[考试]微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

[考试]微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 李绍刚 段复建 徐安农 (桂林电子科技大学，计算科学与数学系，广西桂林，541004) 摘要:本文主要介绍了二阶微分算子的性质及其它在一些求解二阶常系数非齐次线性微分方程的常见运算公式，并对其中的大部分重要公式给出了详细的较为简单的证明，并通过具体而翔实的例子加以说明它在解题中的具体应用，大大简化了二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法。 关键词:线性微分算子 非齐次 微分方程 特解 中图分类号:O175.1 引言 对于微分方程，尤其是常系数非齐次线性微分方程，算子法求其特解一直是研究的热点问题，见参考文献[3-9]，有一些是针对一般高阶的常系数非齐次线性微分方程[3-6]，文献[6]研究了高阶的变系数非齐次线性微分方程的算子特解算法，而[7]是针对二阶的常系数非齐次线性微分方程的算子特解解法，但是理论不是很完善，而微分级数法以及复常系数非齐次线性微分方程在一般教科书很少出现，针对性不够强。因为在高等数学中，二阶非齐次常系数线性微分方程特解的求法在微分方程中占有很重要的地位，也是学习的重点和难点，大多高数教材采用待定系数法来求其特解，根据不同情况记忆特解的设法对大多数学生而言还是很有难度的，而且有些题目计算过程非常复杂，本文就针对微分算子法在求解二阶常系数非齐次线性微分方程特解方面的应用做一些讨论，给出理论的详细证明，并通过例子说明理论的的一些具体应用。 我们考虑如下的二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式 其中为常数。 (1)p,qy''，py'，q,f(x) 22dddydy22,D,,Dy',,Dyy'',,Dy引入微分算子，则有:22dxdxdxdx 于是(1)式可化为: 22 即: (2)Dy，pDy，qy,f(x)(D，pD，q)y,f(x) 2令 称其为算子多项式。则(2)式即为: F(D),D，pD，q 11 其特解为:y,f(x) ， 在这里我们称为逆算子。F(D)y,f(x)F(D)F(D) 一 基本理论 众所周知:算子多项式有如下性质[1] (一)算子多项式的性质: 1(F(D)[,f(x)，,g(x)],,F(D)f(x)，,F(D)g(x) (3) 2(设, (4)F(D),F(D)F(D)12 则 F(D)f(x),F(D)[F(D)f(x)],F(D)[F(D)f(x)]1221 作者简介:李绍刚(1978-),男，河南漯河人，桂林电子工业学院计算科学与数学系硕士研究生，主要研究方 向为最优化理论与算法。联系电话:5601272(研究室) 3(设，则 (5)F(D),F(D)，F(D)F(D)f(x),F(D)f(x)，F(D)f(x)1212 基于上述算子多项式的性质，我们可以得到下列算子多项式的运算公式。 (二)算子多项式的运算公式: kxkx1( (6)F(D)e,eF(k) kx2kx2kxkx 证明:F(D)e,(D，pD，q)e,(k，pk，q)e,eF(k) 22( (7)2F(D)sinax,sinaxF(,a) iax,iaxee,sinax 证明:由欧拉公式:，则有: ,2i iaxiax,e,e1222iax2-iaxF(D)sinax,F(D),[F(D)e,F(D)e] 2i2i 12iax2-iax,[F((ia))e,F((ia))e] 2i 1iax-iax2,[e,e]F(,a) 2i 2 ,sinaxF(,a) 223( (8)F(D)cosax,cosaxF(,a) 证明:类似于性质2的证明，我们有 iax,iaxee，cosax,由欧拉公式:，则有: 2 iaxiax,e，e1222iax2-iaxF(D)sinax,F(D),[F(D)e，F(D)e] 22 12iax2-iax ,[F((ia))e，F((ia))e]2 1iax-iax2 ,[e，e]F(,a)2 2 ,cosaxF(,a) kxkx4( (9)F(D)ev(x),eF(D，k)v(x) mm,,mkxiikxmiiikxmi 证明:因为 Dev(x),CDeDv(x),CkeDv(x),,mm,,i0i0 m,kxiimi ,eCkDv(x),m,i0 kxm ,e(D，k)v(x) kx2kx 所以 F(D)ev(x),(D，pD，q)ev(x) kx2kxkx ,e(D，k)v(x)，ep(D，k)v(x)，qev(x) kx ,eF(D，k)v(x) 5( (10)F(D)xv(x),xF(D)v(x)，F'(D)v(x) 2 证明:不妨设，则有: F(D),D，pD，q 2 左边,(D，pD，q)xv(x),2v'(x)，xv''(x)，p[v(x)，xv'(x)]，qxv(x) ,pv(x)，2v'(x)，qxv(x)，pxv'(x)，xv''(x) 2右边 ,x(D，pD，q)v(x)，(2D，p)v(x) ,xv''(x)，pxv'(x)，qxv(x)，2v'(x)，pv(x) 所以左边=右边，证毕。 