2012高考数学新
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
分类汇编 数列(高考真题 模拟新题)
2012高考数学新题分类汇编 数列(高考真题+模拟新题)
,,2n,,nn，课标文数17.D1[2011?浙江卷] 若数列中的最大项是第k项，则k,________. 3,,
课标文数17.D1[2011?浙江卷] 4 【解析】 设最大项为第k项，则有
22,,,,kk，1kk，k，k，，,,,,,,33,,,, ,22,,,,,1kk kk，k,k，，,,,,,,33,,,,
2,?10或?,10，k?10，kk,,,?,4. ? ?k,2 ,2,9?0,kk,,1,10?k?1，10
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课标文数20.D2，A2[2011?北京卷] 若数列A:a，a，„，a(n?2)满足|a,a|,1(kn12nk，1k
,1,2，„，n,1)，则称A为E数列(记S(A),a，a，„，a. nn12n(1)写出一个E数列A满足a,a,0; 513
(2)若a,12，n,2000，证明:E数列A是递增数列的充要条件是a,2011; 1nn(3)在,4的数列中，求使得(),0成立的的最小值( aEASAn1nn
课标文数20.D2，A2[2011?北京卷] 【解答】 (1)0,1,0,1,0是一个满足条件的E数列A. 5
(
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
不唯一，0，,1,0,1,0;0，?1,0,1,2;0，?1,0，,1，,2;0，?1,0，,1,0都是
满足条件的数列) EA5
(2)必要性:因为E数列A是递增数列， n
所以a,a,1(k,1,2，„，1999)( k，1k
是首项为12，公差为1的等差数列( 所以An
所以,12，(2000,1)×1,2011， a2000
充分性:由于a,a?1. 20001999
a,a?1. 19991998
„„
a,a?1. 21
所以a,a?1999，即a?a，1999. 2000120001
又因为a,12，a,2011. 12000
所以a,a，1999. 20001
故a,a,1>0(k,1,2，„，1999)，即E数列A是递增数列( k，1kn
综上，结论得证(
(3)对首项为4的E数列A，由于 n
a?a,1,3， 21
a?a,1?2， 32
„„
a?a,1?,3， 87
„„
所以a，a，„，a>0(k,2,3，„，8)( 12k
所以对任意的首项为4的E数列A，若S(A),0，则必有n?9. nn
又a,4的E数列A:4,3,2,1,0，,1，,2，,3，,4满足S(A),0， 199所以n的最小值是9.
大纲理数4.D2[2011?全国卷] 设S为等差数列{a}的前n项和，若a,1，公差d,2，Snn1k，2
,S,24，则k,( ) k
A(8 B(7 C(6 D(5
大纲理数4.D2[2011?全国卷] D 【解析】 ?,,，,2，(2，1),4，4，SSaaakdkk，2kk，1k，21
?4k，4,24，可得k,5，故选D.
11大纲理数20.D2，D4[2011?全国卷] 设数列{a}满足a,0且,,1. n11,a1,an，1n(1)求{a}的通项公式; n
na1,n，1(2)设b,，记S,b，证明:S,1. nnkn,nk,1
11大纲理数20.D2，D4[2011?全国卷] 【解答】 (1)由题设,,1， 1,a1,an，1n,,1,,即是公差为1的等差数列( 1,an,,
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11又,1，故,n. 1,a1,a1n
1所以a,1,. nn
(2)证明:由(1)得
an，1,n1,11n，1b,,,,， nn，1?nnn，1n
nn111,,,?,?,1,<1. Sb,?nk,,,1,1kkkk，1,,n，1
大纲文数6.D2[2011?全国卷] 设为等差数列{}的前项和，若,1，公差,2，SanadSnn1k，2
,S,24，则k,( ) k
A(8 B(7
C(6 D(5
大纲文数6.D2[2011?全国卷] D 【解析】 ?S,S,a，a,2a，(2k，1)d,4k，4，k，2kk，1k，21
?4k，4,24，可得k,5，故选D.
x课标理数10.M1，D2，B11[2011?福建卷] 已知函数f(x),e，x.对于曲线y,f(x)上横坐标
成等差数列的三个点A、B、C，给出以下判断:
??ABC一定是钝角三角形;
??ABC可能是直角三角形;
??ABC可能是等腰三角形;
??ABC不可能是等腰三角形(
其中，正确的判断是( )
A(?? B(??
C(?? D(??
