[中考数学]三角形的边、角、高、中线、角平分线

[中考数学]三角形的边、角、高、中线、角平分线 一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1. (2011江苏连云港，5，3分)小华在电话中问小明:“已知一个三角形三边长分别是4， 9，12，如何求这个三角形的面积,小明提示说:“可通过作最长边上的高来求解.”小华 根据小明的提示作出的图形正确的是( ) A、 B、 C、 D、 考点:三角形的角平分线、中线和高;三角形的面积。 分析:由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角 形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上( 222解答:解:?4+9=97,12， ?三角形为钝角三角形， ?最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上( 故选C( 点评:本题考查了三角形高的画法(当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部，当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部，当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形内部，一条高在内部( 2. (2011台湾，23，4分)如图，三边均不等长的?ABC，若在此三角形内找一点O，使得?OAB(?OBC(?OCA的面积均相等(判断下列作法何者正确( ) A(作中线错误～未找到引用源。AD，再取错误～未找到引用源。AD的中点O B(分别作中线错误～未找到引用源。AD(错误～未找到引用源。BE，再取此两中线的交点O C(分别作错误～未找到引用源。AB(错误～未找到引用源。BC的中垂线，再取此两中垂线的交点OD(分别作?A(?B的角平分线，再取此两角平分线的交点O 考点:三角形的重心;三角形的面积。 专题:证明题。 分析:根据三角形重心的性质，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，利用三角形面积公式即可解答此题( 解答:解:别作中线AD(BE，再取此两中线的交点O， ?O为?ABC的重心， ?S,S,S， ?OAB?BOC?OCA ?B正确( 故选B( 点评:此题主要考查学生对三角形的重心和三角形面积等 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 的理解和掌握，难度不大，解答此题的关键是准确掌握三角形重心的定义( 3. 如图，在?ABC中E是BC上的一点，BC=2BE，点D是AC的中点，设?ABC，?ADF， ?BEF的面积分别为S，S，S，且S=12，则S-S=( ) ??????ABCADFBEFABCADFBEF A、1 B、2 C、3 D、4 考点:三角形的面积( 分析:本题需先分别求出S，S再根据S-S=S-S即可求出结??????ABDABEADFBEFABDABE果( 解答:解:?S=12， ?ABC BC=2BE，点D是AC的中点， ?S= 13×12=4， ?ABE S= 12×12=6， ?ABD ?S-S， ??ABDABE =S-S， ??ADFBEF =6-4， =2( 故选B( 点评:本题主要考查了三角形的面积计算，在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化是本题的关键( 4. (2011，台湾省，23,5分)如图，G为?ABC的重心，其中?C=90?，D在AB上，GD?AB(若AB=29，AC=20，BC=21，则GD的长度为何,( ) A、7 B、14错误～未找到引用源。 C、错误～未找到引用源。 D、错误～未找到引用源。 考点:三角形的重心。 专题:计算题。 分析:连接AG、BG，根据重心的性质可知，S=错误～未找到引用源。S，再根??ABGABC据三角形面积的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示方法，列方程求解( 解答:解:连接AG、BG， ?G为重心，?S=错误～未找到引用源。S，即错误～未找到引用源。×AB×GD=??ABGABC ×错误～未找到引用源。×BC×AC， 错误～未找到引用源。 错误～未找到引用源。×29×GD=错误～未找到引用源。×错误～未找到引用源。×21×20，29×GD=7×20，解得GD=错误～未找到引用源。( 故选C( 点评:本题考查了三角形重心的性质(三角形的重心是三角形三边中线的交点，根据中线平分面积，重心将中线分为1:2两部分求解( 5. (2011，台湾省，28,5分)如图，锐角三角形ABC中，BC,AB,AC，小靖依下列方法作图: (1)作?A的角平分线交BC于D点( (2)作AD的中垂线交AC于E点( (3)连接DE( 根据他画的图形，判断下列关系何者正确,( ) A、DE?AC B、DE?AB C、CD=DE D、CD=BD 考点:作图—复杂作图;角平分线的性质;线段垂直平分线的性质。 专题:作图题;综合题。 