极限法则大全
从而有 B - A = | B - f(x) + f(x) - A | <= | f(x) - B | + | f(x) - A | <2ε，B - A<2ε(即B =A)与假设A < B矛盾。
证明定理5的推论1:因为Lim f(x) = A，所以由极限定义，对正数ε, 存在 δ1 > 0,适合不等式 0 < | x - x0 | < δ1 的一切x所对应的 f(x), 恒有 | f(x) - A | <ε，所以有A-ε< f(x)
0,适合不等式 0 < | x - x0 | < δ2 的一切x所对应的 f(x), 恒有 | f(x) - A | <ε,又ε=A/2,带入不等式，去绝对值得A/2< f(x) <3A/2
(根据题目要求,可对极限定义中ε取需要的值,然后消掉ε得证新结论)
上边用极限定义证明过程，就是将极限转化为不等式表示
方法
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，然后利用绝对值性质，得到新的绝对值不等式，
无穷小也是一种极限为零的函数，同样可以用极限定义来证明无穷小一些定理
一、无穷小运算法则
定理1.
证:
,,,0,
,,0,x,x,,,,min,,,,012
(根据ε任意性，将极限定义中ε，变为ε/2 )
有限个
说明:
例如～
( P56 , 题4 (2) )
上题是求无限个无穷小的和极限,不能直接使用极限和的法则,因为极限和法则
nn1111limlim，，,,,，lim()n,,只使用有限个和,(举例=0,因为=,因为,,如果,0n,,n,,n,,nnnnnn
111，，,,,，lim()用极限加法法则,那么=0,为何不对,因为极限加法,乘法四则运算法则只n,,nnn
使用有限项和或积情形.)
求无限个无穷小的和极限先要用数学方法把无限项合并为有限项,然后用夹逼定理求极限 ,本题运用数学缩、放,把无限项分母统一,得到缩小的和,放大的和,缩、放后两个和都存在极限，而且缩、放后两个和极限等于1，则原来无限项之和极限等于1.
下面利用极限定义推出极限四则运算法则
一个函数极限存在,一个函数极限不存在,请问他们相加后和相乘后极限是否存在?举例说明
设(n趋于+?，-?，?，x0，的符号省略了),limAn=A,limBn=B,则有 法则1:lim(An+Bn)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An?Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)
首先看一下极限的定义: 如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n,N的一切Xn,不等式|Xn-A|,ε都成立, 则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.
根据这个定义,首先容易证明: 引理1:limC=C. (即常数列的极限等于其本身) 因为|Xn-A|=|c-c|,ε，所以常数列也是一种函数,它的极限等于其本身
法则1设limAn=A,limBn=B,则有lim(An+Bn)=A+B的证明: ?limAn=A, ?对任意正数ε,存在正整数N?,使n,N?时恒有|An-A|,ε.?(极限定义) 同理对同一正数ε,存在正整数N?,使n,N?时恒有|Bn-B|,ε.?
},由上可知当n,N时??两式全都成立. 设N=max{N?,N?
此时|(An+Bn)-(A+B)| =|An-A)+(Bn-B)| ?|An-A|+|Bn-B| (绝对值不等式性质公式 所以|(An+Bn)-(A+B)|,ε+ε =2ε. (由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数. ) 即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n,N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|,2ε. 由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B. (极限定义中任意性ε.在证明中运用)
分析
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证明函数和的极限思路:
把已知limAn=A,limBn=B,，转化为两组条件不等式组
对任意正数ε,存在正整数N?,使n,N?时恒有|An-A|,ε.?(极限定义) 对同一正数ε,存在正整数N?,使n,N?时恒有|Bn-B|,ε?
再N=max{N?,N?}假设下得当n,N时??两式全都成立条件不等式. 再根据绝对值不等式性质公式运算得
|(An+Bn)-(A+B)| =|An-A)+(Bn-B)| ?|An-A|+|Bn-B|ε+ε =2ε.