课标理数10.M1，D2，B11[2011?福建卷] B 【解析】 解法一:(1)设A、B、C三点的横坐
标分别为x，x，x(x
0，
? f(x)在(,?，，?)上是增函数，
x，xfx，fx1313? f(x)0,0<φ<π)在x,处取得最大值，且最大值为a，求函36
数f(x)的解析式( 3a,313131课标数学16.D3，C4[2011?福建卷] 【解答】 (1)由,3，,得 qS,，解331,33
1得a,. 13
1n,1n,2所以,×3,3. an3n,2(2)由(1)可知a,3，所以a,3. n3
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因为函数f(x)的最大值为3，所以A,3;
π因为当x,时f(x)取得最大值， 6
π,,2×，φ所以sin,1. ,,6,,
π又0<φ<π，故φ,. 6
π,,2x，所以函数f(x)的解析式为f(x),3sin. ,,6,,
课标文数16.D3[2011?福建卷] 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据
商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0a，b,a?0， 22?,1,，xx，即xx,1,0，
,1?5解得 x,， 2
,1，5因为00)，b,a,1，111nn,,2，,,3. baba2233
(1)若a,1，求数列{a}的通项公式; n
(2)若数列{a}唯一，求a的值( n
课标理数18.D3[2011?江西卷] 【解答】 (1)设{}的公比为，则,1，,2，,2，aqbabaqn1222,2，q，b,3，aq,3，q， 322由b，b，b成等比数列得(2，q),2(3，q)， 1232即,,2,2q4q，2,0，解得q，2，q,2， 12n,1n,1{}的通项公式为,(2，2)或,(2,2). 所以aaannn222(2)设{a}的公比为q，则由(2，aq),(1，a)(3，aq)，得aq,4aq，3a,1,0，(*) n2由a,0得Δ,4a，4a,0，故方程(*)有两个不同的实根，
1由{a}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a,. n3
n课标文数5.D3[2011?辽宁卷] 若等比数列{a}满足aa,16，则公比为( ) nnn，1A(2 B(4 C(8 D(16
aann，1nn,1课标文数5.D3[2011?辽宁卷] B 【解析】 由于aa,16，又aa,16，所以,nn，1n,1naan,1n2nq,16，又由aa,16知a>0，所以q,4. nn，1n
11课标文数17.D2，D3[2011?课标全国卷] 已知等比数列{a}中，a,，公比q,. 1n33
a1,n(1)S为{a}的前n项和，证明:S,; nnn2
(2)设b,loga，loga，„，loga，求数列{b}的通项公式( n31323nn
111,,n,1课标文数17.D2，D3[2011?课标全国卷] 【解答】 (1)因为a,×,， n,,n333,,
111,,1,1,n,,n333,,S,,， n211,3
a1,n所以S,. n2
(2)b,loga，loga，„，loga n31323n
,,(1，2，„，n)
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nn，,,. 2
nn，所以{b}的通项公式为b,,. nn2
大纲文数9.D3[2011?四川卷] 数列{}的前项和为，若,1，,3(?1)，则anSaaSnann1n，1n6,( ) 44A(3×4 B(3×4，1 44C(4 D(4，1
大纲文数9.D3[2011?四川卷] A 【解析】 由a,3S?S,S,3S?S,4S，所以数n，1nn，1nnn，1nn,1544列{S}是首项为1，公比为4的等比数列，所以S,4，所以a,S,S,4,4,3×4，所以选nn665择A.
大纲理数11.D2[2011?重庆卷] 在等差数列{a}中，a，a,37，则a，a，a，a,________. n372468
大纲理数11.D2[2011?重庆卷] 74 【解析】 由a，a,37，得(a，2d)，(a，6d),37，3711
，8,37.?，，，,(，)，(，3)，(，5)，(，7),2(2，8),74. 即2adaaaaadadadadad1246811111
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n课标文数7.D4[2011?安徽卷] 若数列{a}的通项公式是a,(,1)(3n,2)，则a，a，„，nn12a,( ) 10
A(15 B(12
C(,12 D(,15
课标文数7.D4[2011?安徽卷] A 【解析】 ，，„，,,1，4,7，10，„，(,aaa1210109101)?(3×10,2),(,1，4)，(,7，10)，„，[(,1)?(3×9,2)，(,1)?(3×10,2)],3×5,15.
课标文数21.D3，D4[2011?安徽卷] 在数1和100之间插入n个实数，使得这n，2个数构成递增的等比数列，将这n，2个数的乘积记作T，再令a,lgT，n?1. nnn
求数列{}的通项公式; (1)an
(2)设,tan?tan，求数列{}的前项和. baabnSnnn，1nn
课标文数21.D3，D4[2011?安徽卷] 本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力(
【解答】 (1)设，，„，构成等比数列，其中,1，,100，则 ttttt12n，21n，2
T,t?t?„?t?t，? n12n，1n，2
T,t?t?„?t?t.? nn，2n，1212?×?并利用tt,tt,10(1?i?n，2)，得 in，3,i1n，222(n，2)T,(tt)?(tt)?„?(tt)?(tt),10， n1n，22n，1n，12n，21
?a,lgT,n，2，n?1. nn
(2)由题意和(1)中计算结果，知
b,tan(n，2)?tan(n，3)，n?1. n
tank，1,tank另一方面，利用tan1,tan[(k，1),k],. 1，tank，1?tank
k，1,tanktan得tan(k，1)?tank,,1. tan1nn，2
所以 S,? b,?tan(k，1)?tank nkk,1k,3n，2k，,tankn，,tan3，，,1,? ,n. ,,,k,3tan1tan1，，
课标理数18.D3，D4[2011?安徽卷]
在数1和100之间插入n个实数，使得这n，2个数构成递增的等比数列，将这n，2个数的乘积记作T，再令a,lgT，n?1. nnn
(1)求数列{a}的通项公式; n
(2)设b,tana?tana，求数列{b}的前n项和S. nnn，1nn
课标理数18.D3，D4[2011?安徽卷] 【解析】 本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，运算求解能力和创新思维能力(
【解答】 (1)设t，t，„，t构成等比数列，其中t,1，t,100，则 12n，21n，2
T,t?t?„?t?t，? n12n，1n，2
T,t?t?„?t?t，? nn，2n，1212?×?并利用,,10(1??，2)，得 ttttin，3,1，2inin22(n，2)(T,(tt)?(tt)?„?(tt)?(tt),10 n1n，22n，1n，12n，21
?a,lgT,n，2，n?1. nn
(2)由题意和(1)中计算结果，知
,tan(，2)?tan(，3)，?1， bnnnn
另一方面，利用
k，,tanktan1,tan[(k，1),k],， 1，k，k
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k，1,tanktan得tan(k，1)?tank,,1. tan1
nn，2
所以S,b,tan(k，1)?tank nk,,k,1k,3
n，2k，,tank，，,1, ,,,tan1，，k,3
n，,tan3,,n. tan1
11大纲理数20.D2，D4[2011?全国卷] 设数列{a}满足a,0且,,1. n11,a1,a，1nn(1)求{a}的通项公式; n
na1,n，1(2)设b,，记S,b，证明:S,1. nnkn,nk,1
11大纲理数20.D2，D4[2011?全国卷] 【解答】 (1)由题设,,1， 1,a1,an，1n,,1,,即是公差为1的等差数列( 1,an,,
11又,1，故,n. 1,a1,a1n
1所以a,1,. nn
(2)证明:由(1)得
1,an，1,n11n，1b,,,,， nn，1?nnn，1n
nn111,,,?S,?b,?,1,<1. kn,,,1,1kkkk，1,,n，1
课标文数20.D4[2011?湖南卷] 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的
价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7
年开始，每年初M的价值为上年初的75%.