分析:根据作法作图，及角平分线与中垂线的性质作答( 解答:解:依据题意画出右图 可得知?1=?2，AE=DE， ??2=?3， ??1=?3，即DE?AB( 故选B( 点评:考查了复杂作图及角平分线与中垂线的性质，由等量代换得出内错角相等是解题的关键( 6. 如图，?ABC的外角?ACD的平分线CP与内角?ABC平分线BP交于点P，若?BPC=40?，则?CAP= 50?( 考点:角平分线的性质;三角形内角和定理;三角形的外角性 质( 分析:根据外角与内角性质得出?BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形 全等的判定，得出?CAP=?FAP，即可得出答案( 解答:解:延长BA，做PN?BD，PF?BA，PM?AC， 设?PCD=x?， ?CP平分?ACD， ??ACP=?PCD=x?，PM=PN， ?BP平分?ABC， ??ABP=?PBC，PF=PN， ?PF=PM， ??BPC=40?， ??ABP=?PBC=(x-40)?， ??BAC=?ACD-?ABC=2x?-(x?-40?)-(x?-40?)=80?， ??CAF=100?， 在Rt?PFA和Rt?PMA中， PA=PA，PM=PF， ?Rt?PFA?Rt?PMA， ??FAP=?PAC=50?( 故答案为:50?( 点评:此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等 知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键( 二、填空题 1. (2011南昌，15，3分)如图，在?ABC中，点P是的?ABC的内心，则?PBC+?PCA+?PAB= 90 度( 点:三角形的内切圆与内心. 考 专题:计算题. 分析:根据三角形的内心的定义知内心是三角形三角平分线的交点，根据三角形内角和定理可以得到题目中的三个角的和( 解答:解:?点P是的?ABC的内心，?PB平分?ABC，PA平分?BAC，PC平分?ACB，??PBC+?PCA+?PAB=90?，故答案为:90? 点评:本题考查了三角形的内心的性质，解题的关键是正确的理解三角形的内心的定义，是三角形三内角的平分线的交点( ，1,64:2. (2011陕西，12，3分)如图，AC?BD，AE平分?BAC交BD于点E ，若， ，2,则 ( 考点:平行线的性质。 分析:由AC?BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得?B的度数;由邻补角的定义， 求得?BAC的度数;又由AE平分?BAC交BD于点E，即可求得?BAE的度数，根 据三角形外角的性质即可求得?2的度数( 解答:解:?AC?BD， ??B=?1=64?， ??BAC=180?,?1=180?,64?=116?， ?AE平分?BAC交BD于点E， 1??BAE=错误～未找到引用源。?BAC=58?， 2 ??2=?BAE+?B=64?+58?=122?( 故答案为:122?( 点评:此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义以及三角形外角的性质(题目难度不大，注意数形结合思想的应用( 3. 如图，?ABC的外角?ACD的平分线CP与内角?ABC平分线BP交于点P，若?BPC=40?，则?CAP= 50?( 考点:角平分线的性质;三角形内角和定理;三角形的外角性质( 分析:根据外角与内角性质得出?BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形 全等的判定，得出?CAP=?FAP，即可得出答案( 解答:解:延长BA，做PN?BD，PF?BA，PM?AC， 设?PCD=x?， ?CP平分?ACD， ??ACP=?PCD=x?，PM=PN， ?BP平分?ABC， ??ABP=?PBC，PF=PN， ?PF=PM， ??BPC=40?， ??ABP=?PBC=(x-40)?， ??BAC=?ACD-?ABC=2x?-(x?-40?)-(x?-40?)=80?， ??CAF=100?， 在Rt?PFA和Rt?PMA中， PA=PA，PM=PF， ?Rt?PFA?Rt?PMA， ??FAP=?PAC=50?( 故答案为:50?( 点评:此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键( 4. (2011•贵港)在?ABC中，?A=30?，?B=55?，延长AC到D，则?BCD= 85 度( 考点:三角形的外角性质。 分析:根据三角形外角的性质，即可推出?BCD=?A+?B，即可推出结论( 解答:解:??ABC中，?A=30?，?B=55?， ??BCD=?A+?B=85?( 故答案为85?( 点评:本题主要考查三角形外角的性质，关键在于推出?BCD=?A+?B，认真的计算( 5. (2011•西宁)如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，?1=30?，?3=20?，则?2= 50? ( 考点:平行线的性质;三角形的外角性质。 专题:综合题。 分析:先根据三角形的外角性质求得?4的度数，再根据平行线的性质即可求解( 解答:解:由三角形的外角性质可得?4=?1+?3=50?， ??2和?4是两平行线间的内错角， ??2=?4=50?