第二章 拉氏变换与反变换
拉氏变换解微分方程，可将微积分运算转化为代数运算，且能
表
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明初始条件的影响；采用拉氏变换，能将微分方程方便地转换为系统的传递函数，也便于设计控制系统。
一、拉氏变换的定义
设f(t)是以时间t为自变量的实变函数，
（定义律），那么f(t)拉氏变换的定义为：
（2-1）
式中：S是复变数：
（可用点、向量、三角（指数）表示）
——拉氏积分
F(s)——函数f(t)的拉氏变换，为一复变函数，也称象函数。
f(t)——原函数
L——拉氏变换的符号
拉氏反变换
（2-2）
式中：
拉氏变换的符号
上二式表明：拉氏变换是在一定条件下，能将一个实数域中的实变函数转换成一个在复数域中与之等价的复变函数，反之亦然。
1
单位阶跃函数
二、几种典型函数的拉氏变换
1．单位阶跃函数1（t）的拉氏变换
如图所示，单位阶跃函数定义为
表示在t=0时突然作用于系统的一个幅值为1的不变量。
拉氏变换为：
（2-3）
若幅值为K，则
（2-4）
其反变换为：
（
） （2-5）
2．指数函数
的拉氏变换
（2-6）
（
） （2-7）
3．正弦函数与余弦函数的拉氏变换
（2-8）
（2-9）
1/ε
0 ε
单位脉冲函数
4．单位脉冲函数δ(t)的拉氏变换
如图所示，单位脉冲函数的数学表达式为：
其拉氏变换为
（2-10）
反变换：
5．单位速度函数的拉氏变换(又称斜坡函数)
其拉氏变换为
（2-11）
反变换
（
） （2-12）
6．单位加速度函数的拉氏变换
（2-13）
（2-14）
7.幂函数的拉氏变换
（2-15）
（2-16）
三、拉氏变换的主要定理
1．叠加定理 拉氏变换是一种线性变化
1）齐次性
设
则
（2-17）
式中，
为常数
2）叠加性
令
，
则
（2-18）
也即
2．微分定理
若
则
（2-19）
同理可得
若函数f(t)及其各阶导 数的初始值均为零，则上式可变为：
…
3．积分定理
若
则
（2-20）
式中
——积分
在t=0时刻的值。
当初始条件为零时
对多重积分：
当初始条件为零时
4．延迟定理（实数域中的位移定理）
设
，且t<0时，f(t)=0
则
（2-21）
说明：函数
为原函数f(t)沿时间轴向右平移T。
5．位移定理 （复数域中的位移定理）
设
，则
（2-22）
例：
6．初值定理 表明原函数
时的数值
（2-23）
7．终值定理
设
，且
存在，则
（2-24）
8．卷积定理
设
，
则
（2-25）
式中，卷积
四、应用拉氏变换解线性微分方程
步骤：
1．对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使之成为S的代数方程；
2．解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；
3．用拉氏反变换得到微分方程的时域解。
（一）部分分式法
极点：在控制理论中，常遇到的象函数是S的有理分式（
）
为了将
写成部分分式，首先将
的分母因式分解，则有
式中，
是
的根，称为
的极点。
1．
的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换，
（2-26）
式中，
是待定系数，其求法如下：
再根据拉氏变换的迭加原理，求原函数
例：求
的原函数
解：首先将分母因式分解
2．
含有共轭复数极点时的拉氏反变换
方法：如果
有一对共轭复数极点
，其余极点均为各不相同的实数极点。
将
展开成 ：
式中，
和
可按下式求解
（2-27）
由于（2-27）两边都是复数，令等号两边的实、虚部相等得两个方程式，联立求解即得
，
两常数。
例：已知
，求
解：先因式分解
即
利用方程两边实、虚部分别相等，可得
解得：
，
上式在拉氏变换表上仍然查不到，故将上式再作适当变换；
查表
3．
中含有重极点时的拉氏反变换
设
有r个重根，则
展开
式中，
的求法与单实数极点情况下相同
的求法如下：
……
（2-28）
则
，
例：求
的拉氏反变换
解：先将
展开为部分公式
求系数：
查拉氏变换表得：
（二）用拉氏变换解线性微分方程
例：设系统微分方程为：
若
，初始条件分别为
、
，试求
解：对微分方程左边进行拉氏变换：（利用拉氏变换微分性质）
利用迭加定理有：
=
对方程右边进行拉氏变换：
得：
求待定系数：
代入原式得：
查拉氏变换表得：
当初始条件为零时，得
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