(1)求第n年初M的价值a的表达式; n
a，a，„，a12n(2)设A,.若A大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新(证nnn
明:须在第9年初对M更新(
课标文数20.D4[2011?湖南卷] 【解答】 (1)当n?6时，数列{a}是首项为120，公差为,n
10的等差数列(
a,120,10(n,1),130,10n; n
33,,n,6当n?6时，数列{a}是以a为首项，公比为的等比数列，又a,70，所以a,70×. n66n,,44,,
因此，第年初，的价值的表达式为 nMan
130,10n，n?6，,,a, ,n3,,n,6 70×，n?7.,,,4,,,
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(2)设S表示数列{a}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得 nn
当1?n?6时，S,120n,5n(n,1)， n
A,120,5(n,1),125,5n; n
当n?7时，由于S,570，故 6
333，,,，,,,6,6nnS,S，(a，a，„，a),570，70××4×1,,780,210×， 678nn,,,,,,444，,,，,,
3,,n,6780,210×,,4,,A,， nn
因为{a}是递减数列，所以{A}是递减数列(又 nn
3,,2780,210×,,4,,47,A,82>80， 8864
3,,3780,210×,,4,,79A,,76<80， 9996
所以须在第9年初对更新( M
课标理数5.D4[2011?江西卷] 已知数列{a}的前n项和S满足:S，S,S，且a,1.那nnnmn，m1
么a,( ) 10
A(1 B(9
C(10 D(55
课标理数5.D4[2011?江西卷] A 【解析】 方法一:由S，S,S，得S，S,S， nmn，m1910
?a,S,S,S,a,1，故选A. 1010911
方法二:
?S,a，a,2S，?a,1， 21212
?S,S，S,3，?a,1， 3123
?S,S，S,4，?a,1， 4134
由此归纳a,1，故选A. 10
课标理数17.D4[2011?辽宁卷] 已知等差数列{a}满足a,0，a，a,,10. n268(1)求数列{a}的通项公式; n
,,an,,(2)求数列的前n项和( n,12,,
课标理数17.D4[2011?辽宁卷] 【解答】 (1)设等差数列{a}的公差为d，由已知条件可得n
,,a，d,0，a,1，11,,,,解得 2a，12d,,10.d,,1.,,1,,
故数列{a}的通项公式为a,2,n. nn
,,anaa2n,,(2)设数列的前n项和为S，即S,a，，故S,1， ，„，n,1nn11n,1222,,
Saaa12nn,，，„，. n2242
所以，当n,1时，
Sa,aa,aan21nn,1na，, ,，„，1n,1n2222
1112,n,,，，„，,1,, n,1,,n2422,,
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1n2,,,1,,1,, n,1,,n22,,
n,， n2
n所以S,. n,1n2
,,ann,,综上，数列的前n项和S,. n,1n,1n22,,
课标理数14.D4[2011?陕西卷] 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(米)( ((
课标理数14.D4[2011?陕西卷] 2000 【解析】 树苗放在10或11号坑，则其余的十九人
，，，×2，100一次走过的路程为90,80,70,60，„，80,90,100，则和为s,×2,2000，,,2，，若放在11号坑，结果一样(
课标理数19.B11，D4[2011?陕西卷]
图1,11 x(0,0)作(0,1)，曲线在点处的切线与如图1,11，从点Px轴的垂线交曲线y,e于点QQx111轴交于点P.现从P作x轴的垂线交曲线于点Q，依次重复上述过程得到一系列点:P，Q;P，222112Q;„;P，Q，记P点的坐标为(x0)(k,1,2，„，n)( 2nnkk,
(1)试求的关系(2?x与xk?n); kk,1
(2)求|PQ|，|PQ|，|PQ|，„，|PQ|. 112233nn
课标理数19.B11，D4[2011?陕西卷] 【解答】 x(1)设P(x0)，由y′,e得Q(x，ex)点处切线方程为y,ex,ex(x,x)， k,1k,1,k,1k,1k,1k,1k,1k,1
由y,0得x,x,1(2?k?n)( kk,1
(2)由x,0，x,x,,1，得x,,(k,1)， 1kk,1k,(k,1)所以|PQ|,ex,e，于是 kkk
S,|PQ|，|PQ|，|PQ|，„，|PQ| n112233nn,n1,n1,ee,e,1,2,(n,1),1，e，e，„，e,,. ,11,ee,1
课标文数10.D4[2011?陕西卷] 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )
A(?和? B(?和?
