关于欧拉求和函数的微分及应用

关于欧拉求和函数的微分及应用 第31卷第1期安徽理工大学(自然科学版) 2011年3月JournalofAnhuiUniversityofScienceandTechnology(NaturalScience) Vol_31No.1 Mar.2011 关于欧拉求和函数的微分及应用 李有成 (渭南职业技术学院师范教育系,陕西渭南714000) 摘要:针对文献[1]中的一些重要结论,在Hurwitzzeta函数部分和的积分渐进公式 研究的基 础上,研究了欧拉求和函数的推广的微分问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 .采用解析数论中函数和级数的积分 方法,对于 Hurwitzzeta函数部分和进行微分,得出了欧拉求和函数推广公式的一阶和二阶微 分公式,即 定理1和定理2,将其结论进行应用,推出了关于级数和积分的五个恒等式,即推论 1,推论2 和推论3. 关键词:欧拉求和;级数;微分;Zeta一函数. 中图分类号:O156.4文献标识码:A文章编号:1672—1098(2011)01—0013一o4 DifferentialofEulerSummationFunctionandItsApplication LIYou—.cheng (DepartmentofNormalEducation,WeinanVocationalTechnicalCollege,WeinanShaanxi, 714000,China) Abstract:Aimingatsomeimportantconclusionsinreference[1],differentialofEulersumma tionfunctionpro— motionwasstudiedbasedonHurwitzZetafunctionpartialsumandintegralasymptoticformu la.Byusingintegral methodoffunctionandseriesinanalyticnumbertheory.partialsumofHurwitzzetafunctionw asdifferentiated, andthefirstandsecondorderdifferentialformulaofEulersummationfunctionpromotionfor mula,namelyTheo— rem1andTheorem2wereobtained.Theconclusionswereappliedtoeducefiveidentitiesofse riesandintegral, thatisCorollary1,Corollary2andCorollary3. Keywords:Eulersummation;series;differential;Zeta—function 在文献[1]中,研究了Zeta函数及其相关函数 的一些积分渐近公式,得出了有研究价值的恒等式 和积分公式,这些公式主要通过解析数论中Zeta 函数的应用得出的,方法很麻烦.文献[2—7]研 究了Hurwitzzeta函数部分和的积分渐进公式,估 计了文献[1]中一些重要结论.文献[8]给出了欧 拉求和函数的推广公式,(,口)=?(n+n)",0?n< 本文以这个结论作为命题,得出了欧拉求和函数 推广公式的一阶和二阶微分公式,(,n)= ?(n+口)log~(n+?),k=1,2 利用这个结论直接得出文献[1]中许多重要 结论. 1命题 设(,.)=?(n+n)",其中u,口是复变0?n? 量,在Re(M)<0,n?一a下,对于任意Z?N(f> Re()+I)和任意?0有 收稿日期:2011—01—13 基金项目:陕西省自然科学基金资助项目(2010JMlO09) 作者简介:李有成(1965一),男,陕西渭南人,副教授,学士,研究方向:数论. 14安徽理工大学(自然科学版)第31卷 厶?=毫~XxXx+ ?圹+ f1(+n)"+(_u'n)u?,(1) 【log(+8)一(口)=一1 其中r(s)表示函数,(口)表示高斯双函数: )=(2) = 圭r=l 一 当一?,进一步在式(1)中=0,对于u ?一1,l为任意自然数,满足l>Re(u)+1.积分 表示 ~(-tt,a一1+1_童r=l(: (一1)"fl 1f0 ()(f+.)"一d,(4) 在以下的定理中,假设l>Re(tt)+1. 2定理及其证明 对于命题进行应用,得到下面两个重要定理. .()+J(,口)?纠定理1对于任意复数"和'有 tlog(x十口)一(口)u=一1 ,.)=): .(n=毫+0)…" [(?+1)一?(u+2一r)+l.g(+口)]l+ ?_l{川)川_f)]+log训+ J"log).南一u#-I(5) 【1{log(+n)}+(口)"=一l 其中y(.)=一1l.g口一毫等口((1)一(r)+l.g(+口)+l.g(+n))一 .? fBl()(,+口)+(1og(1+口)+(1)一(1+1))dtJ0 当=一l时,(u+1)一("+2一r)=一毫1=(1)一(z+1),= - 1)(卜…,=? 定理2对于任意复数u和a>0,有 '0)=壹r=l 一?((+1)一d/(u+2-r)+log(…+ u+1)(u+2_r))+?(—等((+1)1-f)+ 第1期李有成:关于欧拉求和函数的微分及应用l5 |og(t+a))+(u+1)一(M+1)一1)dt+ l.g(+n)一.g(+.)一 l.g(+.)