导数 一、选择题 1.【2012高考重庆文8】设函数 在 上可导，其导函数 ，且函数 在 处取得极小值，则函数 的图象可能是 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】C 【解析】由函数 在 处取得极小值可知 ， ，则 ； ， 则 时 ， 时 ,选C. 2.【2012高考浙江文10】设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数 A. 若ea+2a=eb+3b，则a＞b B. 若ea+2a=eb+3b，则a＜b C. 若ea-2a=eb-3b，则a＞b D. 若ea-2a=eb-3b，则a＜b 【答案】A 【解析】若 ，必有 ．构造函数： ，则 恒成立，故有函数 在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除． 3.【2012高考陕西文9】设函数f（x）= +lnx 则    （    ） A．x= 为f(x)的极大值点                  B．x= 为f(x)的极小值点 C．x=2为 f(x)的极大值点                  D．x=2为 f(x)的极小值点 9.【答案】D. 【解析】 ，令 ，则 ，当 时 ，当 时 ，所以 为 极小值点，故选D. 4.【2012高考辽宁文8】函数y= x2 ㏑x的单调递减区间为 （A）（ 1,1]          （B）（0,1]  （C.）[1，+∞）      （D）（0，+∞） 【答案】B 【解析】 故选B 【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。 5.【2102高考福建文12】已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论： ①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0. 其中正确结论的序号是 A.①③    B.①④    C.②③    D.②④ 12.【答案】C． 【解析】 ，令 则 或 ，当 时 ；当 时 ；当 时 ， 所以 时 有极大值，当 时 有极小值， 函数 有三个零点， ，且 ，又 ， ，即 ，因此 ， .故选C. 6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4， 2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为 (A) 1          (B) 3          (C) 4          (D) 8 【答案】C 【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4， 2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由 所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4， 2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为 联立方程组解得 故点A的纵坐标为 4 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。 二、填空题 7.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3lnx+1)在点 处的切线方程为________ 【答案】 【解析】函数的导数为 ，所以在 的切线斜率为 ，所以切线方程为 ，即 . 8..【2012高考上海文13】已知函数 的图像是折线段 ，其中 、 、 ，函数 （ ）的图像与 轴围成的图形的面积为          【答案】 。 【解析】 ，∴ ∴围成的面积 = + = 。 三、解答题 9.【2102高考北京文18】（本小题共13分） 已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值； 当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。 【答案】 10.【2012高考江苏18】（16分）若函数 在 处取得极大值或极小值，则称 为函数 的极值点。 已知 是实数，1和 是函数 的两个极值点． （1）求 和 的值； （2）设函数 的导函数 ，求 的极值点； （3）设 ，其中 ，求函数 的零点个数． 【答案】解：（1）由 ，得 。 ∵1和 是函数 的两个极值点， ∴ ， ，解得 。 （2）∵ 由（1）得， ， ∴ ，解得 。 ∵当 时， ；当 时， ， ∴ 是 的极值点。 ∵当 或 时， ，∴ 不是 的极值点。 ∴ 的极值点是－2。 （3）令 ，则 。 先讨论关于 的方程 根的情况： 当 时，由（2 ）可知， 的两个不同的根为I 和一2 ，注意到 是奇函数，∴ 的两个不同的根为一和2。 当 时，∵ ， ， ∴一2 , －1，1 ，2 都不是 的根。 由（1）知 。 ① 当 时， ，于是 是单调增函数，从而 。 此时 在 无实根。 ② 当 时． ，于是 是单调增函数。 又∵ ， ， 的图象不间断， ∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。 同理， 在（一2 ，一I ）内有唯一实根。 ③ 当 时， ，于是 是单调减两数。 又∵ ， ， 的图象不间断， ∴ 在（一1，1 ）内有唯一实根。 因此，当 时， 有两个不同的根 满足 ；当 时 有三个不同的根 ，满足 。 现考虑函数 的零点： ( i ）当 时， 有两个根 ，满足 。 而 有三个不同的根， 有两个不同的根，故 有5 个零点。 ( 11 ）当 时， 有三个不同的根 ，满足 。 而 有三个不同的根，故 有9 个零点。 综上所述，当 时，函数 有5 个零点；当 时，函数 有9 个零点。 【考点】函数的概念和性质，导数的应用。 【解析】（1）求出 的导数，根据1和 是函数 的两个极值点代入列方程组求解即可。 （2）由（1）得， ，求出 ，令 ，求解讨论即可。 （3）比较复杂，先分 和 讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数 的零点。 11.【2012高考天津文科20】（本小题满分14分） 已知函数 ，x 其中a>0. （I）求函数 的单调区间； （II）若函数 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围； （III）当a=1时，设函数 在区间 上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间 上的最小值。 