基本初等函数和函数的应用知识点总结

基本初等函数和函数的应用知识点总结第 1 页共 4 页基本初等函数和函数的应用知识点总结一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根, 其中n >1,且n ∈N *. ◆ 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,?? ?∈>=n N n m a a a n m n m ,)1,,,0(11 *>∈>==-n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0...

第 1 页共 4 页基本初等函数和函数的应用知识点总结一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根, 其中n >1,且n ∈N *. ◆ 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,?? ?<≥-==) 0()0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ,)1,,,0(11 *>∈>==-n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a · s r r a a +=),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3) s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 因为负数对一些分数次方无意义,0的负数次方无意义。 2、指数函数的图象和性质 a>1 00 值域y >0 在R 上单调递增在R 上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1) 对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数,记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ; ○ 2 x N N a a x =?=log ; ○ 3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化幂值真数 b a = N ?log a N = b 底数指数对数 (二)对数的运算性质如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○ 1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○ 2 =N M a log M a log -N a log ; ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ;0>b ). 利用换底公式推导下面的结论 N a log (1)b m n b a n a m log log = ; (2)a b b a log 1log =. (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 ○ 2 对数函数对底数的限制:0(>a ,且)1≠a . 2、对数函数的性质: a>1 00 定义域x >0 值域为R 值域为R 在R 上递增在R 上递减函数图象都过定点(1,0) 函数图象都过定点(1,0) (三)幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如α x y =)(R a ∈的函数称为幂函数,其中α为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1); (2)0>α时,幂函数的图象通过原点,并且在区间),0[+∞上是增函数.特别地,当1>α时,幂函数的图象下凸;当10<<α时,幂函数的图象上凸; (3)0<α时,幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于∞+时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴. 函数的应用一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 2、函数零点的意义:函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数 )(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。即:方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数) (x f y =有零点. 3、函数零点的求法: ○ 1 (代数法)求方程0)(=x f 的实数根; ○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y . (1)△>0,方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3)△<0,方程2 0(0)ax bx c a ++=≠无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点. 5.确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上连续,且()()0f a f b <②在区间(),a b 上单调。 6、二分法的定义对于在区间[a ,]b 上连续不断,且满足()()0f a f b ?<的函数)(x f y =,通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 7、二分法的条件()f a ·()f b 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

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