高考试题 模拟新题分类汇编专题D数列（文科）（高考真题 模拟新题）（可编辑）

高考试题 模拟新题分类汇编专题D数列（文科）（高考真题 模拟新题）（可编辑） D 数列 D1 数列的概念与简单表示法 14.D1[2012?上海卷] 已知fx=,各项均为正数的数列an满足a1=1,an+2=fan.若a2010=a2012,则a20+a11的值是________. 14. [解析] 考查数列的递推关系和函数的综合问题,考查考生的推理能力和转化与方程思想. 当n为奇数时,由递推关系可得,a3==,a5==,依次可推得 a7=,a9=,a11=,又a2010=a2012=,由此可得出当n为偶数的时候,所有的偶数项是相等的,即a2=„=a2010=a2012,其值为方程x=,即x2+x-1=0的根,解得x=,又数列为正数数列,所以a20=, 所以a20+a11=. D2 等差数列及等差数列前n项和 19.D2、D4[2012?浙江卷] 已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n?N*,数列bn满足an=4log2bn+3,n?N*. 1求an,bn; 2求数列an?bn的前n项和Tn. 19.解:1由Sn=2n2+n得 当n=1时,a1=S1=3; 当n?2时,an=Sn-Sn-1=4n-1, 当n=1时,也符合 所以an=4n-1,n?N*, 由4n-1=an=4log2bn+3得 bn=2n-1,n?N*. 2由1知 anbn=4n-1?2n-1,n?N*, 所以Tn=3+7×2+11×22+„+4n-1?2n-1, 2Tn=3×2+7×22+„+4n-5?2n-1+4n-1?2n, 所以2Tn-Tn=4n-12n-[3+42+22+„+2n-1] =4n-52n+5, 故Tn=4n-52n+5,n?N*. 12.B2、D2[2012?四川卷] 设函数fx=x-33+x-1,an是公差不为0的等差数 列,fa1+fa2+„+fa7=14,则a1+a2+„+a7= A.0 B.7 C.14 D.21 12.D [解析] 记公差为d, 则fa1+fa2+„+fa7 =a1-33+a2-33+„+a7-33+a1+a2+„+a7-7 =a4-3d-33+a4-2d-33+„+a4+2d-33+a4+3d-33+7a4-7 =7a4-33+7×3a4-3+7a4-7. 由已知,7a4-33+7×3a4-3+7a4-7=14, 即7a4-33+7×3a4-3+7a4-3=0, ?a4-33+4a4-3=0. 因为fx=x3+4x在R上为增函数,且f0=0, 故a4-3=0,即a4=3, ?a1+a2+„+a7=7a4=7×3=21. 21.B12、D2[2012?安徽卷] 设函数fx=+sinx的所有正的极小值点从小到 大排成的数列为xn. 1求数列xn的通项公式; 2设xn的前n项和为Sn,求sinSn. 21.解:1因为f′x=+cosx=0,cosx=-. 解得x=2kπ?πk?Z. 由xn是fx的第n个正极小值点知, xn=2nπ-πn?N*. 2由1可知,Sn=2π1+2+„+n-nπ =nn+1π-. 所以sinSn=sin. 因为nn+1表示两个连续正整数的乘积,nn+1一定为偶数. 所以sinSn=-sin. 当n=3m-2m?N*时, sinSn=-sin=-; 当n=3m-1m?N*时, sinSn=-sin=; 当n=3mm?N*时,sinSn=-sin2mπ=0. 综上所述,sinSn= 10.D2[2012?北京卷] 已知an为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=,S2=a3,则a2=________,Sn=________. 10.1 n [解析] 本题考查等差数列的基础量运算. 设an的公差为d,由S2=a3可得d=a1=,故a2=a1+d=1,Sn=na1+d=nn+1. 17.D2、D3、K2[2012?福建卷] 在等差数列an和等比数列bn中,a1=b1=1,b4=8,an的前10项和S10=55. 1求an和bn; 2现分别从an和bn的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率. 17.解:1设an的公差为d,bn的公比为q.依题意得 S10=10+d=55,b4=q3=8, 解得d=1,q=2, 所以an=n,bn=2n-1. 2分别从an,bn的前3项中各随机抽取一项,得到的基本事件有9个:1,1,1,2,1,4,2,1,2,2,2,4,3,1,3,2,3,4. 符合题意的基本事件有2个:1,1,2,2. 故所求的概率P=. 20.D2、D3、D5[2012?湖北卷] 已知等差数列an前三项的和为-3,前三项的积为8. 1求等差数列an的通项公式; 2若a2,a3,a1成等比数列,求数列|an|的前n项和. 20.解:1设等差数列an的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d, 由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式可得 an=2-3n-1=-3n+5,或an=-4+3n-1=3n-7, 故an=-3n+5,或an=3n-7. 