C(?和? D(?和?
课标文数10.D4[2011?陕西卷] D 【解析】 从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边，则每个人所走的路程和最小，一共20个坑，为偶数，在中间的有两个坑为10和11号坑，故答案选D.
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课标x文数19.B11，D4[2011?陕西卷] 【解答】 (1)设P(x0)，由y′,e得Q(x，ex)点k,1k,1,k,1k,1k,1处切线方程为y,ex,ex(x,x)， k,1k,1k,1
由y,0得x,x,1(2?k?n)( kk,1
(2)由x,0，x,x,,1，得x,,(k,1)， 1kk,1k,(k,1)所以|PQ|,ex,e，于是 kkk
,||，||，||，„，|| SPQPQPQPQn112233nn,n1,n1e,e,e,1,2,(n,1),1，e，e，„，e,,. ,11,ee,1
大纲文数16.D4[2011?重庆卷] 设{a}是公比为正数的等比数列，a,2，a,a，4. n132(1)求{a}的通项公式; n
(2)设{b}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a，b}的前n项和S. nnnn大纲文数16.D4[2011?重庆卷] 22【解答】 (1)设q为等比数列{a}的公比，则由a,2，a,a，4得2q,2q，4，即q,q,2n132
,0，解得q,2或q,,1(舍去)，因此q,2. n,1n*所以{a}的通项为a,2?2,2(n?N)( nnn,2nn,(2)S,n×1，×2 ，n1,22n，12,2，n,2.
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课标理数20.D5，A3[2011?北京卷] 若数列A:a，a，„，a(n?2)满足|a,a|,1(kn12nk，1k
,1,2，„，n,1)，则称A为E数列(记S(A),a，a，„，a. nn12n(1)写出一个满足a,a,0，且S(A),0的E数列A; 1555
(2)若a,12，n,2000.证明:E数列A是递增数列的充要条件是a,2011; 1nn(3)对任意给定的整数(?2)，是否存在首项为0的数列，使得(),0,如果存在，nnEASAnn
写出一个满足条件的E数列A;如果不存在，
说明
关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书
理由( n
课标理数20.D5，A3[2011?北京卷] 【解答】 (1)0,1,2,1,0是一个满足条件的E数列A. 5
(答案不唯一，0,1,0,1,0也是一个满足条件的数列) EA5
(2)必要性:因为E数列A是递增数列， n
所以a,a,1(k,1,2，„，1999)( k，1k
是首项为12，公差为1的等差数列( 所以An
所以,12，(2000,1)×1,2011. a2000
充分性:由于a,a?1， 20001999
a,a?1， 19991998
„„
a,a?1， 21
所以a,a?1999，即a?a，1999. 2000120001
又因为a,12，a,2011， 12000
所以a,a，1999， 20001
故a,a,1,0(k,1,2，„，1999)，即E数列A是递增数列( k，1kn
综上，结论得证(
(3)令,c,aa(k,1,2，„，n,1)，则c,?1， kk，1kk
因为a,a，c， 211
a,a，c，c， 3112
„„
a,a，c，c，„，c， n112n,1
所以S(A),na，(n,1)c，(n,2)c，(n,3)c，„，c n1123n,1
,(n,1)，(n,2)，„，1,[(1,c)(n,1)，(1,c)?(n,2)，„，(1,c)] 12n,1nn,,,[(1,c)(n,1)，(1,c)(n,2)，„，(1,c)]( 12n,12
因为c,?1，所以1,c为偶数(k,1,2，„，n,1)， kk
所以(1,c)(n,1)，(1,c)(n,2)，„，(1,c)为偶数， 12n,1
nn,所以要使S(A),0，必须使为偶数， n2*即4整除n(n,1)，亦即n,4m或n,4m，1(m?N)( *当n,4m(m?N)时，E数列A的项满足a,a,0，a,,1，a,1(k,1,2，„，m)n4k,14k,34k,24k
,时，有a0，S(A),0; 1n*当n,4m，1(m?N)时，E数列A的项满足a,a,0，a,,1，a,1(k,1,2，„，n4k,14k,34k,24k
)，,0时，有,0，(),0; maaSA4m，11n*当n,4m，2或n,4m，3(m?N)时，n(n,1)不能被4整除，此时不存在E数列A，使得an1
,0，S(A),0. n
nban,1课标理数20.D5[2011?广东卷] 设b>0，数列{a}满足a,b，a,n?2)( (n1na，2n,2n,1(1)求数列{a}的通项公式; nn，1b(2)证明:对于一切正整数n，a?，1. nn，12
nban1n,1课标理数20.D5[2011?广东卷] 【解答】 (1)由a,b>0，知a,,，>0，1n，2,2anbn,1na
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2n,1?. ban,1
n1令A,，A,， n1bna
12A当n?2时，A,， nn,1bbn,2n,11222,，，„，，A 12n,1n,1bbbb,2,1nn1222，，„，，. ,2n,1nbbbb
?当b?2时，
21，,,，n1,,,,,nnbb，,,，b,2A,,; nnbb,21,b
n?当b,2时，A,. n2
nnbb,,,，b?2，nnb,2?a, ,n ,,2， b,2.
