时间序列的移动平均预测法
3.2 时间序列的移动平均预测法
由于影响时间序列的因素很多、很复杂，在对时间序列进行预测时，只能抓住主要矛盾。一般地说，只能考虑它的趋势性和周期性，对不规则的扰动应该消除。消除不规则扰动最简单的方法就是取时间序列的算术平均或几何平均。显然，这样的方法太过简单、粗糙。这些方法的实质是数据的过分修匀，即完全不顾数据的扰动及其他特征。对此想法进行修正，有移动平均法(Moving average method)，这种方法就是对数据进行一定程度的修匀，部分消除不规则的扰动。
3.2.1 移动平均法的基本原理
x,x,？,xNN，即样本容量为，有个历史数据。所谓移动平均，是设时间序列为12N
指每次移动地求算术平均值。若每次按个数据移动地求平均值，那么在第时n(1,n,N)t
M点的移动平均值为: t
y11M,x，，x，x,x(？) (3-3) ,ttntti,，1,1nni,t,n，1
M式中，，而作为第时点的移动平均值，即可作为第时点的预测t1,n,t,Nt，1t
y:y,M值。 t，1t，1t
由公式(3-3)可以容易地推出如下迭代公式:
111 (3-4) M,(x，x，？，x，x)，(x,x),M，(x,x)tt,1t,2t,n，1t,ntt,nt,1tt,nnnn
x【例3-6】某商品某年1~11月销售量如表3-1所示。其移动平均计算后也列入表3-1i
(也可按下面的Matlab程序计算)。
表3-1 某商品销售量历史数据及其移动平均值
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4559 57 564 55 61 45 49 46 x i6 0 5
51.655.4558.658 60 53.651.646.6M(n,3)y,46.67t127 3 7 7 7 7 7
55.156.658.556.154.853.3M(n,6)y,53.33t127 7 0 7 3 3
3.2.2 均方差(MSE)检验
显然，取不同的n就有不同的移动平均值，同时也容易看出，当时，移动平1,n,N
M均值随着n的增大，越显均匀(称为修匀)。因此，应该选择一个较为合理的n值来做t
移动平均。选择较为合理n值的方法是:在计算多个移动平均值(对应多个n)后，计算各
MSE自的均方差: ，，n
N12MSE,(x,M) (3-5) ,，，,1nitN,n,，1tn
MSE比较不同的，最小者对应的移动平均值是合适的。这个方法称为均方差检验。，，n
MSE的值反映了移动平均值与历史数据的拟合程度，所以这种挑选方法是合理实际上，，，n
的。移动平均法及其均方差检验以及挑选预测值的Matlab程序(文件名为funmat.m)如下:
funmat.m
function Mt=funmat(x) %输入时间序列x
M=zeros(length(x));
MSE=zeros(1,length(x));
for n=1:length(x)
for t=n:length(x)
for i=t-n+1:t
M(n,t)=M(n,t)+x(i);
end
M(n,t)=M(n,t)/n; %计算移动平均值
end
end
disp ('Moving average matrix:') %矩阵的行为n，列为时间点t
M
for n=2:length(x)-1
for t=n:length(x)-1
MSE(n)=MSE(n)+(x(t+1)-M(n,t))^2; end
MSE(n)=MSE(n)/(length(x)-n); %计算均方差MSE
end
disp ('The smallest MSE and the corresponding n and the forecast:')
MSE(1)=inf;MSE(length(x))=inf;
[MSE,n]=min(MSE), y=M(n,length(x)) %挑选最小MSE及其预测值y
end
对于上面的例子，容易计算得到
>>x=[46,50,59,57,55,64,55,61,45,49,46]; >>funmat(x)
Moving average matrix:
M =
Columns 1 through 7
46.0000 50.0000 59.0000 57.0000 55.0000 64.0000 5.0000
0 48.0000 54.5000 58.0000 56.0000 59.5000 59.5000
0 0 51.6667 55.3333 57.0000 58.6667 58.0000
0 0 0 53.0000 55.2500 58.7500 57.7500
0 0 0 0 53.4000 57.0000 58.0000
0 0 0 0 0 55.1667 56.6667
0 0 0 0 0 0 55.1429
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
Columns 8 through 11
61.0000 45.0000 49.0000 46.0000
58.0000 53.0000 47.0000 47.5000
60.0000 53.6667 51.6667 46.6667
58.7500 56.2500 52.5000 50.2500
58.4000 56.0000 54.8000 51.2000
58.5000 56.1667 54.8333 53.3333
57.2857 56.5714 55.1429 53.5714
55.8750 55.7500 55.6250 54.0000
0 54.6667 55.0000 54.5556
0 0 54.1000 54.1000
0 0 0 53.3636
The smallest MSE and the corresponding n and the forecast: MSE = 45.4167
n = 2
y = 47.5000
可见，选取时的移动平均值较为合适，且第12月份的预测销售量为47.5。移动n,2
平均法的适用范围狭窄，一般针对变化较为平稳，用于短期预测的时间序列。移动平均法的实质是通过求若干个样本观察值的算术平均来消除不规则的、随机的扰动。如果考虑到不同时点值对预测值的影响，那么就有加权移动平均。此外，还可以在移动平均值数列的基础上再作移动平均以期反映出时间序列的长期趋势性。后面的指数平滑法就可以看成为这两种方法的一般描述。
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