【答案】 12.【2012高考广东文21】（本小题满分14分） 设 ，集合 ， ， . （1）求集合 （用区间表示） （2）求函数 在 内的极值点. 【答案】 【解析】（1）令 ， 。 ① 当 时， ， 方程 的两个根分别为 ， ， 所以 的解集为 。 因为 ，所以 。 ② 当 时， ，则 恒成立，所以 ， 综上所述，当 时， ； 当 时， 。 （2） ， 令 ，得 或 。 ① 当 时，由（1）知 ， 因为 ， ， 所以 ， 所以 随 的变化情况如下表： 0 ↗ 极大值 ↘ ↗           所以 的极大值点为 ，没有极小值点。 ② 当 时，由（1）知 ， 所以 随 的变化情况如下表： 0 0 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗             所以 的极大值点为 ，极小值点为 。 综上所述，当 时， 有一个极大值点 ，没有极小值点； 当 时， 有一个极大值点 ，一个极小值点 。 13.【2102高考福建文22】（本小题满分14分） 已知函数 且在 上的最大值为 ， （1）求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。 【答案】 14.【2012高考四川文22】(本小题满分14分) 已知 为正实数， 为自然数，抛物线 与 轴正半轴相交于点 ，设 为该抛物线在点 处的切线在 轴上的截距。 （Ⅰ）用 和 表示 ； （Ⅱ）求对所有 都有 成立的 的最小值； （Ⅲ）当 时，比较 与 的大小，并说明理由。 命题立意：本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想 【答案】 【解析】 15.【2012高考湖南文22】本小题满分13分） 已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.[@#中国^教育出版&网~] （1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；[z （2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x10时，(x－k) f′(x)+x+1>0，求k的最大值 【答案】 17.【2012高考重庆文17】（本小题满分13分）已知函数 在 处取得极值为 （1）求a、b的值；（2）若 有极大值28，求 在 上的最大值． 【解析】（Ⅰ）因 故   由于 在点 处取得极值 故有 即 ，化简得 解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知  ， 令 ，得 当 时， 故 在 上为增函数； 当 时， 故 在 上为减函数 当 时 ，故 在 上为增函数。 由此可知 在 处取得极大值 ， 在 处取得极小值 由题设条件知 得 此时 ， 因此 上 的最小值为 18.【2012高考湖北文22】（本小题满分14分） 设函数 ，n为正整数，a,b为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方程为x+y=1. （1）求a,b的值； （2）求函数f(x)的最大值 （3）证明：f(x)< . 【答案】 【解析】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有 等的函数求导的运算及其应用考查. 19.【2012高考安徽文17】（本小题满分12分） 设定义在（0，+ ）上的函数 （Ⅰ）求 的最小值； （Ⅱ）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值。 【解析】（ ）（方法一） ， 当且仅当 时， 的最小值为 。 （ ）由题意得： ，  ，  由 得： 。 20.【2012高考江西文21】（本小题满分14分） 已知函数f(x)=（ax2+bx+c）ex在 上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0. （1）求a的取值范围； （2）设g(x)= f(-x)- f′(x)，求g(x)在 上的最大值和最小值。 【答案】 【解析】 21.【2012高考辽宁文21】(本小题满分12分) 设 ，证明： (Ⅰ)当x﹥1时， ﹤ （ ） (Ⅱ)当 时， 【答案】 22.【2012高考浙江文21】（本题满分15分）已知a∈R，函数 （1）求f(x)的单调区间 （2）证明：当0≤x≤1时，f(x)+ ＞0. 【答案】 【解析】（1）由题意得 ， 当 时， 恒成立，此时 的单调递增区间为 . 当 时， ，此时函数 的单调递增区间为 . (2)由于 ，当 时， . 当 时， . 设 ，则 . 则有 0 1   - 0 +   1 减 极小值 增 1             所以 . 当 时， . 故 . 23.【2012高考全国文21】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数 （Ⅰ）讨论 的单调性； （Ⅱ）设 有两个极值点 ，若过两点 ， 的直线 与 轴的交点在曲线 上，求 的值。 24.【2012高考山东文22】 (本小题满分13分) 已知函数 为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线 在点 处的切线与x轴平行. (Ⅰ)求k的值； (Ⅱ)求 的单调区间； (Ⅲ)设 ，其中 为 的导函数.证明：对任意 . 【答案】(I) ， 由已知， ，∴ . (II)由(I)知， . 设 ，则 ，即 在 上是减函数， 由 知，当 时 ，从而 ， 当 时 ，从而 . 综上可知， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . (III)由(II)可知，当 时， ≤0＜1+ ，故只需证明 在 时成立. 当 时， ＞1，且 ，∴ . 设 ， ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 所以当 时， 取得最大值 . 所以 . 综上，对任意 ， . 25.【2012高考陕西文21】 （本小题满分14分） 设函数 （1）设 ， ，证明： 在区间 内存在唯一的零点； （2）设n为偶数， ， ，求b+3c的最小值和最大值； （3）设 ，若对任意 ，有 ，求 的取值范围； 【答案】 【解析】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力，难度较大。