一+(一u,n)u#-I 其中(n)=一了1l.gn+圭r=l B , r a-r((1oga+(1)一(r))+(y)一(1))+ J.雷(t)(f+n){?(1)一O(t+)+.g2(t+口)+(+)一()}d 下面给出定理的证明. 在定理的证明中,充分利用欧拉求和推广公式,首先引入一个引理. 引理1在闭区问[a,b](a<b)上EC,则 . 丕r壹=lBr)???]+胁tf)( (6) 首先证明定理1. 当M?一1 ()=(+1)川_r)) (…(+1)-r)…+1+ (+.u-r+,l.g(+.)(7) ((,+_』)=(+1)"+1.f)+log(…))(… (8) 由式(1)得 (,.)= r 壹=l (- ,1 1)r()((+nu-r+,)+ (?(~-tdt)+1+llog(…)一 ' (+n)"一(一,.)(9) 将式(7)和式(8)代Ax-~(9),得到定理1(u?一1). 当=,1,选择)=(t+a)log(t+a)在弓I理1中.'()=(一1)!(十a)一一(1og(t十.)+ tf,(1)一(后+1)).推出 ,=l.g.(+.)一11.gn(10) 16安徽理工大学(自然科学版)第3l卷 壹r=l?=一毫/-og(…)一茎 毫)(r_()r)+log r 童= l )(0)=一 r 圭=l 1 , B(1)一)+l0 胁=?? 一 )(t+口)(1.g(+口)一l寺)d—)(+n)(1.g(t+.)一薹寺) 把式(10),式(13)代入式(6),得到定理1("=一1). 定理2的证明可以类似定理1的证明,这里不在证明. 3结论的应用 通过命题和定理,得到一些级数和积分恒等式. 推论1把u=一1,=0,l=2n+1代入式(1) 口,一-1()=圭r=0 - 1 厂 /一 r+ 胁…)-l-~dt+loga-) (口)=l.g.一1n,一 圭r=2 B u , r .一+)(+.)士 ,?,?? fJ(f)(f+口)-1dt?fI()I(f+n)I1dt<cft-l-Idt=0(Re(a))J0J0d0 一一 薹+D(R) 推论2把l=1,=1一n(2<n?N)代入式(4)得: -l'.一1口2+B1a1-n+(1d ("+1.2一'n)) 一 ) 推论3把":一,a:1,:?代人式(3),当??时,三一,(?,口)=1一+-1-$+() )=砉1一1一一nz=l )=(砉一1,一1-s+1n一')z=2(18) (s)=一 lim( ? 尼一一 1-$ 一 1一 + 1n一】一 1(s+1)(s+2)/7, - ~-3)z=3(19) (下转第24页) ,,,,,) ?.??????? 安徽理工大学(自然科学版)第3l卷 [4] [5] 方晓航,仇荣亮.有机螯合剂在镍污染土壤植物修复[6] 中的研究进展[J].环境污染治理技术与设备,2002, 3(10):l一5. 国家环境保护总局,国家技术监督局.GB15618-- 1995土壤环境质量 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 [S].北京:中国标准出版 社,1995 (上接第l6页) 参考文献: HMSRIVASTAVA.JUNESANGCHOI.SeriesAssoci. atedththeZetaandRelatedFunctions『M].Kluwer AcademicPublishers,Dordreeht,Boston,andLondon, 2oo1. SKANEMnU.HKUMAGAI.MYOSHIM0T0.Sums involvingtheHurwitzzetafunction[J].Ramanujan, 20ol(5):5—19. H—LLI.OngeneralizedEulerconstantsandaninte一 relatedtothePiltzdivisorproblem[J].Siaulai Math.Phys.Sem.,2005(8):8l一93. H—LU,MHASHISM0T0,SKANEMITSU.Some examplesoftheHurwitztransform[J].J.Math.Sec. Japan,2009,61:651—660. H—LU,SKANEM?.SU,HTSUKADA.Modularre— lationinterpretationoftheseriesinvolvingtheRiemann [6] E7] [8] 何明清.土壤与固体废物监测技术问答[M].北京: 化学工业出版社,2006:15—16. (责任编辑:李丽,范君) zetavalues[J].Proc.JapanAcad.Set.A.Math. Sci.,2008,84:154—158. KCHAKRAB0RTY,SKANEMITSU.H—LLI.On thevaluesofaclassofDiriehletseriesatrationalargu— ments[J].Proc.Amer.Math.Soc.,2010,128(4): 1223—1330. H—LU,JMA,W—PZHANG.OnsomeDiophan- fineFourier[J].ActaMath.SinieaEnglishSeries, 2010,25(6):1125—1132. SKANEMITSU.YTANIGAWA,MYOSHIMO1D.On DirichletLfunctionvaluesatrationalarguments[J]. LectureNotesSeriesoftheRamanujallMath.Soc.. 2004(1):3l一37. (责任编辑:何学华) ]1J1j1J1JI=I