( 故答案为:50?( 点评:本题综合考查了三角形的外角性质和平行线的性质，得到?4的度数是解题的关键 6 (2011湖州，12，4分)如图:CD平分?ACB，DE?AC且?1=30?，则?2= 60 度( 考点:平行线的性质;角平分线的定义. 专题:计算题. 分析:已知CD平分?ACB，DE?AC，可推出?ACB=?2，易求解( 解答:解:?CD平分?ACB，??ACB=2?1;?DE?AC，??ACB=?2; 又??1=30?，??2=60?( 点评:本题应用的知识点为两直线平行，同位角相等;角平分线的定义( 7. (2011•鄂州)如图，在?ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设?ABC，?ADF，?BEF的面积分别为S，S，S，且S=12，则S?ABC?ADF?BEF?ABC?ADF,S= 2 ( ?BEF 考点:三角形的面积。 分析:S,S=S,S，所以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面?ADF?BEF?ABD?ABE 积即可，因为EC=2BE，点D是AC的中点，且S=12，就可以求出三角形ABD的面?ABC 积和三角形ABE的面积( 解答:解:?点D是AC的中点，S=12， ?ABC ?S=错误～未找到引用源。×12=6( ?ABD ?EC=2BE，S=12， ?ABC ?S=错误～未找到引用源。×12=4， ?ABE ?S,S=S,S=6,4=2( ?ADF?BEF?ABD?ABE 故答案为:2( 点评:本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出差( 8. (2011海南，17，3分)如图，在?ABC中，AB,AC,3cm，AB的垂直平分线交AC于点N，?BCN的周长是5cm，则BC的长等于 cm( 考点:线段垂直平分线的性质。 专题:计算题。 分析:由AB的垂直平分线交AC于点N，根据线段的垂直平分线的性质得到NA,NB，而BC，BN，NC,5cm，则BC，AN，NC,5cm，由AC,AN，NC,3cm，即可得到BC的长( 解答:解:?AB的垂直平分线交AC于点N， ?NA,NB， 又??BCN的周长是5cm， ?BC，BN，NC,5cm， ?BC，AN，NC,5cm， 而AC,AN，NC,3cm， ?BC,2cm( 故答案为:2( 点评:本题考查了线段的垂直平分线的性质:线段的垂直平分线的点到线段两端点的距离相等;也考查了三角形周长的定义( 9. (2011湖北随州，8，3)如图，?ABC的外角?ACD的平分线CP与内角?ABC平分 线BP交于点P，若?BPC,40?，则?CAP, 50? ( 考点:角平分线的性质;三角形内角和定理;三角形的外角性质。 分析:根据外角与内角性质得出?BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出?CAP,?FAP，即可得出答案( 解答:解:延长BA，做PN?BD，PF?BA，PM?AC，设?PCD,x?， ?CP平分?ACD，??ACP,?PCD,x?，PM,PN， ?BP平分?ABC，??ABP,?PBC，PF,PN，?PF,PM， ??BPC,40?，??ABP,?PBC,(x,40)?， ??BAC,?ACD,?ABC,2x?,(x?,40?),(x?,40?),80?，??CAF,100?， 在Rt?PFA和Rt?PMA中，PA,PA，PM,PF， ?Rt?PFA?Rt?PMA，??FAP,?PAC,50?( 故答案为:50?( 点评:此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM,PN,PF是解决问题的关键 10. 14、如图，AD?BC，?ABC的角平分线BP与?BAD的角平分线AP相交于点P，作PE?AB于点E(若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为 4( 【考点】角平分线的性质;平行线的性质( 【专题】几何计算题( 【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案( 【解答】解:过点P作MN?AD， ?AD?BC，?ABC的角平分线BP与?BAD的角平分线AP相交于点P，PE?AB于点E， ?AP?BP，PN?BC， ?PM=PE=2，，PE=PN=2，?MN=2+2=4(故答案为:4( 【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质，根据题意作出辅助线是解决问题的关键( 11. (2011湖南长沙，13，3分)如图，CD是?ABC的外角?ACE的平分线，AB?CD， ?ACE,100?，则?A,____________( AD BEC 考点:角平分线 平行线 专题:相交线与平行线 1分析:因为CD是?ACE的平分线，?ACE,100?，所以?ACD,?ACE,50?;2因为AB?CD，所以?A,?ACD,50?( 解答:50? 