[数学]十字相乘法

[数学]十字相乘法 十字相乘法 十字相乘法 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。要务必注意各项系数的符号。 目录 十字相乘法概念 通俗方法 十字相乘法(解决两者之间的比例问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ) 3.十字相乘法解一元二次方程 十字相乘法概念 十字相乘法的方法简单点来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两 1 十字相乘法 个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。 基本式子:x^2+(p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x^2+7x+12进行因式分解. . 上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以上式可以分解 为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4) . 2 又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5×(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3). 讲解: x-3x+2=如下: x -1 ? x -2 左边x乘x=x 右边-1乘-2=2 中间-1乘x+(-2)乘x(对角)=-3x 上边的【x+(-1)】乘下边的【x+(-2)】 就等于(x-1)*(x-2) x-3x+2=(x-1)*(x-2)例题 例1:把2x-7x+3分解因式. 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 :先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分 别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同～): 3 2=1×2=2×1; 分解常数项: 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示下列四种情况: 1 1 ? 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ? 2 1 1×1+2×3 =7 1 -1 ? 2 -3 1×(-3)+2×(-1) =-5 1 -3 ? 2 -1 4 1×(-1)+2×(-3) =-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数,7. 解 2x-7x+3=(x-3)(2x-1). 一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a?0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下: a1 c1 ? a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法. 例2:把6x-7x-5分解因式. 5 分析:按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 ? 3 -5 2×(-5)+3×1=-7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 解 6x-7x-5=(2x+1)(3x-5) 指出:通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 ? 1 5 1×5+1×(-3)=2 所以x+2x-15=(x-3)(x+5). 例3:把5x+6xy-8y分解因式. 6 分析:这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 ? 5 -4 1×(-4)+5×2=6 解 5x+6xy-8y=(x+2y)(5x-4y). 指出:原式分解为两个关于x，y的一次式. 例4:把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式. 分析:这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解. 问:以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答:第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了. 解 (x-y)(2x-2y-3)-2 7 =(x-y)[2(x-y)-3]-2 =2(x-y) ^2-3(x-y)-2 1 -2 ? 2 1 1×1+2×(-2)=,3 =[(x-y)-2][2(x-y)+1] =(x-y-2)(2x-2y+1). 指出:把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法. 例5:x+2x-15 分析:常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3) (-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。 =(x-3)(x+5) 总结:?x+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解: x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ?kx+mx+n型的式子的因式分解 8 如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么 kx+mx+n=(ax+b)(cx+d) a b ? c d 通俗方法:先将二次项分解成(1 X 二次项系数)，将常数项分解成(1 X 常数项)然后以下面的 格式 pdf格式笔记格式下载页码格式下载公文格式下载简报格式下载 写 1 1 ? 二次项系数 常数项 若交叉相乘后数值等于一次项系数则成立 ，不相等就要按照以下的方法进行试验。(一般的题很简单，最多3次就可以算出正确答案。) 需要多次实验的格式为:(注意:此时的abcd不是指(ax^2+bx+c)里面的系数，而且abcd最好为整数) a b ? c d 第一次a=1 b=1 c=二次项系数?a d=常数项?b 第二次a=1 b=2 c=二次项系数?a d=常数项?b 9 第三次a=2 b=1 c=二次项系数?a d=常数项?b 第四次a=2 b=2 c=二次项系数?a d=常数项?b 第五次a=2 b=3 c=二次项系数?a d=常数项?b 第六次a=3 b=2 c=二次项系数?a d=常数项?b 第七次a=3 b=3 c=二次项系数?a d=常数项?b ...... 依此类推 直到(ad+cb=一次项系数)为止。最终的结果格式为(ax+b)(cx+d) 例解: 2x^2+7x+6 第一次: 1 1 ? 2 6 1X6+2X1=8 8>7 不成立 继续试 第二次 1 2 ? 2 3 1X3+2X2=7 所以 分解后为:(x+2)(2x+3).十字相乘法能把某 10 十字相乘法(解决两者之间的比例问题) 原理:一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S， A所占的数量为M，B为S-M。 则:[A*M+B*(S,M)]/S=C A/S*M/S+B/S*(S-M)/S=C M/S=(C-B)/(A-B) 1-M/S=(A-C)/(A-B) 因此:M/S?(1-M/S)=(C-B)?(A-C) 上面的计算过程可以抽象为: A „„„C-B „„C B„„„ A-C 这就是所谓的十字相乘法。X增加，平均数C向A偏，A-C(每个A给B的值)变小，C-B(每个B获得的值)变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。即比例，以十字相乘法形式展现更加清晰 十字相乘法使用时的注意 第一点:用来解决两者之间的比例问题。 11 第二点:得出的比例关系是基数的比例关系。 第三点:总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。 例题:某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年(2006)毕业的本科生有多少人, 十字相乘法 解:去年毕业生一共7500人，7650?(1+2%)=7500人。 本科生:-2%„„„8% „„„„„„„2% 研究生:10%„„„ -4% 本科生?研究生=8%?(-4%)=-2?1。 去年的本科生:7500×2/3=5000 今年的本科生:5000×0.98=4900 答:这所高校今年毕业的本科生有4900人。 