二 逆算子在解题中的应用: 我们首先给出逆算子的性质: (一) 逆算子的性质 类似于算子多项式的性质我们有: 11. F(D)f(x)=f(x) (约定) (11)F(D) 111 2. (12),[f(x)，,g(x)],,f(x)，,g(x)F(D)F(D)F(D) 3. 设, F(D),F(D)F(D)12 11111则 (13)f(x),[f(x)],[f(x)]F(D)F(D)F(D)F(D)F(D)1221 接下来我们讨论逆算子的基本运算公式及其在解题中的具体应用 (二) 逆算子的运算公式: 11kxkx 1(逆算子移位原理: (14),ev(x)ev(x)，F(D)F(Dk) )式易证。 证明:由(9 这是逆算子很重要的一个性质，在许多题目的求解中都要用到，我们后面会讨论它的 应用。 kx1ekx2( (其中 (15)e,F(k),0)F(D)F(k) k 若不妨设为的重根(，则有:F(k),0,F(k),0m,1,2)m kx11ekxmkxm(m)Dexex ，其中表示对求阶导数。 ,,F(D)m(m)(m)F(D)F(D)F(k) kx1ekxke 证明:由(6)式易证 (其中下面考虑设为,F(k),0)F(k),0,F(D)F(k) m的重根(，则可令: F(k),0m,1,2)F(x),(x,k),(x)m (m)其中,(k),0，则易知有: F(k),m!,(k) 11kxkx,ee v(x),1 (由逆算子移位原理:此时)m,,F(D)(Dk)(D) 11kx (由逆算子公式14) ,e1m,，(Dk)D kxmkx11exekxm ex,,,m(m),,(k)m!(k)DF(k) 2x例2 y''，2y',3y,e 2 解:因为:，而 F(2),5,0F(D),D，2D,3 所以有: 2x1e12x2x y= e,,eF(D)F(2)5 x例3 y'',2y'，y,e 2 解:因为: m,2 1为 的二重根，此时，F(1),0F(D),D,2D，1 112x2x 所以有: y,xe,xe22(D,2D，1)'' 2 3((1)当时有: F(,a),0 1sinax1cosaxsinaxcosax ,,2222F(D)F(-a)F(D)F(-a) 2 (2)当时有: F(,a),0 1111 (16)sinax,xsinaxcosax,xcosax2222F(D)F'(D)F(D)F'(D) 证明: (1)由(7)和(8)式易证。 2222(2) ，不妨设，则有: F(,a),0F(D),D，a？？ 111iaxiax,,sinaxIm[e]Im[e] (a) 2222，F(D)F(D)Da iaxiax111ee1iax,Im[e],Im[],Im[1] D,aiD，aiD,ai2ai2aiD iaxxe11,Im[],Im[xsinax,ixcosax] 2ai2a2a 1 ,,xcosax2a 111 而 所以:xsinax,xsinax,,xsinax22D2aF'(D) 11 sinax,xsinax22F(D)F'(D) (b)仿类似可证。 (a) 例4 y''，4y'，5y,sin2x 22 解:因为: ， F(D),D，4D，5F(,a),,4，1,3,0所以由性质3的公式(1)有: 111 y=,,sin2xsin2xsin2x22F(D)，，,，，D4D524D5 1(4D,1)1,sin2x,sin2x,,(4Dsin2x,sin2x) 24D，16516D,1 1,,(8cos2x,sin2x) 65 例5 y''，y,cosx 22 解:因为: ， F(D),D，1F(,a),,1，1,0 所以由性质3的公式(2)有: 111 y=xcosx,xcosx,xsinx 22D2(D，1)' 通过上述两道例题可以看出，对形如或者，y''，py，q,sinaxy''，py，q,cosax 均可以用性质3进行求解。 1 4(P(x),Q(D)P(x)，其中Q(D)是用1形式的除(按升幂排列)F(D)mmmmF(D) 所得的多项式，其最高次数为。 (17)m 1,F(D)Q(D)，R(D)R(D)P(x) 证明: 其中表示余式。两端同乘得:？mmmm P(x),F(D)[Q(D)P(x)，R(D)P(x) mmmmm ,F(D)[Q(D)P(x)]mm m，1m，1m，2 这里中最低次幂为，对的运算为DP(x)R(D),cD，cD，？mmm，1m，2 1零。所以 P(x),Q(D)P(x)mmmF(D) 2x例6 y'',5y'，6y,xe 2 解:因为: ，利用性质1和4，所以有: F(D),D-5D，6 1112x2x2x y=,,xeexex22,,，，,，，D(D1)D5D6(D1)5(D1)6 112x2x ,e(,1,D)x,e(,x,1) DD 122x,,(x，2x)e 2 111 5( (18)xv(x),[x,F'(D)]v(x)F(D)F(D)F(D) 11 证明:要证此式，只需证明:F(D){[x,F'(D)]v(x)},xv(x)F(D)F(D) 111左边 ,F(D)[xv(x),F'(D)v(x)]F(D)F(D)F(D) 1111 ,xF(D)v(x)，F'(D)v(x),F(D)F'(D)v(x)F(D)F(D)F(D)F(D) =右边 证毕。 ,xv(x) 例7 y''，y,xcos2x 2 解:因为: ， 所以由性质5有: F(D),D，1 11111xcos2x,[x,2D]cos2x,(x,2D)(,cos2x) y=22223D，1D，1D，1D，1 121,,， xcos2x(cos2x)'2，33D1 141,,, xcos2xsin2x233，D1 14114 ,,xcos2x，sin2x,,xcos2x,(-sin2x)39333 iaxiax1e1e 6(;，其中 (19)sinax,Im[]cosax,Re[]F(ia),0F(D)F(ia)F(D)F(ia) 我们仍考虑例7 y''，y,xcos2x 2ix解:用算子移位原理来转而求解的实数部分即为所求。y''，y,xe 2 因为: F(D),D，1 112ix2ix, 所以有:y=Re[xe]Re[ex]22，，，D1(D2i)1 1142ix2ix,Re[ex],Re[e(--iD)x] 239D，4iD,3 14,Re[(cos2x，isin2x)(-x-i)] 39 14,,xcos2x，sin2x 39 我们不妨再用待定系数法来求解这道题: 2r，1,0 另解: 该方程对应的齐次方程为:，特征方程为:y''，y,0 ,，i,,2i 由于不是特征方程的根，所以应设特解为: * y,(ax，b)cos2x，(cx，d)sin2x 将其代入所给方程，得: (,3ax,3b，4c)cos2x,(3cx，3d，4a)sin2x,xcos2x 比较两端同类项的系数，得 ,3a,1, ,,3b，4c,014, 由此解得:a,,,b,0,c,0,d, ,39,3c,0, ,,3d,4a,0, 14* 于是求得的一个特解为: y,,xcos2x，sin2x39 通过本题可以看出:对形如或 既可以用性质1和5两f(x),xsinaxf(x),xcosax 种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 进行求解，也可以看出算子移位原理应用的广泛性，而传统的待定系数法需要 进行比较复杂的求导运算和解方程组，而算子法恰恰避免了这些缺点，求解过程简单 易懂。 1n 7(f(x),？f(x)dx (其中积分号共n个)。 (20),,nD 证明:由求导是积分的逆运算可知结论成立。 上述例题均选自高等数学教材中，用算子法求解的这些二阶常系数非齐次线性微分方程的特解，与一般教材上讲的用待定系数法相比较在计算方面显得更见简单和快捷，非常利于学生理解和掌握，培养他们学习兴趣也会起到的很大推动作用，对教法的研究如果侧重于我 好的参考，而且对学生的学习提供更大的们常用的优秀教材，不仅对老师的日常教学提供更 方便。 参考文献: [1] 叶彦谦，常微分方程讲义(第二版)[M]。北京:人民教育出版社，1982。 [2] M.R施皮格尔，高等数学的理论与习题[M]，上海:上海科学技术出版社，1978。 [3] 葛正洪，算子法求非齐次常系数线性微分方程组的特解[J]，北方工业大学学报，1998.9:40-46 [4] 李红，用算子法求常系数线性非齐次方程特解[J]，数学学习，1998.2:21-23 [5] 周展宏，求常系数线性非齐次微分方程特解的微分算子级数法[J],高等数学研究，2004.5:28-30. [6] 罗辒逊，高阶变系数线性微分方程的新算子解法[J]，武汉教育学院学报，1996.12:29-32. [7] 汤光宋,求二阶复常系数线性非齐次微分方程特解的公式[J],周口师专学报1997.12:11-13. Operator Method for Special Solution of System of the Second Order Inhomogeneous Linear Differential Equation with Constant Coefficients LI Shao-gang DU Fu-jian XU An-nong (Dept. of Computing Science and Math ，Guilin University of Electronic Technology，Guilin，541004, China) Abstract:Based on the differential operator ,this paper not only introduce the character of the second order differential operator and some popular formulas for solving the second order inhomogeneous linear differential equation with constant coefficient ,but also prove the most formulas ,in the end, we show its concrete applications in solving the problem with some example, which demonstrates that this method can make the solution of the second order inhomogeneous linear differential equation with constant coefficient be much easier and more convnient. Key words:linear differential operator inhomogeneous differential equation special solution