n，1nn，1nnbnbb,bb,2,,nn，1(2)证明:当?2时，欲证,?，1，只需证?banb，即证(2nn，1,,nnn，12b,22b,2,,nnb,2，1n，1n，1n，b)n?2b. ?b,2nnb,2n，1n，1n，1n，1n,1n,2n,1而(2，b)，b)(b，2b，„，2) ,(2b,2n，1n,1n，2n,22n2n2n,1n,1n，1,2，2，„，2，„，2 bb，b，2bb2nnn,12bbb22,,nn，，„，，，，„，,2b 2nnn,1,,2bbb22,,nnnnn，1n>2b(2，2，„，2),2n?2b,n?2b， nn，1nbb,b?a,<1，. nnnn，1b,22n，1b当b,2时，a,2,，1. nn，12n，1b综上所述，a?，1. nn，12
课标文数20.D5，E7[2011?广东卷]
nban,1设b,0，数列{a}满足a,b，a,n?2)( (n1na，n,1n,1(1)求数列{a}的通项公式; nn，1(2)证明:对于一切正整数n,2a?b，1. n
nba,1n课标文数20.D5，E7[2011?广东卷] 【解答】 (1)由a,b>0，知a,>0， 1na，n,1n,1
,1n11n,，?. bbann,1a
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n1令A,，A,， n1bna
11A当n?2时，A,， nn,1bb
111,，„，，A 1n,1n,1bbb
111,，„，，. n,1nbbb
11,,1,n,,nbb,,,1b?当b?1时，A,,， nnbb,11,b
?当b,1时，A,n. n
nnbb,,,b?1，，nb,1,?a ,n ,,1， b,1.
nnnbb,b,12，1，1nnn(2)证明:当b?1时，欲证2a,b，1，只需证2nb?(b，1)?. nnb,1b,1nb,1n，12n2n,1n，1n,1n,2?(b，1)b，b，„，b，b，b，„，1 ,b,1
111,1nn,,nb，，b，，„，b，, bnn,1,,bbb,,n>b(2，2，„，2) n,2nb， n2nbb,n，1?2a,b. <1，nnb,1n，1当b,1时，2a,2,b，1. nn，1综上所述2a?b，1. n
课标文数21.D5[2011?江西卷] (1)已知两个等比数列{a}，{b}，满足a,a(a>0)，b,ann111
,1，b,a,2，b,a,3，若数列{a}唯一，求a的值; 2233n
(2)是否存在两个等比数列{a}，{b}，使得b,a，b,a，b,a，b,a成公差不为0的等nn11223344
差数列,若存在，求{a}，{b}的通项公式;若不存在，说明理由( nn
课标文数21.D5[2011?江西卷] 【解答】 (1)设{a}的公比为q，则b,1，a，b,2，aq，n122b,3，aq， 322由b，b，b成等比数列得(2，aq),(1，a)(3，aq)， 1232即aq,4aq，3a,1,0. 2由a>0得Δ,4a，4a>0，故方程有两个不同的实根， 再由{}唯一，知方程必有一根为0， an
1将q,0代入方程得a,. 3
(2)假设存在两个等比数列{a}，{b}使b,a，b,a，b,a，b,a成公差不为0的等差数nn11223344
列，设{a}的公比为q，{b}的公比为q， n1n2
则b,a,bq,aq， 22121122b,a,bq,aq， 33121133b,a,bq,aq， 441211
由b,a，b,a，b,a，b,a成等差数列得 11223344
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22,bq,aq,b,a，bq,aq，1211111211,, 2233 ,bq,aq,bq,aq，bq,aq，121112111211,
22,bq,,aq,,0， ?1211,,即 22 ,,,,0， ?,bqqaqq122111,2?×,?得(,)(,1),0. qaqqq21121
由a?0得q,q或q,1， 1121
i)当q,q时，由??得b,a或q,q,1，这时(b,a),(b,a),0，与公差不为0矛1211122211
盾;
ii)当q,1时，由??得b,0或q,1，这时(b,a),(b,a),0，与公差不为0矛盾( 1122211综上所述，不存在两个等比数列{a}，{b}使b,a，b,a，b,a，b,a成公差不为0的11223344nn
等差数列(
2课标理数17.D5[2011?课标全国卷] 等比数列{a}的各项均为正数，且2a，3a,1，a,n123
9aa. 26
(1)求数列{}的通项公式; an
,,1,,(2)设,log，log，„，log，求数列的前项和( baaann31323nbn,,22课标理数17.D5[2011?课标全国卷] 【解答】 (1)设数列{a}的公比为q，由a,9aa得a,n3263
1229a，所以q,. 49
1由条件可知q,0，故q,. 3
1由2a，3a,1得2a，3aq,1，所以a,. 121113
1故数列{a}的通项公式为a,. nnn3
(2)b,loga，loga，„，loga n31323n
,,(1，2，„，n)
nn，,,. 2
1112,,,故,,,,2， ,,nn，1bnn，,,n
111111n112,,,,,,1,,,，，„，,,2，，„，,,. ,,,,,,223nn，1bbb，1,,,,,,12nn
,,1n2,,所以数列的前n项和为,. bn，1n,,
课标理数20.D5[2011?山东卷] 等比数列{a}中，a，a，a分别是下表第一、二、三行中的n123
某一个数，且a，a，a中的任何两个数不在下表的同一列( 123
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18 (1)求数列{a}的通项公式; nn(2)若数列{b}满足:b,a，(,1)lna，求数列{b}的前n项和S. nnnnnn课标理数20.D5[2011?山东卷] 【解答】 (1)当a,3时，不合题意; 1当a,2时，当且仅当a,6，a,18时，符合题意; 123