2当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件. 故|an|=|3n-7|= 记数列|an|的前n项和为Sn. 当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5; 当n?3时, Sn=S2+|a3|+|a4|+„+|an|=5+3×3-7+3×4-7+„+3n-7 =5+=n2-n+10. 当n=2时,满足此式. 综上,Sn= 4.D2[2012?辽宁卷] 在等差数列an中,已知a4+a8=16,则a2+a10= A.12 B.16 C.20 D.24 4.B [解析] 本小题主要考查等差数列性质的应用.解题的突破口为正确 识记性质,应用性质. 由等差数列的性质m+n=i+j,m,n,i,j?N*,则am+an=ai+aj,故而 a4+a8=a2+a10=16,答案应该选B.[来源:学科网] 20.D2[2012?山东卷] 已知等差数列an的前5项和为105,且a10=2a5. 1求数列an的通项公式; 2对任意m?N*,将数列an中不大于72m的项的个数记为bm,求数列bm的 前m项和Sm. 20.解:1设数列an的公差为d,前n项和为Tn, 由T5=105,a10=2a5, 得到 解得a1=7,d=7. 因此an=a1+n-1d=7+7n-1=7nn?N*. 2对m?N*.若an=7n?72m,则n?72m-1. 因此bm=72m-1. 所以数列bm是首项为7,公比为49的等比数列, 故Sm====. 16.D2、D5[2012?陕西卷] 已知等比数列an的公比q=-. 1若a3=,求数列an的前n项和; 2证明:对任意k?N+,ak,ak+2,ak+1成等差数列. 16.解:1由a3=a1q2=及q=-,得a1=1, 所以数列an的前n项和Sn==. 2证明:对任意k?N+, 2ak+2-ak+ak+1=2a1qk+1-a1qk-1+a1qk=a1qk-12q2-q-1, 由q=-得2q2-q-1=0,故2ak+2-ak+ak+1=0. 所以,对任意k?N+,ak,ak+2,ak+1成等差数列. 16.D2、D3[2012?重庆卷] 已知an为等差数列,且a1+a3=8,a2+a4=12. 1an的通项公式;[来源:Zxxk] 2记an的前n项和为Sn,若a1,ak,Sk+2成等比数列,求正整数k的值. 16.解:1设数列an的公差为d,由题意知 解得a1=2,d=2. 所以an=a1+n-1d=2+2n-1=2n. 2由1可得Sn===nn+1. 因为a1,ak,Sk+2成等比数列,所以a=a1Sk+2. 从而2k2=2k+2k+3,即k2-5k-6=0, 解得k=6或k=-1舍去.因此k=6. D3 等比数列及等比数列前n项和 11.D3[2012?重庆卷] 首项为1,公比为2的等比数列的前4项和 S4=________. 11.15 [解析] 由等比数列的前n项和公式得S4==15. 14.D3[2012?辽宁卷] 已知等比数列an为递增数列.若a10,且2an+an+2=5an+1,则数列an的公比q=________. 14.2 [解析] 本小题主要考查等比数列的概念与性质.解题的突破口为灵活应用等比数列通项变形式,是解决问题的关键. 由已知条件an为等比数列,则2an+an+2=5an+1?2an+an?q2=5anq?2q2-5q+2=0?q=或2,又因为an是递增数列, 所以q=2. 14.D3[2012?课标全国卷] 等比数列an的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=________. 14.[答案] -2 [解析] 设数列an的公比为q.由S3+3S2=0,得4a1+4a2+a3=0,则4a1+4a1q+a1q2=0.显然a1?0,所以4+4q+q2=0,解得q=-2. 7.D3[2012?湖北卷] 定义在-?,0?0,+?上的函数fx,如果对于任意给定的等比数列an,fan仍是等比数列,则称fx为“保等比数列函数”.现有定义在-?,0?0,+?上的如下函数: ?fx=x2;?fx=2x;?fx=;?fx=ln|x|. 则其中是“保等比数列函数”的fx的序号为 A.?? B.?? C.?? D.?? 7.C [来源:学+科+网] [解析] 不妨设xn=an,且an是公比为q的等比数列.对于?,由fx=x2,得 = = =2 = q2,所以?符合条件;对于?,由fx=2x,得===2an-an-1,显然不符合条件;对于?,由fx=,得====,符合条件;对于?,由fx=ln|x|,得==,显然也不符合条件.故选C. 12.D3[2012?广东卷] 若等比数列an满足a2a4=,则a1aa5=________. 12. [解析] 根据等比数列的性质得:a2a4=a1a5=a,所以a1aa5=×=. 16.D2、D3[2012?重庆卷] 已知an为等差数列,且a1+a3=8,a2+a4=12. 1an的通项公式;[来源:学?科?