点评:本题解法不唯一，如可以先由平角定义求得?ACB的度数，再由平角分线定义与平行线性质求得?B的度数，最后由三角形的内角和定理，求得?A的度数( 三、解答题 1. (2011江苏扬州，23，10分)已知:如图，锐角?ABC的两条高BD、CE相交于点O， 且OB=OC， (1)求证:?ABC是等腰三角形; (2)判断点O是否在?BAC的角平分线上，并说明理由。 考点:全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;等腰三角形的判定。 分析:(1)由OB=OC，即可求得?OBC=?OCB，又由，锐角?ABC的两条高BD、CE 相交于点O，根据三角形的内角和等于180?，即可证得?ABC是等腰三角形; (2)首先连接AO并延长交BC于E，由AB=AC，OB=OC，即可证得AE是BC的 垂直平分线，又由三线合一的性质，即可证得点O在?BAC的角平分线上( 解答:解:(1)?OB=OC， ??OBC=?OCB， ?锐角?ABC的两条高BD、CE相交于点O， ??BEC=?BDC=90?， ??BEC+?BCE+?ABC=?BDC+?DBC+?ACB=180?， ??ABC=?ACB， ?AB=AC， ??ABC是等腰三角形; (2)连接AO并延长交BC于E， ?AB=AC，OB=OC， ?AE是BC的垂直平分线， ??BAE=?CAE， ?点O在?BAC的角平分线上( 点评:此题考查了等腰三角形的性质与判定，以及垂直平分线的判定等知识(此题难度不大，注意等角对等边与三线合一定理的应用( 2. (2011云南保山，18，8分)如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点， PE?AB，PF?AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗,为 什么, 考点:菱形的判定;角平分线的性质;平行四边形的性质。 分析:首先根据定理:到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得到?DAC=?CAE，然后证明?DAC=?DCA，可得到DA=DC，再根据菱形的判定定理:邻边相等的平行四边形是菱形，进而可得到结论( 解答:解:是菱形( 理由如下:?PE?AB，PF?AD，且PE=PF， ?AC是?DAB的角平分线， ??DAC=?CAE， ?四边形ABCD是平行四边形， ?DC?AB， ??DCA=?CAB， ??DAC=?DCA， ?DA=DC， ?平行四边形ABCD是菱形( 点评:此题主要考查了菱形的判定，证明?DAC=?DCA是解此题的关键( 3. (2011浙江台州，23，12分)如图1，AD和AE分别是?ABC的BC边上的高和中线， DE点D是垂足，点E是BC的中点，规定:λ=错误～未找到引用源。(特别地，当点D(EABE重合时，规定:λ=0(另外，对λ(λ作类似的规定( ABC (1)如图2，在?ABC中，?C=90?，?A=30?，求λ(λ; AC (2)在每个小正方形边长均为1的4×4的方格纸上，画一个?ABC，使其顶点在格点(格点即每个小正方形的顶点)上，且λ=2，面积也为2; A (3)判断下列三个命题的真假(真命题打“?”，假命题打“×”): ?若?ABC中λ,1，则?ABC为锐角三角形; × A ?若?ABC中λ=1，则?ABC为锐角三角形; ? A ?若?ABC中λ,1，则?ABC为锐角三角形( ? ( A 考点:解直角三角形;三角形的角平分线(中线和高;作图—应用与 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 作图( 专题:应用题( 分析:(1)根据直角三角形斜边中线(高的特点进行转换即可得出答案， (2)根据题目要求即可画出图象， (3)根据真假命题的定义即可得出答案( CD解答:解:(1)如图，作BC边上的中线AD，又AC?DC，?λ=错误～未找到引用ABD 源。=1， 过点C分别作AB边上的高CE和中线CF， ??ACB=90?， ?AF=CF， ??ACF,?CAF=30?， ??CFE=60?， EFEF1=?λ==cos60?=错误～未找到引用源。， CAFCF2 (2)如图: (3)?×，??，??( 点评:本题主要考查了直角三角形斜边中线(高的性质以及特殊角的三角 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 值，同时考查了画图，真假命题的判断，比较复杂，难度较大( 4. (2011黑龙江牡丹江，26，9分)在?ABC中，?ACB=2?B，如图?，当?C=90?， AD为?ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD( (1)如图?，当?C?90?，AD为?BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的 数量关系,不需要证明，请直接写出你的猜想: (2)如图?，当AD为?ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关 系,请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明( 考点:全等三角形的判定与性质;角平分线的性质。 