鸡兔同笼问题 今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何, 十字相乘法 12 解:假设全为鸡脚则有70只脚，假设全为兔脚则有120只脚 鸡: 70„„„ „46 „„„„„„„„94 兔:140„„„ „24 鸡:兔=46:24=23:12 答:鸡有23只，兔有12只。 3.十字相乘法解一元二次方程 例1 把2x^2-7x+3分解因式. 分析:先 分解二次项系数， 分别写在十字交叉线的左上角和左下角， 再分解常数项， 分别写在十字交叉线的右上角和右下角， 然后交叉相乘， 求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数): 2=1×2=2×1; 分解常数项: 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 11?23 1×3+2×1=5 13 13?21 1×1+2×3=7 1-1?2 -3 1×(-3)+2×(-1) =-5 1 -3 ? 2 -1 1×(-1)+2×(-3) =-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数,7. 解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1). 一般地，对于二次三项式ax^2+bx+c(a?0)， 如果二次项系数a可以分解成两个因数之积， 即a=a1a2， 常数项c可以分解成两个因数之积， 即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2， 排列如下: a1c1 ? a2c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1， 若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b， 即a1c2+a2c1=b， 那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积， 即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 例2 把6x^2-7x-5分解因式. 分析:按照例1的方法， 14 分解二次项系数6及常数项-5， 把它们分别排列， 可有8种不同的排列方法， 其中的一种 21?3-5 2×(-5)+3×1=-7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5) 指出:通过例1和例2可以看到， 运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解， 往往要经过多次观察， 才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是1的二次三项式， 也可以用十字相乘法分解因式， 这时只需考虑如何把常数项分解因数. 例如把x^2+2x-15分解因式， 十字相乘法是1-3? 15 1×5+1×(-3)=2 所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5). 例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式. 分析:这个多项式可以看作是关于x的二次三项式， 把-8y^2看作常数项， 在分解二次项及常数项系数时， 15 只需分解5与-8，用十字交叉线分解后， 经过观察，选取合适的一组， 即 12? 5-4 1×(-4)+5×2=6 解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y). 指出:原式分解为两个关于x，y的一次式. 例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式. 分析:这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式， 只有先进行多项式的乘法运算， 把变形后的多项式再因式分解. 问:两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答:第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了. 解 (x-y)(2x-2y-3)-2 =(x-y)[2(x-y)-3]-2 =2(x-y) ^2-3(x-y)-2 1-2? 21 1×1+2×(-2)=,3 =[(x-y)-2][2(x-y)+1] 16 =(x-y-2)(2x-2y+1). 指出:把(x-y)看作一个整体进行因式分解， 这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5 x^2+2x-15 分析:常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积， 可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3) (-5)或(-3)(5)， 其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。 =(x-3)(x+5) 总结:?x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1; 常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和. 因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解: x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ?kx^2+mx+n型的式子的因式分解 如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时， 那么 kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d) a b?c d (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0 (3) 6x^2+5x-50=0 (4)x^2-2( + )x+4=0 (1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) 17 (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ?x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ?x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解:2x^2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ?x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ?x1=0，x2=-3/2是原方程的解。 注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 (3)解:6x^2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ?2x-5=0或3x+10=0 ?x1=5/2, x2=-10/3 是原方程的解。 (4)解:x^2-2(+ )x+4 =0 (?4 可分解为2 ?2 ，?此题可用因式分解法) (x-2)(x-2 )=0 ?x1=2 ,x2=2是原方程的解。 例题x^2-x-2=0 解:(x+1)(x-2)=0 ?x+1=0或x-2=0 ?x1=-1,x2=2 18 扩展阅读: , 1 .十字相乘法能把某些二次三项式ax2+bx+c(a?0)分 解因式。这种方法的关健是把二次项的系数a分解成两 个因数a1,a2的积a1?a2，把常数项c分解成两个因数 c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数 b，那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+ c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试， 并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是 1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。 , 2 .例:x2+2x-15 , 3 .