网Z?X?X?K] 2记an的前n项和为Sn,若a1,ak,Sk+2成等比数列,求正整数k的值. 16.解:1设数列an的公差为d,由题意知 解得a1=2,d=2. 所以an=a1+n-1d=2+2n-1=2n. 2由1可得Sn===nn+1. 因为a1,ak,Sk+2成等比数列,所以a=a1Sk+2. 从而2k2=2k+2k+3,即k2-5k-6=0, 解得k=6或k=-1舍去.因此k=6. 7.D3、B11[2012?上海卷] 有一列正方体,棱长组成以1为首项、为公比的等比数列,体积分别记为V1,V2,„,Vn,„,则 V1+V2+„+Vn=________. 7. [解析] 考查等比数列和无穷递缩等比数列的极限,此题只要掌握极限 公式即可解决,是简单题型. 由已知可知V1,V2,V3,„构成新的等比数列,首项V1=1,公比q=, 由极限公式得 V1+V2+„+Vn===. 17.C8、D3[2012?山东卷] 在?ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 已知sinBtanA+tanC=tanAtanC. 1求证:a,b,c成等比数列; 2若a=1,c=2,求?ABC的面积S. 17.解:1证明:在?ABC中,由于sinBtanA+tanC=tanAtanC, 所以sinB=?, 因此sinBsinAcosC+cosAsinC=sinAsinC, 所以sinBsinA+C=sinAsinC, 又A+B+C=π, 所以sinA+C=sinB, 因此sin2B=sinAsinC, 由正弦定理得b2=ac,即a,b,c成等比数列. 2因为a=1,c=2,所以b=,由余弦定理得cosB===, 因为0Bπ,所以sinB==, 故?ABC的面积S=acsinB=×1×2×=. 20.D2、D3、D5[2012?湖北卷] 已知等差数列an前三项的和为-3,前三项 的积为8. 1求等差数列an的通项公式; 2若a2,a3,a1成等比数列,求数列|an|的前n项和. 20.解:1设等差数列an的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d, 由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式可得 an=2-3n-1=-3n+5,或an=-4+3n-1=3n-7, 故an=-3n+5,或an=3n-7. 2当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件. 故|an|=|3n-7|= 记数列|an|的前n项和为Sn. 当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5; 当n?3时, Sn=S2+|a3|+|a4|+„+|an|=5+3×3-7+3×4-7+„+3n-7 =5+=n2-n+10. 当n=2时,满足此式. 综上,Sn= 5.D3[2012?安徽卷] 公比为2的等比数列an的各项都是正数,且 a3a11=16,则a5= A.1 B.2 C.4 D.8 5.A [解析] 设等比数列的公比为q,则由等比中项的性质,得a3 ? a11 = a = 16,又因为数列各项为正数,所以a7=4.所以a5q2=4,即4a5=4,解得a5=1. 13.D3[2012?江西卷] 等比数列an的前n项和为Sn,公比不为1,若a1=1,且对任意的n?N,都有an+2+an+1-2an=0,则S5=________. 13.11 [解析] 设等比数列的公比为q,则a1qn+1+a1qn-2a1qn-1=0,?a1=1,q?0,?q2+q-2=0,解得q=-2或q=1舍去,因此S5==11. 6.D3、E1[2012?北京卷] 已知an为等比数列,下面结论中正确的是 A.a1+a3?2a2 B.a+a?2a C.若a1=a3,则a1=a2 D.若a3a1,则a4a2 6.B [解析] 本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式. 对于A选项,当数列an首项为负值,公比为负值时明显不成立,比如an=-1n,a1+a3=-22a2=2,故A错误;对于B选项,a + a?2|a1 a3 | = 2a,明显成立,故B正确;对于C选项,由a1=a3=a1q2只能得出等比数列公比q2=1,q=?1,当q=-1时,a1?a2,故C错误;对于选项D,由a3a1可得a1q2-10,而a4-a2=a2q2-1=a12-1的符号还受到q符号的影响,不一定为正,也就得不出a4a2,故D错误. 17.D2、D3、K2[2012?福建卷] 在等差数列an和等比数列bn中,a1=b1=1,b4=8,an的前10项和S10=55. 1求an和bn; 2现分别从an和bn的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率. 17.解:1设an的公差为d,bn的公比为q.依题意得 S10=10+d=55,b4=q3=8, 解得d=1,q=2, 所以an=n,bn=2n-1. 2分别从an,bn的前3项中各随机抽取一项,得到的基本事件有9个:1,1,1,2,1,4,2,1,2,2,2,4,3,1,3,2,3,4. 