定积分在几何中的应用
1(7(1定积分在几何中的应用
巨野一中 田秀萍 【学习目标】
1、深刻理解定积分的几何意义及微积分基本定理。
2、掌握利用定积分求曲边图形面积的几种常见题型及方法。 【学习重点】
应用定积分解决平面图形的面积，在解决问题的过程中体验定积分的价值。 【学习难点】
把平面图形的面积问题化归为定积分问题，恰当选择积分变量和确定被积函数。 【预习提纲】
一、复习回顾:
b1、定积分的几何意义: f(x)dx,a
它是介于___轴，函数的图像及两条直线____________________之间的f(x)
各部分面积的_____________。(在x轴上方的面积取_____号，在x轴下方的
面积取____号。)
2、微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式):
b'f(x)是区间上的连续函数，并且，则________。 f(x)dx,F(x),f(x),,a,b,a
二、自学导拨:
1、定积分在几何中的应用
y,f(x)f(x),0x,a,x,b(a,b)(1)由一条曲线(其中)与直线以及x轴所
围成的曲边梯形的面积S=___________。
y,f(x)f(x),0x,a,x,b(a,b)(2)由一条曲线(其中)与直线以及x轴所
围成的曲边梯形的面积S=___________。
y,f(x),y,g(x)f(x),g(x)x,a,x,b(a,b)(3)由两条曲线(其中)与直线
以及x轴所围成的曲边梯形的面积S=___________。
(4)求一些曲边图形的面积可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，
但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数的y,sinx,x,,,0,2,
图像与x轴围成的图形的面积为_____，而其定积分为_____。 2、利用定积分求平面图形面积的方法与步骤:(自己试着用简练的语言概括)
【例题精析】
22例1:计算由曲线所围图形的面积S. y,x,y,x
2变式练习:计算曲线与直线y,x，1所围图形的面积. y,x，1
思悟小结:用定积分求平面图形面积的步骤是什么?用了什么数学思想?
例2、计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S. y,x,4y,2x
y
4
2
O 42 8 思考:本题还有其他解法吗,如果有，请写出你的解法，并比较一下这些解法。
2y,x,4变式练习:计算由直线和曲线所围图形的面积S. y,2x
思悟小结: 当不能直接用定积分计算平面图形的面积时，我们采用了什么办法,体现了什么数学思想,
【本课小结】:记下你的所思所悟:
通过今天的学习，你在知识上有哪些收获,在解题方法上有哪些收获,
【巩固练习】
21、直线与抛物线所围成的图形面积是( ) y,2x，3y,x，3
28434A、20 B、 C、 D、 333
32、曲线与直线所围成的图形的面积等于( ) y,xy,x
11103333A、 B、 C、2 D、2 (x,x)dx(x,x)dx(x,x)dx(x,x)dx,,,,,,,1101
3,，，3、曲线与坐标轴围成的图形的面积是( ) y,cosx(x,0,),,2，，
5A、4 B、2 C、 D、3 2
a1(2x，)dx,3，ln24、若，则a的值为( ) ,1x
A、4 B、2 C、6 D、3
2235、由两曲线与围成的图形面积是，求c的值。 y,xy,cx(c,0)3
126、曲线与直线x=2,y=0所围图形的面积。 y,,y,xx
【课下探究】例2中，如果自交点(8,4)向y轴引垂线，y的取值范围是什么,
围成图形的左右边界对应的函数在该范围内变化了吗,由此，是否
能找到解决例2的新的方法,
【本节作业】:课本60页A组1题;B组3题。
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