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当a,10时，不合题意( 1
因此a,2，a,6，a,18， 123
所以公比q,3， n,1故a,2?3. nn因为,，(,1)ln (2)baannnn,1nn,1,2?3，(,1)ln(2?3) ,1nn,2?3，(,1)[ln2，(n,1)ln3] n,1nn,2?3，(,1)(ln2,ln3)，(,1)ln3， n
所以 n,1nS,2(1，3，„，3)，[,1，1,1，„，(,1)]?(ln2,ln3)，[,1，2,3，„，(,nn]ln3. 1)n
所以 nn1,3当n为偶数时，S,2?，ln3 n1,32
nn,3，ln3,1; 2nn,11,3,,,n当为奇数时，,2×ln3 nS,(ln2,ln3)，n,,21,3,,
n,1n,3ln3,ln2,1. ,2
nn3，n为偶数，ln3,1，,,2
综上所述，S, n,n,1n 3,ln3,ln2,1，n为奇数.,,2
课标文数20.D5[2011?山东卷] 等比数列{a}中，a，a，a分别是下表第一、二、三行中的n123
某一个数，且a，a，a中的任何两个数不在下表的同一列. 123
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18 (1)求数列{a}的通项公式; nn(2)若数列{b}满足:b,a，(,1)lna，求数列{b}的前2n项和S. nnnnn2n课标文数20.D5[2011?山东卷] 【解答】 (1)当a,3时，不合题意; 1当a,2时，当且仅当a,6，a,18时，符合题意; 123
当a,10时，不合题意( 1
因此a,2，a,6，a,18，所以公比q,3. 123n,1故a,2?3. nn(2)因为b,a，(,1)lna nnnn,1nn,1,2?3，(,1)ln(2?3) n,1n,2?3，(,1)[ln2，(n,1)ln3] n,1nn,2?3，(,1)(ln2,ln3)，(,1)nln3，
所以S,b，b，„，b 2n122n2n,12n,2(1，3，„，3)，[,1，1,1，„，(,1)](ln2,ln3)，[,1，2,3，„，(,2n1)2n]ln3 2n1,3,2×，nln3 1,32n,3，nln3,1.
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课标数学13.D5[2011?江苏卷] 设1,a?a?„?a，其中a，a，a，a成公比为q的等1271357比数列，a，a，a成公差为1的等差数列，则q的最小值是________( 246
323课标数学13.D5[2011?江苏卷] 3 【解析】 记,，则1???，1??，2?， ammqmqmq2
323要取最小值，则必定为1，于是有1??2,2??3,3?，所以?3. qmqqqq
课标数学20.D5[2011?江苏卷] 设M为部分正整数组成的集合，数列{a}的首项a,1，前n1n项的和为S，已知对任意的整数k?M，当整数n>k时，S，S,2(S，S)都成立( nn，kn,knk
(1)设M,{1}，a,2，求a的值; 25
(2)设M,{3,4}，求数列{a}的通项公式( n
课标数学20.D5[2011?江苏卷] 本题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力
【解答】 (1)由题设知，当n?2时，S，S,2(S，S)，即(S,S),(S,S),2S. n，1n,1n1n，1nnn,11
从而a,a,2a,2. ，11nn
又,2，故当?2时，,，2(,2),2,2. anaann2n2
所以a的值为8. 5
(2)由题设知，当k?M,{3,4}且n>k时，S，S,2S，2S且S，S,2S，2S，，,，1，，1,，1nknknknknknk两式相减得a，a,2a，即a,a,a,a.所以当n?8时，a，a，a，n，1，kn，1,kn，1n，1，kn，1n，1n，1,kn,6n,3na，a成等差数列，且a，a，a，a也成等差数列( n，3n，6n,6n,2n，2n，6
从而当，,，，n?8时，2a,aaaa(*) nn，3n,3n，6n,6
且a，a,a，a，所以当n?8时，2a,a，a，即a,a,a,a，于是当n?9n，6n,6n，2n,2nn，2n,2n，2nnn,2时，a，a，a，a成等差数列，从而a，a,a，a，故由(*)式知2a,a，a，n,3n,1n，1n，3n，3n,3n，1n,1nn，1n,1即a,a,a,a. n，1nnn,1
. 当n?9时，设d,a,ann,1
当2?m?8时，m，6?8，从而由(*)式知2a,a，a，故2a,a，a. m，6mm，12m，7m，1m，13
从而2(a,a),a,a，(a,a)， m，7m，6m，1mm，13m，12
于是a,a,2d,d,d. m，1m
因此，a,a,d对任意n?2都成立(又由S，Sn,k,2S,2S(k?{3,4})可知(S,n，1nn，k nkn，k
d73且16，解得,,,S),(S,S),2S，故9d,2Sd,2Sad，从而ad，a.因此，数列{a}nnn,kk34421n222为等差数列(
由a,1知d,2. 1
所以数列{a}的通项公式为a,2n,1. nn
大纲文数20.D5[2011?四川卷] 已知{a}是以a为首项，q为公比的等比数列，S为它的前nnn项和(
(1)当S、S、S成等差数列时，求q的值; 134
(2)当S、S、S成等差数列时，求证:对任意自然数k，a，a，a也成等差数列( mnlm，kn，kl，kn,1大纲文数20.D5[2011?四川卷] 【解答】 (1)由已知，a,aq，因此 n223S,a，S,a(1，q，q)，S,a(1，q，q，q)( 134
当S，S，S成等差数列时，S,S,S,S. 134433132可得aq,aq，aq. 2化简得q,q,1,0.