分析:(1)首先在AB上截取AE=AC，连接DE，易证?ADE??ADC(SAS)，则可 得?AED=?C，ED=CD，又由?ACB=2?B，易证DE=CD，则可求得AB=AC+CD; (2)首先在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，易证?EAD??CAD，可得ED=CD， ?AED=?ACD，又由?ACB=2?B，易证DE=EB，则可求得AC+AB=CD( 解答:解:(1)猜想:AB=AC+CD( 证明:如图?，在AB上截取AE=AC，连接DE， ?AD为?ABC的角平分线时， ??BAD=?CAD， ?AD=AD， ??ADE??ADC(SAS)， ??AED=?C，ED=CD， ??ACB=2?B， ??AED=2?B， ??B=?EDB， ?EB=ED， ?EB=CD， ?AB=AE+DE=AC+CD( (2)猜想:AB+AC=CD( 证明:在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED( ?AD平分?FAC， ??EAD=?CAD( 在?EAD与?CAD中，AE=AC，?EAD=?CAD，AD=AD， ??EAD??CAD( ?ED=CD，?AED=?ACD( ??FED=?ACB( 又?ACB=2?B，?FED=?B+?EDB，?EDB=?B( ?EB=ED( ?EA+AB=EB=ED=CD( ?AC+AB=CD( 点评:此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理(此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用( 5. (2011年广西桂林，21，8分)求证:角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 已知: 求证: 证明: 考点:角平分线的性质;全等三角形的判定与性质( 分析:结合已知条件，根据全等三角形的判定和性质，推出?POE??POF即可( 答案:21((本题满分8分) 已知:如图，OC是?AOB的平分线，P是OC上任意一点，PE?OA，PF?OB，垂足分 别为E、F 求证:PE=PF 证明:?OC是?AOB的平分线 ??POE=?POF ?PE?OA，PF?OB ??PEO=?PFO 又?OP=OP ??POE??POF ?= PEPF 点评:本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解题的关键在于找到对应角相等、公共边( 6. (2011•青海)认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题( 探究1:如图1，在?ABC中，O是?ABC与?ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现?BOC=90?+错误～未找到引用源。，理由如下: ?BO和CO分别是?ABC和?ACB的角平分线 ?错误～未找到引用源。 ?错误～未找到引用源。 又??ABC+?ACB=180?,?A ?错误～未找到引用源。 ?1+?2)=180?,(90?,错误～未找到引用源。?A) ??BOC=180?,( =错误～未找到引用源。 探究2:如图2中，O是?ABC与外角?ACD的平分线BO和CO的交点，试分析?BOC与?A有怎样的关系,请说明理由( 探究3:如图3中，O是外角?DBC与外角?ECB的平分线BO和CO的交点，则?BOC与?A有怎样的关系,(只写结论，不需证明) 结论: ?BOC=90?,错误～未找到引用源。?A ( 考点:三角形的外角性质;三角形内角和定理。 专题:常规题型。 分析:(1)根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用?A与?1表示出?2，再利用?O与?1表示出?2，然后整理即可得到?BOC与?O的关系; (2)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出?OBC与?OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解( 解答:解:(1)探究2结论:?BOC=错误～未找到引用源。?A， 理由如下: ?BO和CO分别是?ABC和?ACD的角平分线， ??1=错误～未找到引用源。?ABC，?2=错误～未找到引用源。?ACD， 又??ACD是?ABC的一外角， ??ACD=?A+?ABC， ??2=错误～未找到引用源。(?A+?ABC)=错误～未找到引用源。?A+?1， ??2是?BOC的一外角， ??BOC=?2,?1=错误～未找到引用源。?A+?1,?1=错误～未找到引用源。?A; (2)探究3:?OBC=错误～未找到引用源。(?A+?ACB)，?OCB=错误～未找到引用源。(?A+?ABC)， ?BOC=180?,?0BC,?OCB， =180?,错误～未找到引用源。(?A+?ACB),错误～未找到引用源。(?A+?ABC)， =180?,错误～未找到引用源。?A,错误～未找到引用源。(?A+?ABC+?ACB)， 结论?BOC=90?,错误～未找到引用源。?A( 点评:本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要(