公切球式岔管相贯线为平面曲线的证明
公切球式岔管相贯线为平面曲线的证明 摘 要:本文以一个圆柱面和一个斜圆台面相交的公切球式岔管为例,证明公切球式岔管的相贯线为平面曲线。以某输水泵站钢岔管的
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
为例说明该结论的应用。
关键词:公切球 岔管 相贯线 平面曲线
中图分类号:o242 文献标识码:a 文章编号:1674-098x(2012)01(a)-0223-01
1 引言
公切球式钢岔管在水利水电、热力、油气管线等
工程
路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理
中应用很广泛。在工程设计实践中一般假设公切球式钢岔管为无厚度空间曲面,则两个岔管的相贯线为平面曲线。这个结论应用很广泛,但却少见有证明。本文以一个圆柱面和一个斜圆台面相交的公切球式岔管为例证明这一结论。
2 原理
定理1:设二次曲线方程
a11x2+2a12xy+a22y2+2a1x+2a2y+a3=0(a211+a212+a222?0)
(1)
令i2=,i3= (2)
若i2<0,i3=0,则方程(1)所示二次曲线为一对相交直线(变态双曲线)。
3 证明
本文选用的公切球式岔管的形式如图1所示。主管为圆柱面,半径为r;支管为斜圆台面。公切球半径为r。显然r=r。
图1 公切球式岔管纵剖面示意图
如图1所示笛卡尔坐标系中,z轴与z’轴重合,垂直于纸面,则圆柱面方程为
y2+z2=r2 (3)
而斜圆台面方程在经过旋转的坐标系x’y’z’为
y’2+z’2=[(x’-k)tana]2 (4)
其中a为斜圆台面的旋转角。
(5)
坐标系x’y’z’与xyz的转换关系为
(6)
其中θ为x’y’z’坐标系x’轴在xoy平面相对x轴的旋转角。
将(6)代入(4),可整理得斜圆台面在xyz坐标系的方程为
x2(sin2θ-cos2θtan2a)-2xysinθcosθ(1+tan2a)+y2(cos2θ-sin2θtan2a)+z2+2kxcosθtan2a+2kysinθtan2a-k2tan2a=0
(7)
将(3)代入(7),即z2=r2-y2
整理为
x2(sin2θ-cos2θtan2a)-2xysinθcosθ(1+tan2a)-y2sin2θ(1+tan2a)+2kxcosθtan2a+2kysinθtan2a+
r2-k2tan2a=0 (8)
为圆柱面(3)与斜圆台面(4)的相贯线在xoy平面上的投影
令a11= sin2θ-cos2θtan2a
a12=-sinθcosθ(1+tan2a)
a22=-sin2θ(1+tan2a)
a1=kcosθtan2a
a2=ksinθtan2a
a3=r2-k2tan2a
则(8)变为
a11x2+2a12xy+a22y2+2a1x+2a2y+a3=0 (8-1)
将a11、a12、a22、a1、a2、a3的
表
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达式代入定义式(2),并整理得
i2= (9)
i3=-
=
(10)
对于公切球式岔管,r=r
故 (11)
代入(9),可得 i3=0
由于i2<0,方程(8-1)所示空间曲线满足定理1的条件,是一对相交直线。从而证明圆柱面(1)与斜圆台面(4)的相贯线是平面曲线。
4 应用实例
图2为某输水泵站带月牙肋的公切球式钢岔管半结构有限元建模示意图,两管的内表面符合上述证明的条件。因此在利用壳体单元对其进行有限元建模时就可以利用上述结论,将位于两管相贯线的月牙肋板按平面模拟。利用autocad等辅助设计软件,即可方便地模拟月牙肋板结构。
图2 某输水泵站带月牙肋的公切球式钢岔管半结构
建模示意图
5 结语
本文通过对公切球式岔管相贯线方程和其几何特点的推导,证明了公切球式岔管相贯线为平面曲线的结论。此证明解决了设计者对此结论的疑惑,同时其思路及推导过程中的相关方程亦可为设计者所参考。
参考文献
[1] 沈永欢.等,实用数学手册,科学出版社,1992.8.
浙公网安备 33021202002483