1?5解得q,. 2
(2)证明:若q,1，则{a}的每项a,a，此时a，a，a显然构成等差数列( ，，，nnmknklk
若q?1，由S，S，S构成等差数列可得S，S,2S，即 mnlmlnmlnaq,aq,aq,2，,. q,1q,1q,1mln整理得q，q,2q.
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k,1mln，k,1因此，a，a,aq(q，q),2aq,2a. m，kl，kn，k所以，a，a，a成等差数列( m，kn，kl，k
1122n,1n,1n大纲理数20.D5[2011?四川卷] 设d为非零实数，a,[Cd，2Cd，„，(n,1)Cd，nCnnnnnnn*d](n?N)(
(1)写出a，a，a并判断{a}是否为等比数列(若是，给出证明;若不是，说明理由; 123n*(2)设b,nda(n?N)，求数列{b}的前n项和S. nnnn2大纲理数20.D5[2011?四川卷] 【解答】 (1)由已知可得a,d，a,d(1，d)，a,d(1，d). 123
kkk,1当n?2，k?1时，C,C，因此 n,1nn
,1nnnk,1,1kkkkkkna, Cd,Cd,dCd,d(d，1). ,1,1nn,,,nnn,1,1,0kkk
由此可见，当d?,1时，{a}是以d为首项，d，1为公比的等比数列; n
当d,,1时，a,,1，a,0(n?2)，此时{a}不是等比数列( 1nn,12,1nn(2)由(1)可知，a,d(d，1)，从而 b,nd(d，1)， nn22n,2n,1S,d[1，2(d，1)，3(d，1)，„，(n,1)(d，1)，n(d，1)]( ? n2当d,,1时，S,d,1. n
当d?,1时，?式两边同乘d，1得 22n,1n(d，1)S,d[(d，1)，2(d，1)，„，(n,1)(d，1)，n(d，1)](? n
?，?式相减可得 22n,1n,,[1，(，1)，(，1)，„，(，1),(，1)] dSddddndnnd，,1n，，2,nd，,d. ,,d，，n化简即得S,(d，1)(nd,1)，1. nn综上，S,(d，1)(nd,1)，1. n
课标理数20.D5[2011?天津卷] 已知数列{a}与{b}满足ba，a，ba,0，b,nnnnn，1n，1n，2nn3，,*n?N，且a,2，a,4. ，122
(1)求，，的值; aaa345*(2)设c,a，a，n?N，证明{c}是等比数列; n2n,12n，1n4nS7k**(3)，，„ 设S,aa，a，k?N，证明? <(n?N)( k242kk,1a6kn3，,*课标理数20.D5[2011?天津卷] 【解答】 (1)由b,n?N，可得b,，nn2
,1，为奇数，n,, 2，为偶数.,n,
又ba，a，ba,0， nnn，1n，1n，2
当n,1时，a，a，2a,0， 123
由a,2，a,4，可得a,,3; 123
当n,2时，2a，a，a,0，可得a,,5; 2344
当n,3时，a，a，2a,0，可得a,4. 3455*(2)证明:对任意n?N，
a，a，2a,0，? 2n,12n2n，1
2a，a，a,0，? 2n2n，12n，2
a，a，2a,0.? 2n，12n，22n，3
?,?，得a,a.? 2n2n，3
将?代入?，可得a，a,,(a，a)， 2n，12n，32n,12n，1
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*即c,,c(n?N)( n，1n
cn，1又c,a，a,,1，故c?0，因此,,1. 113ncn
所以{c}是等比数列( nk*(3)证明:由(2)可得a，a,(,1).于是，对任意k?N且k?2，有a，a,,1，,(a2k,12k，1133k，a),,1，a，a,,1，„，(,1)(a，a),,1. 5572k,32k,1k将以上各式相加，得a，(,1)a,,(k,1)， 12,1kk，1即a,(,1)(k，1)，此式当k,1时也成立( 2k,1k，1由?式得a,(,1)(k，3)( 2k
从而S,(a，a)，(a，a)，„，(a，a),,k，S,S,a,k，3. 224684,242,124kkkkkk*所以，对任意?N，?2， nn
错误!,错误!
,错误!
,错误!