符合题意的基本事件有2个:1,1,2,2. 故所求的概率P=. 20.D3、D5[2012?湖南卷] 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. 1用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式; 2若公司希望经过mm?3年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值用m表示. 20.解:1由题意得a1=20001+50%-d=3000-d, a2=a11+50%-d=a1-d=4500-d. an+1=an1+50%-d=an-d. 2由1得an=an-1-d =-d =2an-2-d-d =„ =n-1a1-d. 整理得 an=n-13000-d-2d =n-13000-3d+2d. 由题意,am=4000,即m-13000-3d+2d=4000. 解得d==. 故该企业每年上缴资金d的值为时,经过mm?3年企业的剩余资金为4000 万元. D4 数列求和 18.D4[2012?上海卷] 若Sn=sin+sin+„+sinn?N*,则在S1,S2,„,S100 中,正数的个数是 A.16 B.72 C.86 D.100 18.C [解析] 考查三角函数的周期和数列求和,以及转化和整体思想,此 题的关键是把一个周期看成一个整体来求和. 函数fn=sin的周期为14,所以S14=S28=„=S98=0,又 S14=S13,„,S98=S97, 所以前100项求和中,为正数的有100-14=86个. 11.D4[2012?福建卷] 数列an的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则 S2 012等于 A.1 006 B.2 012 C.503 D.0 11.A [解析] 本题考查数列求和以及三角函数求值、数列的周期性等,突 破点是找到该数列的周期性的规律,再求和. a1=1cos=0, a2=2cosπ=-2, a3=3cos=0, a4=4cos2π=4; a5=5cos=0, a6=6cos3π=-6, a7=7cos=0, a8=8cos=8. 该数列每四项的和为2,2 012 ?4=503,所以S2 012=2×503=1 006. 6.D4[2012?全国卷] 已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn= A.2n-1 B.n-1 C.n-1 D. 6.B [解析] 本小题主要考查数列前n项和Sn与通项an的关系,解题的突 破口是用an表示Sn. 由Sn=2an+1=2Sn+1-Sn得Sn+1=Sn,所以Sn是以S1=a1=1为首项,为公比 的等比数列,所以Sn=n-1,故选B. 12.D4、D5[2012?课标全国卷] 数列an满足an+1+-1nan=2n-1,则an的前 60项和为 A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830 12.D [解析] 令bn=a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n, 则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4. 因为an+1+-1nan=2n-1, 所以an+1=--1nan+2n-1. 所以a4n-3=-a4n-4+24n-4-1, a4n-2=a4n-3+24n-3-1, a4n-1=-a4n-2+24n-2-1, a4n=a4n-1+24n-1-1, a4n+1=-a4n+2×4n-1, a4n+2=a4n+1+24n+1-1, a4n+3=-a4n+2+24n+2-1, a4n+4=a4n+3+24n+3-1, 所以a4n+4=a4n+3+24n+3-1=-a4n+2+24n+2-1+24n+3-1 =-a4n+1-24n+1+1+24n+2-1+24n+3-1 =a4n-2×4n+1-24n+1+1+24n+2-1+24n+3-1 =a4n+8, 即a4n+4=a4n+8. 同理,a4n+3=a4n-1,a4n+2=a4n-2+8,a4n+1=a4n-3. 所以a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n+a4n-1+a4n-2+a4n-3+16. 即bn+1=bn+16.故数列bn是等差数列. 又a2-a1=2×1-1,? a3+a2=2×2-1,? a4-a3=2×3-1,? ?-?得a3+a1=2;?+?得a2+a4=8, 所以a1+a2+a3+a4=10,即b1=10. 所以数列an的前60项和即为数列bn的前15项和,即S15=10×15+× 16=1830. 故选D. 20.B3、D4、M4[2012?北京卷] 设A是如下形式的2行3列的数表, a b c d e f 满足性质P:a,b,c,d,e,f?