分析:常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可 分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5)，其 中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。 , 4 .=(x-3)(x+5) 19 十字相乘法 百科名片 十字相乘法 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。要务必注意各项系数的符号。 目录 十字相乘法概念 通俗方法 十字相乘法(解决两者之间的比例问题) 3.十字相乘法解一元二次方程 十字相乘法概念 通俗方法 十字相乘法(解决两者之间的比例问题) 3.十字相乘法解一元二次方程 展开 编辑本段十字相乘法概念 十字相乘法的方法简单点来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两 十字相乘法 20 个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结 果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。 基本式子:x^2+(p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x^2+7x+12进行因式分解. . 上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4) . 又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5×(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3). 讲解: x-3x+2=如下: x -1 ? x -2 左边x乘x=x 右边-1乘-2=2 中间-1乘x+(-2)乘x(对角)=-3x 上边的【x+(-1)】乘下边的【x+(-2)】 就等于(x-1)*(x-2) x-3x+2=(x-1)*(x-2)例题 例1 把2x-7x+3分解因式. 分析:先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分 别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同～): 2=1×2=2×1; 分解常数项: 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 1 1 ? 21 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ? 2 1 1×1+2×3 =7 1 -1 ? 2 -3 1×(-3)+2×(-1) =-5 1 -3 ? 2 -1 1×(-1)+2×(-3) =-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数,7. 解 2x-7x+3=(x-3)(2x-1). 一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a?0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下: a1 c1 ? a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法. 例2 把6x-7x-5分解因式. 22 分析:按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 ? 3 -5 2×(-5)+3×1=-7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 解 6x-7x-5=(2x+1)(3x-5) 指出:通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 ? 1 5 1×5+1×(-3)=2 所以x+2x-15=(x-3)(x+5). 例3 把5x+6xy-8y分解因式. 分析:这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 ? 5 -4 1×(-4)+5×2=6 解 5x+6xy-8y=(x+2y)(5x-4y). 指出:原式分解为两个关于x，y的一次式. 例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式. 分析:这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解. 23 问:以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答:第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了. 解 (x-y)(2x-2y-3)-2 =(x-y)[2(x-y)-3]-2 =2(x-y) ^2-3(x-y)-2 1 -2 ? 2 1 1×1+2×(-2)=,3 =[(x-y)-2][2(x-y)+1] =(x-y-2)(2x-2y+1). 指出:把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法. 例5 x+2x-15 分析:常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3) (-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。 =(x-3)(x+5) 总结:?x+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解: x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ?kx+mx+n型的式子的因式分解 如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么 kx+mx+n=(ax+b)(cx+d) a b ? c d 编辑本段通俗方法 先将二次项分解成(1 X 二次项系数)，将常数项分解成(1 X 常数项)然后以下面的格式写 24 1 1 ? 二次项系数 常数项 若交叉相乘后数值等于一次项系数则成立 ，不相等就要按照以下的方 法进行试验。(一般的题很简单，最多3次就可以算出正确答案。) 需要多次实验的格式为:(注意:此时的abcd不是指(ax^2+bx+c) 里面的系数，而且abcd最好为整数) a b ? c d 第一次a=1 b=1 c=二次项系数?a d=常数项?b 第二次a=1 b=2 c=二次项系数?a d=常数项?b 第三次a=2 b=1 c=二次项系数?a d=常数项?b 第四次a=2 b=2 c=二次项系数?a d=常数项?b 第五次a=2 b=3 c=二次项系数?a d=常数项?b 第六次a=3 b=2 c=二次项系数?a d=常数项?b 第七次a=3 b=3 c=二次项系数?a d=常数项?b ...... 依此类推 直到(ad+cb=一次项系数)为止。最终的结果格式为(ax+b)(cx+d) 例解: 2x^2+7x+6 第一次: 1 1 ? 2 6 1X6+2X1=8 8>7 不成立 继续试 第二次 1 2 ? 2 3 1X3+2X2=7 所以 分解后为:(x+2)(2x+3).十字相乘法能把某 编辑本段十字相乘法(解决两者之间的比例问题) 原理 25 一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S， A所占的数量为M，B为S-M。 则:[A*M+B*(S,M)]/S=C A/S*M/S+B/S*(S-M)/S=C M/S=(C-B)/(A-B) 1-M/S=(A-C)/(A-B) 因此:M/S?(1-M/S)=(C-B)?(A-C) 上面的计算过程可以抽象为: A „„„C-B „„C B„„„ A-C 这就是所谓的十字相乘法。X增加，平均数C向A偏，A-C(每个A给B的值)变小，C-B(每个B获得的值)变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。即比例，以十字相乘法形式展现更加清晰 十字相乘法使用时的注意 第一点:用来解决两者之间的比例问题。 第二点:得出的比例关系是基数的比例关系。 第三点:总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。 例题 某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年(2006)毕业的本科生有多少人, 十字相乘法 解:去年毕业生一共7500人，7650?(1+2%)=7500人。 本科生:-2%„„„8% „„„„„„„2% 研究生:10%„„„ -4% 本科生?研究生=8%?(-4%)=-2?1。 去年的本科生:7500×2/3=5000 今年的本科生:5000×0.98=4900 答:这所高校今年毕业的本科生有4900人。 