1、多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数？这个外角的度数？
解一：任何一个多边形的内角和都是180°的整数倍。 1350°÷180°=7……90° 余数90°就是多加了的外角， 此多边形的内角和是1350°-90°=1260° 设这个多边形的边数是N，则 （N-2）×180°=1260° 解得N=9 是9边形
解二：设多边形的边数为n，某一个外角为α，则（n-2）×180+α =1350，
从而
，因为边数n为正整数，所以α=90，n=9。
解三：设这个外角度数为x，根据题意，得（n-2）×180°+x=1350°，
解得：x=1350°-180°n+360°=1710°-180°n，
由于0＜x＜180°，即0＜1710°-180°n＜180°，
解得8.5＜n＜9.5，所以n=9．故多边形的边数是9．
2、如图1，在△ABC中，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线；
（1）填写下面的
表
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格．
∠A的度数
50°
60°
70°
∠BOC的度数
（2）试猜想∠A与∠BOC之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图2，△ABC的高BE、CD交于O点，试说明图中∠A与∠BOD的关系．
分析
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：（1）由∠A=90°+
∠BOC，代入数值即可求得答案；
（2）由在△ABC中，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，根据三角形的内角和定理即可求得∠OBC+∠OCB的值，然后在△OBC中，再利用三角形的内角和定理，即可求得答案；
（3）由△ABC的高BE、CD交于O点，即可得∠BDC=∠BEA=90°，然后利用同角的余角相等，即可求得∠A与∠BOD的关系．
解：（1）
∠A的度数
50°
60°
70°
∠BOC的度数
115°
120°
125°
（2）猜想：∠BOC=90°+
∠A．
理由：∵在△ABC中，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线；
∴∠OBC=
∠ABC，∠OCB=
∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠OBC+∠OCB=
（∠ABC+∠ACB）=
（180°-∠A）=90°-
∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-
∠A）=90°+
∠A．
（3）证明：∵△ABC的高BE、CD交于O点，
∴∠BDC=∠BEA=90°，
∴∠ABE+∠BOD=90°，∠ABE+∠A=90°，
∴∠A=∠BOD．
3、如图1，在△ABC中OB，OC分别是△ABC外角∠DBC，∠BCE的角平分线，若∠A=x°，求∠BOC度数；
（2）如图2，BO，CO分别是△ABC内角∠ABC与外角∠ACD的角平分线，若∠A=x°，求∠BOC的度数．
分析：（1）根据三角形外角的性质和角平分线的性质表示出两个角的和，求出它们的一半，利用三角形内角和定理表示出来即可；
（2）根据三角形外角的性质和角平分线的性质表示出两角和的一半，用180°减去两角和的一半即可．
解：（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB
=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A=（180+x）°，
∵OB，OC分别是△ABC外角∠DBC，∠BCE的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=
（∠DBC+∠ECB）=
（180+x）°，
∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=（90-
x）°；
（2）∠ACD=∠A+∠ABC且BO，CO分别是△ABC内角∠ABC与外角∠ACD的角平分线，
∴∠OCB+∠OBC=
∠B+∠ABC+
∠ACD=180°-
x°，
∵∠O=180°-（∠OCB+∠OBC）=180°-（180°-
x°）=
x°．
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