基于分数阶PI^λ控制器的单容水箱液位控制
基于分数阶PI^λ控制器的单容水箱液位控
制
第26卷第4期
2011年8月
天津科技大学
JournalofTianjinUniversityofScience&Technology
Vl01.26NO.4
Aug.2011
基于分数阶PI健制器的单容水箱液位控制
蔡国娟,王德进,刘振全
(天津科技大学电子信息与自动化学院,天津300222)
摘要:讨论分数阶PI控制器在单容水箱液位控制中的应用问题,给出了一种基于图解稳定性准则的P1控制器的
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
方法.研究了PI控制器的参数稳定域,然后在稳定域内进行系统性能的设计,并提出具体的设计算法.通过
Matlab仿真和水箱液位控制系统的实际操作实验,对分数阶pi-t~#_制器,整数阶PI控制器和常规Ziegler-Nichols参数
整定方法进行比较,说明了本文设计方法的有效性和分数阶pIa~_q_-*4器的优越性.
关键词:分数阶PI控制器;水箱液位控制系统;图解稳定性准则
中图分类号:TP273文献标志码:A文章编号:1672—6510(2011)04—0057—04 LevelControlofSingleWaterTankBasedon Fracti0nal—OrderPI0ntr011ers
CAIGuo-juan,WANGDe-jin,LIUZhen-quan (CollegeofElectronicInformationandAutomation,TianjinUniversityofScience&Te
chnology,Tianjin300222,China) Abstract:Theapplicationproblemoffractional—
orderPIcontrollerinthelevelcontrolofsinglewatertankwasdiscussed, andadesignmethodofPIcontrollerwasgivenbasedonagraphicalstabilitycriterion.Thepara
metersstabilityregionofPI
controllerwasfirstdetermined,then,theperformancesoftheclosed—
loopsystemwereconsideredinthestabilityregion,and apracticaldesignalgorithmwasproposedalso.ViaMatlabsimulationandthepracticalcontro
ltestinthelevelcontrolof
watertankdevice,thecontroleffectsoffractional—
orderPIcotatrol,theconventionalPIcontrolandtheZiegler-Nicholstun—
ingrulewascompared.Theresultsshowtheeffectivenessofthedesignapproachproposedan
dthesuperiorityoffractional—
orderPIcontrolovertheconventionalPIcontro1.
Keywords:fractional—
orderPIcontroller;levelcontrolsystemsofwatertank;graphicalstabilitycriterion
对分数阶控制系统的研究越来越受到人们的重
视.一方面,分数阶模型是对一类实际被控对象的更
精确的数学模型描述…;另一方面,分数阶控制器可
以取得比整数阶控制器更好的控制效果l2J,无论是对
整数阶被控对象还是对分数阶被控对象.目前,分数
阶控制器有4种类型,即TID控制器J,CRONE控
制器I,PID控制器l5J及分数阶相位超前/滞后补偿
器【6J.文献[7]采用D一分解法研究了分数阶PI和PID
控制器的参数稳定域和性能设计问题.文献[8—10]根
据各种性能指标约束,通过解析法求解分数阶PI和
P控制器的参数,实现参数整定.
本文以单容水箱液位控制系统为工程背景,利用
一
种可应用于分数阶时滞系统的图解稳定性准则研
究分数阶PI控制器的参数稳定域和积分阶次对参
数稳定域的影响,进而在参数稳定域内进行相角裕度 性能设计.文中给出PI控制器的一种图解参数整定 方法,并与常规的Ziegler—Nichols参数整定方法lI【I进 行比较.通过计算机仿真和水箱液位控制实验操作, 验证了本文方法的有效性和优越性,实现了分数阶 PI控制器在液位控制系统中的实际应用. 1单容水箱的建模
众所周知,单容水箱的数学模型可以表示为
O3—29;修回日期:2叭1一O4—25 收稿日期:20l1—
基金项目:国家自然科学基金资助项目(60874028) 作者简介:蔡国娟(1985一),女,吉林白城人,硕士研究生;通信作者:王德进,教
授,wd@n56@sina.com
?
58?