2,，错误!，错误! 2×3
1<，错误!，错误! 3
111111153,,,,,,,,,,，，„，， ，?,,,,,,35572n,12n，132，，,,,,,,155137,，,?，<. 3622n，1，，6对于n,1，不等式显然成立(
n课标文数20.D5[2011?天津卷] 已知数列{a}与{b}满足ba，ba,(,2)，1，b,nnn，1nnn，1nn,13，,*n?N，且a,2. ，12
(1)求，的值; aa23*(2)设c,a,a，n?N，证明{c}是等比数列; n2n，12n,1n
SSSS1122n,12n*(3)设S为{a}的前n项和，证明，，„，，?n,(n?N)( nnaaaa3122n,12nn,13，,课标文数20.D5[2011?天津卷] 【解答】 (1)由b,，n?N， n2
,2，n为奇数，,,可得b, n 1，n为偶数.,,n又,(,2)ba，ba，1， n，1nnn，1
3当n,1时，a，2a,,1，由a,2，可得a,,; 12122当n,2时，2a，a,5，可得a,8. 233*(2)证明:对任意n?N， 2n,1a，2a,,2，1，? 2n,12n2n2a，a,2，1.? 2n2n，12n,12n,1?,?，得a,a,3×2，即c,3×2. 2n，12n,1n
cn，1于是,4. cn
所以{c}是等比数列( n*(3)证明:a,2，由(2)知，当k?N且k?2时， 1
a,a，(a,a)，(a,a)，(a,a)，„，(a,a) 2k,113153752k,12k,3
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k,121,4352k,32k,1,2，3(2，2，2，„，2),2，3×， ,21,4*2k,1故对任意k?N，a,2. 2k,12k,12k,1由?得2，2a,,2，1， 2k
12k,1*,,2，?N. 所以ak2k2
k因此，S,(a，a)，(a，a)，„，(a，a),. 212342,12kkk2
k,12k,1，,,,，2. 于是SSa2k,12k2k2
k,1k2k,1，22k22SSk,1，2kk12k,12k故，,，,,,,1,. ,12k2k2kkkkaa2122,144,2,12kk2k,1,22*所以，对任意?N， n
SSSS122n,12n，，„，， aaaa122n,12n
SSSSSS12342n,12n,,,,,,，，，,，，„， ,,,,,,aaaaaa12342n,12n,,,,,,
11121n,,,,11,,,,,，,，„，1, 222,,,,nnn41244,44,,,,,
111112n11,,,,,,，，，,n,,，n,,n,. ,„,?222,,,,,,nnn41244,41244,3,,,,,,
1课标文数19.D5[2011?浙江卷] 已知公差不为0的等差数列{a}的首项a为a(a?R)，且，n1a1
11，成等比数列( aa24
(1)求数列{a}的通项公式; n
1111*(2)对n?N，试比较，，„，与的大小( aaaa2222n1
1,,2课标文数19.D5[2011?浙江卷] 【解答】 设等差数列{a}的公差为d，由题意可知,n,,a2,,
11?， aa1422即(a，d),a(a，3d)，从而ad,d. 1111
因为d?0，所以d,a,a， 1
故通项公式a,na. n
111n(2)记T,，，„，.因为a,2a， n2naaa2222n
11，,,，n1,,,,,2211，,,，11111,,，,,，n，，„，所以T,,?1,. ,n2n,,,,,,2222aaa1,,，,,，1,2
11从而，当a,0时，T,，当a,0时，T,. nnaa11
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*大纲理数21.D5[2011?重庆卷] 设实数数列{a}的前n项和S满足S,aS(n?N)( nnn，1n，1n
(1)若a，S，,2a成等比数列，求S和a; 12223
4(2)求证:对k?3有0?a?a?. k，1k3
2,,,2，Saa212,2,大纲理数21.D5[2011?重庆卷] 【解答】 (1)由题意,,2， 得SS22 ,,，,SaSaa22112,
由S是等比中项知S?0.因此S,,2. 222
由S，a,S,aS解得 23332
S,222a,,,. 3S,1,2,132
(2)证法一:由题设条件有S，a,aS， ，1，1nnnn
Sann，1故S?1，a?1且a,S,，， nn，1n，1nS,1a,1，1nn从而对k?3有
ak,1a，,1k2,1ak,1Sa，Sak,1k,1k,2k,1a,,,,.? k2S,1a，S,1aa,a，1k,1k,1k,2k,1k,1k,1a，,1k,1a,1k,1
13,,222a,因a,a，1,k,1，>0且a?0，由?得a?0. k,1k,1k,1k,,24,,24a4k,1要证a?，由?只要证?， k23a,a，13k,1k,1222即证3a?4(a,a，1)，即(a,2)?0，此式明显成立( k,1k,1k,1k,1
4因此a?(k?3)( k32ak最后证a?a，若不然a,a， >k，1kk，1k2a,a，1kk
ak2又因a?0，故a,1)<0.矛盾( >1，即(kk2a,a，1kk
因此a?a(k?3)( k，1k
证法二:由题设知S,S，a,aS， n，1nn，1n，1n2故方程x,Sx，S,0有根S和a(可能相同)( n，1n，1nn，12因此判别式Δ,S,4S?0. n，1n，1
an，2又由S,S，a,aS得a?1且S,. n，2n，1n，2n，2n，1n，2n，1a,1n，22a4an，2n，22因此,a,4a?0， ?0，即3n，2n，22a,a,1n，2n，2
4解得0?a?. n，23
4因此0?a?(k?3)( k3
Sk,1由a,k?3)，得 ?0(kS,1k,1
Sk,, aa,ak，1kkS,1k
Sk,1,,S,1k,12,,,,Sk,1,1,aa, kk,,aS,1,,,1kk,1,,S,1k,1,,
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aakk,,,,?0， 2S,S，11k,1k,13,,2,Sk,1，,,24,,
因此a?a(k?3)( k，1k
*[2011?南开中学月考] 在数列{a}中，a,1，a,a,n(n?N)，则a的值为( ) n1n，1n100A(5050
B(5051
C(4950
D(4951
SS108[2011?湖南师大附中二模] 等差数列{a}中，S是其前n项和，a,,11，S,,2，则nn111108
,( )
A(,11
B(11
C(10
D(,10
Sn，457n[2011?云南示范中学联考] 等差数列{a}、{b}的前n项和分别为S、T，且,，则使得nnnnTn,3n
an为整数的正整数n的个数是( ) bn
A(3 B(4
C(5 D(6
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,,1m*,,设函数(),，的导函数为′(),2，2，则数列(?N)[2011?福州二模] fxxaxfxxnfn,,
的前n项和为( )
，1，1nnA. B. n，n，2
nn，n，43C. D. ，，，nnn
a21n，[2011?浙江高考样卷] 已知等比数列{a}，首项为2，公比为3，则,n,,,aaaa23n2222*__________(n?N)(
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