[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0. 记riA为A的第i行各数之和i=1,2,cjA为A的第j列各数之和j=1,2,3; 记kA为|r1A|,|r2A|,|c1A|,|c2A|,|c3A|中的最小值. 1对如下数表A,求kA的值; 1 1 -0.8 0.1 -0.3 -1 2设数表A形如 1 1 -1-2d d d -1 其中-1?d?0,求kA的最大值; 3对所有满足性质P的2行3列的数表A,求kA的最大值. 20.解:1因为r1A=1.2,r2A=-1.2,c1A=1.1,c2A=0.7,c3A=-1.8, 所以kA=0.7. 2r1A=1-2d,r2A=-1+2d, c1A=c2A=1+d,c3A=-2-2d. 因为-1?d?0, 所以|r1A|=|r2A|?1+d?0, |c3A|?1+d?0. 所以kA=1+d?1.当d=0时,kA取得最大值1. 3任给满足性质P的数表A如下所示.[来源:Zxxk] a b c d e f 任意改变A的行次序或列次序,或把A中的每个数换成它的相反数,所得数 表A*仍满足性质P,并且kA=kA*. 因此,不妨设r1A?0,c1A?0,c2A?0. 由kA的定义知, kA?r1A,kA?c1A,kA?c2A. 从而3kA?r1A+c1A+c2A =a+b+c+a+d+b+e =a+b+c+d+e+f+a+b-f =a+b-f?3. 所以kA?1. 由2知,存在满足性质P的数表A使kA=1. 故kA的最大值为1. 19.D2、D4[2012?浙江卷] 已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n ?N*,数列bn满足an=4log2bn+3,n?N*. 1求an,bn; 2求数列an?bn的前n项和Tn. 19.解:1由Sn=2n2+n得 当n=1时,a1=S1=3; 当n?2时,an=Sn-Sn-1=4n-1, 当n=1时,也符合 所以an=4n-1,n?N*, 由4n-1=an=4log2bn+3得 bn=2n-1,n?N*. 2由1知[来源:学科网] anbn=4n-1?2n-1,n?N*, 所以Tn=3+7×2+11×22+„+4n-1?2n-1, 2Tn=3×2+7×22+„+4n-5?2n-1+4n-1?2n, 所以2Tn-Tn=4n-12n-[3+42+22+„+2n-1] =4n-52n+5, 故Tn=4n-52n+5,n?N*. D5 单元综合 20.D5[2012?四川卷] 已知数列an的前n项和为Sn,常数λ0,且λ a1an=S1+Sn对一切正整数n都成立. 1求数列an的通项公式; 2设a10,λ=100.当n为何值时,数列的前n项和最大? 20.解:1取n=1,得λa=2S1=2a1,a1λa1-2=0. 若a1=0,则Sn=0. 当n?2时,an=Sn-Sn-1=0-0=0,所以an=0n?1. 若a1?0,则a1=.当n?2时,2an=+Sn,2an-1=+Sn-1, 两式相减得2an-2an-1=an, 所以an=2an-1n?2,从而数列an是等比数列, 所以an=a1?2n-1=?2n-1=. 综上,当a1=0时,an=0;当a1?0时,an=. 2当a10且λ=100时,令bn=lg,由1有,bn=lg=2-nlg2. 所以数列bn是单调递减的等差数列公差为-lg2. b1b2„b6=lg=lglg1=0, 当n?7时,bn?b7=lg=lglg1=0, 故数列的前6项的和最大. 20.D5[2012?江苏卷] 已知各项均为正数的两个数列an和bn满 足:an+1=,n?N*. 1设bn+1=1+,n?N*,求证:数列是等差数列; 2设bn+1=?,n?N*,且an是等比数列,求a1和b1的值. 20.解:1由题设知an+1===, 所以=,从而2-2=1n?N*, 所以数列是以1为公差的等差数列. 2因为an0,bn0,所以?a+ban+bn2, 从而1an+1=?. * 设等比数列an的公比为q,由an0知q0.下证q=1. 若q1,则a1=a2?,故当nlogq时,an+1=a1qn,与*矛盾; 若0q1,则a1=a21,故当nlogq时,an+1=a1qn1,与*矛盾. 综上,q=1,故an=a1n?N*,所以1a1?. 又bn+1=?=?bnn?N*,所以bn是公比为的等比数列. 若a1?,则1,于是b1b2b3. 又由a1=得bn=, 所以b1,b2,b3中至少有两项相同,矛盾.所以a1=, 从而bn==.所以a1=b1=. 17.D5[2012?江西卷] 已知数列an的前n项和Sn=kcn-k其中c,k为常数, 且a2=4,a6=8a3. 1求an; 2求数列nan的前n项和Tn. 17.解:1由Sn=kcn-k,得an=Sn-Sn-1=kcn-kcn-1n?2, 由a2=4,a6=8a3,得kcc-1=4,kc5c-1=8kc2c-1, 解得所以a1=S1=2,an=kcn-kcn-1=2nn?2,于是an=2n. 2Tn=iai=i?2i,即 Tn=2+2?22+3?23+4?24+„+n?2n Tn=2Tn-Tn=-2-22-23-24-„-2n+n?2n+1=-2n+1+2+n?2n+1 =n-12n+1+2. 