因为ε是任意小,所以Mε也是任意小(M为常数),把limAn=A,用不等式表示时,可以根据证明需要表达成:对任意正数Mε,存在正整数N1,使n,N1时恒有|An-A|,Mε
小结:所有已知两个函数具体极限值，那么两个函数和的极限定义证明过程,都与上边系统。如果不要求用定义证明,可以直接运用加法法则求出函数和的极限.(注意加法法则适用范围:有限项函数和).
lim()fxlim()gxlim()hxxx,0例如?如果各函数极限存在=a，=b，=c，那么和极限存xx,0xx,0xx,0
lim[()()()]fxgxhx，，在=a+b+c xx,0
lim()hxlim()fxlim()gx例如(2)如果=a，=b，=c，那么和极限xx,1xx,2xx,3
lim[()()()]fxgxhx，，不存在 xx,0
(3)法则1逆命题:设有lim(An+Bn)=A+B则limAn=A,limBn=B,举例说明逆命题是否成立(4种情况)
(4)一个函数极限存在,一个函数极限不存在,请问他们相加后极限是否存在?举例说明，它可以用法则2证明
为了证明法则2,先证明1个引理.
引理2:若limAn=A,则lim(C?An)=CA.(C是常数)
证明:?limAn=A,
?对任意正数ε,存在正整数N,使n,N时恒有|An-A|,ε.?(极限定义) ?式两端同乘|C|(不等式两边不能乘c，因为c可正可负),得: |C?An-CA|,Cε. 由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.
即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n,N时恒有|C?An-CA|,Cε. 由极限定义可知,lim(C?An)=CA. (若C=0的话更好证)
法则2的证明:
lim(An-Bn) =limAn+lim(-Bn) (法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B.
lim[()]fxaxb，，lim[()]fxax，例如(1)已知=c，(未告知f(x)的表达式)，求是否有x,,x,,
lim()fx极限，是否有极限 x,,
lim[()]fxaxb，，lim,b(解因为，的极限等于c，，常函数-b的极限=-b，x,,x,,x,,x,,
lim[()]fxax，所以两个函数和=c-b， x,,
lim[]axb，lim[()]fxaxb，，axb，x,,x,,同理因为,函数的极限不存在，，的极限x,,x,,
lim[(())()]fxaxbfx，，,lim()fx等于c，如果两个函数差的极限存在。那么极限存在,x,,x,,
lim[]axb，axb，x,,但是,函数的极限不存在 x,,
为了证明法则3,再证明1个引理.
引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An?Bn)=0.
证明:?limAn=0,
?对任意正数ε,存在正整数N1,使n,N1时恒有|An-0|,ε.?(极限定义) 同理对同一正数ε,存在正整数N2,使n,N2时恒有|Bn-0|,ε.? 设N=max{N1,N2},由上可知当n,N时??两式全都成立.
此时有|An?Bn| =|An-0|?|Bn-0| ,ε?ε =ε?.
由于ε是任意正数,所以ε?也是任意正数.
即:对任意正数ε?,存在正整数N,使n,N时恒有|An?Bn-0|,ε?. 由极限定义可知,lim(An?Bn)=0.
法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B. 则liman=lim(An-A) =limAn+lim(-A) (法则1) =A-A (引理2) =0.
同理limbn=0.
?lim(An?Bn) =lim[(an+A)(bn+B)] =lim(an?bn+B?an+A?bn+AB) =lim(an?bn)+lim(B?an)+lim(A?bn)+limAB (法则1，因为an?bn、B?an、A?bn、AB各分部有极限，那么和的极限等于各分部的极限，)
0+B?liman+A?limbn+limAB (引理3、引理2) =
=B×0+A×0+AB (引理1)
=AB.
(1)法则3的逆命题，如果函数积的极限lim(An?Bn)存在，那么因子的极限lim(An)、 limBn是否存在。(4种情况分别举例)
(2)法则3的逆否命题，如果函数积的极限lim(An?Bn)不存在，那么因子的极限lim(An)、 limBn是否存在。(4种情况分别举例)
(3)如果函数积的极限lim(An?Bn)存在，因子的极限lim(An)存在，那么 limBn是否存在。(2种情况举例说明，结合定理5)
法则4的证明:
lim(An的k次方) =limAn?lim(An的k-1次方) (法则3)
....(往复k-1次) =(limAn)的k次方 =A的k次方.
法则5
定理5 .
证:
,,,
1,B(B，,)无穷小有界f(x)A,,，,g(x)B,112x,:(x),,0B，,g(x)B(详见P44)
(1)法则5的逆命题，如果函数商的极限lim(An/Bn)存在，那么因子的极限lim(An)、 limBn是否存在。(4种情况分别举例)
(2)法则5的逆否命题，如果函数商的极限lim(An?Bn)不存在，那么因子的极限lim(An)、 limBn是否存在。(4种情况分别举例)
(3)如果函数商的极限lim(An?Bn)存在，因子的极限lim(An)存在，那么 limBn是否存在。(注意定理5中B不等于0的条件)
浙公网安备 33021202002483