G?=-e乩
式中:k为稳态增益;T为时间常数;L为滞后时间, 一
般是南液体的长管路传输产生.实验装置中水箱 液位的量程为0,50cm.首先将出水阀门同定于某 一
开度,然后采用阶跃响应法【】引,连续做3次同样的 实验,取被测参数的3组实验数据,求其平均值,得 一
阶加滞后模型(1)的参数为
G?=e(2)
2参数稳定域
考虑单容水箱液位控制系统,如图1所示
图1单位反馈控制系统
Fig.1Unityfeedbackcontrolsystems
其中G(s)南式(1)给定,c(s)为分数阶PI控制器. C()=k+klS(3)
式中:k和k分别为比例增益和积分增益;?(O,2) 为积分阶次.如果取=1,就得到常规(整数阶)PI 控制器.图l所示系统的闭环拟多项式为
D(s)=S(Ts+1)+k(kPS+kI)e 两边同乘以.厶,得
D()=S2(Ts+1)e"+k(k+k)(4) 本节的目的是,对同定的积分阶次?(0,2),在 k一k平面,基于一个图解稳定性准则,确定参数稳 定域.为此,令S=i,代入式(4),得
D(jco)=(j(jTco+Dem.+(P(jco)+庀I)(5) 注意到
./t兀..兀
Jcos__一+Jm
将D(j分解为实部和虚部,有
D(j)=D()+j(
其中
Dr(=而cos(Leo+tan..To)+)+ kkpo)~tcos+kk
I
(6)
D()=sin(Leo+tan.'To)+)+ kkpcoASin(7)
天津科技大学26荡第4
显然,式(6)和(7)的D和D.依赖于参数(七,/(,/2, co).假设(,,,)为虚轴的一点,使得
』DrD,尼)=0(8)【
D=D.,
tk~
,
,,)=0
即虚轴仔在根.隐函数仔在定理可,果圩伴可 比(Jacobi)矩阵
=
l
O
a
D
.
~
,/
/
a
O
尼
kpO
a
D
..
,
//Ok,j(9)
非奇异,则南式(6)和(7)解得局部唯一连续解}fl{线
((,k().进一步,有如卜命题:
命题1在k一后参数平面f,沿增加的 向,当detJ~O时,参数曲线(庀(,k.{codf『J!lJ为稳定
的参数区域;而当detJ>011,左侧为稳定的参数
域.其中l,为式(9)定义的雅可比矩阵. 由式(6),式(7)和式(9)可以得刽
detJ:一厅.sin<0,Vco>0,?(0,2)(10) 另一片面,以和09为参畦,解方程组(8)俳 sin(,J+tan71+?)
七=一————__?—(…
疗sln_=『
.
::::?!!?!:.!(12)_一———————————————————?——————
——————一\I'/'
.丁c
走sin二
由于特征方程(5)和时滞子,J均为实数,i魁 式(5)的根,则其复共轭也是(5)的根,昕以只需弩 虑?『0,+oo),划心于两况:=0和(DE(0,+o.). 当09=0时,令D(0)=0,得临界稳定边线
k.=0(13)
而当?(0,+oo)时,式(11)和式(I2)住k一k,面给 出临界稳定边界线的另外一部分,根据命题l,可以 确定该曲线的哪一侧为稳定的参数区域. 3稳定裕度设计
有了参数稳定域,就可以任稳定域IJ,J进仃卡?角裕 度(PM)和幅值裕度(GM)的设计.…于4=?俗度直 接与动态响的超凋棚天,这里}l『沦PM的没 计.设期望的PM为,南PM的定义,传逊
数满足式(14).
J志1el』一4()_】十
蔡娟,等:基于分数阶PI控制器的单容水箱液位控制 其中,,为截止频率.为了获得满意的动态响应,驴 应介于30.60..根据式(14)可以定义如下函数: =?e一o(15)
整理可得:
(j(jTo+1)ej(Lm+k[k~(jco)+k1]=0(16)
比较式(5)和式(16),可以看出两式的唯一差别仅在 于式(16)多一个因子矽.因此,对给定的PM=妒, 上节关于确定参数稳定域的方法完全可以扩展到 PM的情形.类似于式(11)和式(12)的推导,有 sin(++can一To)+)
k=一—————————1——————上(17) sin
2
:一
~oXx/TZco2+1sin(L~+0m +tan-;TO))(18)
n一——————————————————————?—————————
——————一\10,
sin
2
对固定的积分阶次,式(17)和式(18)在k.一k平面 上的稳定域内确定一条满足给定的PM的曲线. 根据上面的讨论,可以提出如下分数阶PI控制 器的设计算法.