19.D5[2012?广东卷] 设数列an的前n项和为Sn,数列Sn的前n项和为 Tn,满足Tn=2Sn-n2,n?N*. 1求a1的值; 2求数列an的通项公式. 19.解:1由题意有 S1=T1=2S1-1. 故a1=2a1-1. 于是a1=1. 2由Tn=2Sn-n2得 Tn-1=2Sn-1-n-12,n?2. 从而Sn=Tn-Tn-1=2an-2n-1,n?2. 由于a1=S1=1, 故对一切正整数n都有Sn=2an-2n-1,? 因此Sn-1=2an-1-2n-3,n?2.? ?-?得an=2an-an-1-2,n?2. 于是an=2an-1+2, 故an+2=2an-1+2,n?2. ?a1+2=3, ?an+2是以3为首项,2为公比的等比数列. ?an=3?2n-1-2. 18.D5[2012?全国卷] 已知数列an中,a1=1,前n项和Sn=an. 1求a2,a3; 2求an的通项公式. 18.解:1由S2=a2得3a1+a2=4a2, 解得a2=3a1=3; 由S3=a3得3a1+a2+a3=5a3, 解得a3=a1+a2=6. 2由题设知a1=1. 当n1时有 an=Sn-Sn-1=an-an-1, 整理得an=an-1. 于是a1=1, a2=a1, a3=a2, „„ an-1=an-2, an=an-1. 将以上n个等式两端分别相乘,整理得an=. 综上,an的通项公式an=. 22.B14、E9、J3、D5[2012?四川卷] 已知a为正实数,n为自然数,抛物线 y=-x2+与x轴正半轴相交于点A.设fn为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截 距. 1用a和n表示fn; 2求对所有n都有?成立的a的最小值; 3当0a1时,比较++„+与6?的大小,并说明理由. 22.解:1由已知得,交点A的坐标为,对y=-x2+an求导得y′=-2x,则?物线 在点A处的切线方程为y=-,即y=-x+an.则fn=an. 2由1知fn=an,则?成立的充要条件是an?2n+1. 即知,an?2n+1对所有n成立.特别地,取n=1得到a?3. 当a=3,n?1时,an=3n=1+2n=1+C?2+„?2n+1. 当n=0时,an=2n+1.故a=3时,?对所有自然数n均成立. 所以满足条件的a的最小值为3. 3由1知fk=ak. 下面证明:++„+6?. 首先证明:当0x1时,6x. 设函数gx=6xx2-x+1,0x1. 则g′x=18x. 当0x时,g′x0;当x1时,g′x0. 故gx在区间0,1上的最小值gxmin=g=0. 所以,当0x1时,gx0,即得6x. 由0a1知0ak1k?N*,因此6ak,从而 ++„+ =++„+6a+a2+„+an[来源:学+科+网Z+X+X+K] =6? =6?. 23.D5、M2[2012?上海卷] 对于项数为m的有穷数列an,记 bk=a1,a2,„,akk=1,2,„,m,即bk为a1,a2,„,ak中的最大值,并称数列bn是an的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5. 1若各项均为正整数的数列an的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的an; 2设bn是an的控制数列,满足ak+bm-k+1=CC为常数,k=1,2,„,m,求证:bk=akk=1,2,„,m; 3设m=100,常数a?.若an=an2--1n,bn是an的控制数列,求b1-a1+b2-a2+„+b100-a100. 23.解:1数列an为:2,3,4,5,1或2,3,4,5,2或2,3,4,5,3或2,3,4,5,4或2,3,4,5,5.[来源:Zxxk] 2因为bk=a1,a2,„,ak,bk+1=a1,a2,„,ak,ak+1, 所以bk+1?bk. 因为ak+bm-k+1=C,ak+1+bm-k=C, 所以ak+1-ak=bm-k+1-bm-k?0,即ak+1?ak. 因此,bk=ak. 3对k=1,2,„,25, a4k-3=a4k-32+4k-3; a4k-2=a4k-22+4k-2; a4k-1=a4k-12-4k-1; a4k=a4k2-4k. 比较大小,可得a4k-2>a4k-3. 因为a4k-1. a4k-a4k-2=22a-14k-1>0,即a4k>a4k-2. 又a4k>a4k-1. 从而b4k-3=a4k-3,b4k-2=a4k-2,b4k-1=a4k-2,b4k=a4k. 因此b1-a1+b2-a2+„+b100-a100 =a2-a3+a6-a7+„+a98-a99 =a4k-2-a4k-1 =1-a8k-3=25251-a. 18.D5[2012?天津卷] 已知an是等差数列,其前n项和为Sn,bn是等比数 列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10. 1求数列an与bn的通项公式; 2记Tn=a1b1+a2b2+„+anbn,n?N*,证明Tn-8=an-1bn+1n?N*,n>2. 18.