鸡兔同笼问题 今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何, 十字相乘法 26 解:假设全为鸡脚则有70只脚，假设全为兔脚则有120只脚 鸡: 70„„„ „46 „„„„„„„„94 兔:140„„„ „24 鸡:兔=46:24=23:12 答:鸡有23只，兔有12只。 编辑本段3.十字相乘法解一元二次方程 例1 把2x^2-7x+3分解因式. 分析:先 分解二次项系数， 分别写在十字交叉线的左上角和左下角， 再分解常数项， 分别写在十字交叉线的右上角和右下角， 然后交叉相乘， 求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数): 2=1×2=2×1; 分解常数项: 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 11?23 1×3+2×1=5 13?21 1×1+2×3=7 1-1?2 -3 1×(-3)+2×(-1) =-5 1 -3 ? 2 -1 1×(-1)+2×(-3) =-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和 恰等于一次项系数,7. 解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1). 一般地，对于二次三项式ax^2+bx+c(a?0)， 如果二次项系数a可以分解成两个因数之积， 即a=a1a2， 常数项c可以分解成两个因数之积， 即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2， 排列如下: a1c1 ? a2c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1， 若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b， 即a1c2+a2c1=b， 那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积， 27 即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 例2 把6x^2-7x-5分解因式. 分析:按照例1的方法， 分解二次项系数6及常数项-5， 把它们分别排列， 可有8种不同的排列方法， 其中的一种 21?3-5 2×(-5)+3×1=-7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5) 指出:通过例1和例2可以看到， 运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解， 往往要经过多次观察， 才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是1的二次三项式， 也可以用十字相乘法分解因式， 这时只需考虑如何把常数项分解因数. 例如把x^2+2x-15分解因式， 十字相乘法是1-3? 15 1×5+1×(-3)=2 所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5). 例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式. 分析:这个多项式可以看作是关于x的二次三项式， 把-8y^2看作常数项， 在分解二次项及常数项系数时， 只需分解5与-8，用十字交叉线分解后， 经过观察，选取合适的一组， 即 12? 5-4 1×(-4)+5×2=6 解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y). 指出:原式分解为两个关于x，y的一次式. 例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式. 分析:这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式， 只有先进行多项式的乘法运算， 把变形后的多项式再因式分解. 问:两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答:第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了. 解 (x-y)(2x-2y-3)-2 28 =(x-y)[2(x-y)-3]-2 =2(x-y) ^2-3(x-y)-2 1-2? 21 1×1+2×(-2)=,3 =[(x-y)-2][2(x-y)+1] =(x-y-2)(2x-2y+1). 指出:把(x-y)看作一个整体进行因式分解， 这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5 x^2+2x-15 分析:常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积， 可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3) (-5)或(-3)(5)， 其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。 =(x-3)(x+5) 总结:?x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1; 常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和. 因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解: x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ?kx^2+mx+n型的式子的因式分解 如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时， 那么 kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d) a b?c d (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0 (3) 6x^2+5x-50=0 (4)x^2-2( + )x+4=0 (1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ?x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ?x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解:2x^2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ?x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ?x1=0，x2=-3/2是原方程的解。 注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 (3)解:6x^2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ?2x-5=0或3x+10=0 ?x1=5/2, x2=-10/3 是原方程的解。 (4)解:x^2-2(+ )x+4 =0 (?4 可分解为2 ?2 ，?此题可用因式分解法) 29 (x-2)(x-2 )=0 ?x1=2 ,x2=2是原方程的解。 例题x^2-x-2=0 解:(x+1)(x-2)=0 ?x+1=0或x-2=0 ?x1=-1,x2=2 扩展阅读: , 1 .十字相乘法能把某些二次三项式ax2+bx+c(a?0)分解因式。这种方法的关健是把二次项的系数a 分解成两个因数a1,a2的积a1?a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2 c1正好是一次项系数b，那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法 分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时， 往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。 , 2 .例:x2+2x-15 , 3 .分析:常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)(-5)或(- 3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。 , 4 .=(x-3)(x+5) 开放分类: 数学，比例，因式分解，十字相乘法 30