算法1给定相角裕度,设计PI控制.
(1)选取?(0,2),并取足够大的,由式(11)和 式(12),在k一k平面上绘制临界稳定参数曲线 (k(,k.().根据式(10)中detJ的符号,由命题1 可判断参数曲线的右侧为稳定域,并结合式(13)得到 封闭的参数稳定域.
(2)给定期望的相角裕度,由式(17)和(18), 在稳定域内绘制相角裕度曲线.根据命题1可判断,
该曲线的右侧为相角裕度大于的参数区域. (3)沿相角裕度曲线,根据期望闭环系统带宽的 要求选择截止频率,并计算出((),k()).对
于幅值裕度,相对稳定裕度的情形可类似讨论. 4仿真与实验
对所建立的单容水箱模型(2),应用算法1进行 分数阶PI控制器的设计,并做Matlab仿真与实际液 位控制实验.
1确定参数稳定域 4.
对单容水箱模型(2),应用公式(11)和(12),在 kp—k平面上,选取不同的分数阶次?(0,2),绘制 PI镳制器的参数稳定域,如图2所示.图中箭头为 增加方向.随的减小,参数稳定域变大,为系统性 能设计提供了更大的空间
?
59?
图2不同的对应的参数稳定域
Fig.2Stabilityregionsfordifferent
本文仅从分数阶PI控制器能有效改善阶跃响 应的瞬态性能的角度,讨论了PI的设计问题.取 0.9,超调量明显减小.再小,超调量会更小.但实际 上,分数阶PI控制器的另一个特点是能显着改善系 统对被控对象增益变化的鲁棒性_9一.J.从改善鲁棒性 的角度出发,积分阶次应相对大一些.这样,动态响 应与鲁棒性之间是相互矛盾的,应折衷考虑.所以, 仿真与实验中,没有选取过小的,而是取=0.9. 由于取=0.9<1,输出响应收敛于终值的速度
要比整数阶积分器1/s为慢.为了克服该问题,分数.11
阶积分器必须这样来实现_9】:=二卜,来保证整数 SS
阶积分器1的积分效果.仿真和实验都验证了这种 实现的有效性.
4.2绘制相角裕度曲线
取=0.9和=1(整数阶PI控制器),给定期望 的相角裕度=45..由式(17)和式(18),在参数稳 定域内绘制相角裕度曲线,如图3所示. 图30.9和1的相角裕度曲线
Fig.3Phasemarginsfor=0.9and1
4.3选择截止频率
根据闭环带宽要求选取截止频率,如图3中 A点,其控制器参数为kp=0.84,k.:0.0088.由于A 点位于:0.9时的相角裕度曲线之内,对于=0.9 ??
O0000OOO0
?
60?
的分数阶PI控制器来说,所达到的相角裕度大于 45.,对应的阶跃响应的超调量明显减小,如图4中 点划线所示.
为了比较,图3中还给出了利用常规Ziegler— Nichols整数阶PI控制器整定公式算出的参数点B, 其控制器参数为k=1.216,k=0.0146.相应的阶跃 响应曲线如图4中实线所示.取后,利用MCGS组 态软件编程,在实际液位控制实验装置上进行液位控 制实验,测得的3种情况下的阶跃响应曲线如图5所 示,与Matlab仿真结果基本一致.
1O
/,\厂,一
0200400
t/s
10
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图4不同参数下的阶跃响应曲线
Fig.4Stepresponsesfordifferentparameters
厂,\
|0200400600800
t,s
(a)=1,k=】.216,k=0.0146(b)=1k=0.84,kI=0.0088
图5不同参数下的实际液位阶跃响应曲线 5结语
f1
fx,
t
Fig.5Actuallevelstepresponsesfordifferentparameters
本文以单容水箱液位控制系统为工程背景,给 了分数阶PI控制器设计的一种方法.将Ziegler. Nichols参数整定方法和本文的PI和PI参数整定方 法进行了比较,说明了本文方法的有效性,特别是采 用PIStil器能有效改善动态响应品质.仿真和实验 都说明,分数阶PI控制器完全可以取代常规PI控制 器,具有广阔的应用前景.
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