解:1设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由a1=b1=2, 得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d,由条件,得方程组解得 所以an=3n-1,bn=2n,n?N*. 2证明:由1得 Tn=2×2+5×22+8×23+„+3n-1×2n,? 2Tn=2×22+5×23+„+3n-4×2n+3n-1×2n+1.? 由?-?,得 -Tn=2×2+3×22+3×23+„+3×2n-3n-1×2n+1 =-3n-1×2n+1-2 =-3n-4×2n+1-8, 即Tn-8=3n-4×2n+1, 而当n>2时,an-1bn+1=3n-4×2n+1, 所以,Tn-8=an-1bn+1,n?N*,n>2. 16.D2、D5[2012?陕西卷] 已知等比数列an的公比q=-. 1若a3=,求数列an的前n项和; 2证明:对任意k?N+,ak,ak+2,ak+1成等差数列. 16.解:1由a3=a1q2=及q=-,得a1=1, 所以数列an的前n项和Sn==. 2证明:对任意k?N+, 2ak+2-ak+ak+1=2a1qk+1-a1qk-1+a1qk=a1qk-12q2-q-1, 由q=-得2q2-q-1=0,故2ak+2-ak+ak+1=0. 所以,对任意k?N+,ak,ak+2,ak+1成等差数列. 12.D4、D5[2012?课标全国卷] 数列an满足an+1+-1nan=2n-1,则an的前 60项和为 A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830 12.D [解析] 令bn=a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n, 则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4. 因为an+1+-1nan=2n-1, 所以an+1=--1nan+2n-1. 所以a4n-3=-a4n-4+24n-4-1, a4n-2=a4n-3+24n-3-1, a4n-1=-a4n-2+24n-2-1, a4n=a4n-1+24n-1-1, a4n+1=-a4n+2×4n-1, a4n+2=a4n+1+24n+1-1, a4n+3=-a4n+2+24n+2-1, a4n+4=a4n+3+24n+3-1, 所以a4n+4=a4n+3+24n+3-1=-a4n+2+24n+2-1+24n+3-1 =-a4n+1-24n+1+1+24n+2-1+24n+3-1 =a4n-2×4n+1-24n+1+1+24n+2-1+24n+3-1 =a4n+8, 即a4n+4=a4n+8. 同理,a4n+3=a4n-1,a4n+2=a4n-2+8,a4n+1=a4n-3. 所以a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n+a4n-1+a4n-2+a4n-3+16. 即bn+1=bn+16.故数列bn是等差数列. 又a2-a1=2×1-1,? a3+a2=2×2-1,? a4-a3=2×3-1,? ?-?得a3+a1=2;?+?得a2+a4=8, 所以a1+a2+a3+a4=10,即b1=10. 所以数列an的前60项和即为数列bn的前15项和,即S15=10×15+× 16=1830. 故选D. 20.D2、D3、D5[2012?湖北卷] 已知等差数列an前三项的和为-3,前三项 的积为8. 1求等差数列an的通项公式; 2若a2,a3,a1成等比数列,求数列|an|的前n项和. 20.解:1设等差数列an的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d, 由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式可得 an=2-3n-1=-3n+5,或an=-4+3n-1=3n-7, 故an=-3n+5,或an=3n-7. 2当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件. 故|an|=|3n-7|= 记数列|an|的前n项和为Sn. 当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;[来源:Zxxk] 当n?3时, Sn=S2+|a3|+|a4|+„+|an|=5+3×3-7+3×4-7+„+3n-7 =5+=n2-n+10. 当n=2时,满足此式. 综上,Sn= 20.D3、D5[2012?湖南卷] 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产. 该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%. 预计以后每年资金增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. 1用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式; 2若公司希望经过mm?3年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值用m表示. 20.解:1由题意得a1=20001+50%-d=3000-d, a2=a11+50%-d=a1-d=4500-d. an+1=an1+50%-d=an-d. 2由1得an=an-1-d =-d =2an-2-d-d[来源:学|科|网Z|X|X|K] =„ =n-1a1-d. 整理得 an=n-13000-d-2d =n-13000-3d+2d. 由题意,am=4000,即m-13000-3d+2d=4000. 解得d==. 故该企业每年上缴资金d的值为时,经过mm?3年企业的剩余资金为4000万元. 2012模拟题 1.[2012?保定期末] 已知数列ann?N*满足a1=3,a2=7,且an+2总等于anan+1的个位数字,则a2012的值为 A.1 B.3 C.7 D.9 1.C [解析] 由已知求得a1=3,a2=7,a3=1,a4=7,a5=7,a6=9,a7=3,a8=7,可知数列ann?N*是循环数列,周期为6,因为2012=335×6+2,所以a2012=a2=7. 2.[2012?绍兴一中月考] 数列an满足a1=2,a2=1,并且=n?2,则数列an的第100项为 AB CD. 2D [解析] 由已知可得:+=,n?2, ?是等差数列,a1=2,a2=1,?d=-=. ?=+n-1=,?=50,?a100=. 3.[2012?湖南炎陵一中月考] 对正整数n,设曲线y=xn1-x在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列的通项公式bn=________. 3.2n [解析] 因为y=xn1-x,所以y′=nxn-1-n+1xn,k=n2n-1-n+12n=-n+22n-1,由x=2得,y=-2n,所以切线方程为y+2n=-n+22n-1x-2,令x=0,则y=an=n+12n,所以bn==2n. 4.[2012?金华十校期末] 项数为n的数列a1,a2,a3,„,an的前k项和为Skk=1,2,3,„,n,定义为该项数列的“凯森和”,如果项系数为99项的数列a1,a2,a3,„,a99的“凯森和”为1 000,那么项数为100的数列 100,a1,a2,a3,„,a99的“凯森和”为 A.991 B.1 001 C.1 090 D.1 100 4.C [解析] 项系数为99项的数列a1,a2,a3,„,a99的“凯森和”为1 000,所以=1 000,又100,a1,a2,a3,„,a99的“凯森和”为 =100+=100+990=1 090,故选C. 5.[2012?江西重点中学联考] 数列an的前n项和为Sn,若数列an的各项按如下规律排列:,,,,,,,,,,„,,,„,,„,有如下运算和结论: A.a24=; B.数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10„是等比数列; C.数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10„的前n项和为Tn=; D.若存在正整数k,使Sk10,Sk+1?10,则ak=. 其中正确的结论有________.将你认为正确的结论序号都填上 5.ACD [解析] 由数列的规律可知a24=,故A对; 数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,„即,1,2,„不是等比数列,故B错; 因数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,„构成一个等差数列,首项为,公差为,故通项为,所以Tn==,故C对; 由S21=10,S20=10可得ak=a20=,故D对,综上,答案为ACD. 6.[2012?青岛期末] 对于正项数列,定义Hn=为的“光阴”值,现知某数列的“光阴”值为Hn=,则数列的通项公式为________. 6.an= [解析] =,?a1+2a2+3a3+„+nan=n2+n,?nan=n2+n-n-12-n-1=,?an=. 7.[2012?厦门质检] 一企业的某产品每件利润100元,在未做电视广告时,日销售量为b件.当对产品做电视广告后,记每日播n次时的日销售量为ann?N*件,调查发现:每日播一次则日销售量a1件的基础上增加件,每日播二次则日销售量a2件在每日播一次时日销售量a1件的基础上增加件„,每日播n次,该产品的日销售an件在每日播n-1次时的日销售量an-1件的基础上增加件. 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 约定:每播一次企业需支付广告费2b元. 1试求出an与n的关系式; 2该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大,求每日电视广告需播多少次. 7.解:1由题意,电视广告日播k次时,该产品的销售量ak满足 ak=ak-1+k?N*,a0=b, ?an=b+=b+b=bn?N*. 所以,该产