[导数的概念]梯度和方向导数的概念
[导数的概念]梯度和方向导数的概念 篇一 : 梯度和方向导数的概念
困扰多年,看了不久以后就又会忘记。方向导数是个数值。
二维空间情形:
我们把f-f的值Value1与PP1的距离value2的比值的极值叫做沿PP1的方向导数。
三维空间计算过程相似;
二.梯度
梯度是一个向量。
沿梯度方向的方向导数达到最大值;
sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/lesson/8.7fangxiangdaoshuyutidu.htm
以二维空间为例,对于Z=f.在某点P处的梯度可以理解为。具体到离散状态,用差分的形式来
表
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示
就是
沿X方向 -f)
沿Y方向 ,当该方向与梯度的方向一致时梯度方向也就是方向导数最大的方向,方向导数的值就等于梯度的模。
探究讨论:
h ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10
65 计算运动员在0 ?t ? 这段时间的平均速度,思考 49 下面的问题:运动员在这段时间里静止吗, 你认为用平均速度描述运动员的 运动状态有什么问题吗,
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态, 需要用瞬时速度描述具体运动状态.
新课导入
在高台跳水运动中,平均速度不能反映 他在这段时间里运动状态,需要用瞬时 速度描述运动状态.我们把物体在某一 时刻的速度称为瞬时速度.
如何知 道运动员在 每一时刻的 速度呢,
汽车在每一刻的 速度怎么知 道呢,
3.1.2 导数的概念
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上 的变化趋势.
?如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h ? ?4.9t ? 6.5t ? 10
2
求:从2s到s这段时间内平均速度
?h h ? h v ? ? ? ?13.1 ? 4.9?t ?t ?t
?t0时,在[2,2+ ?t]这段时间内
v=
h ? 2 +Δ t ? - h ? 2 ?
? 2 +Δ t ? - 2
4.9Δt 2 +13.1Δt = -4.9Δt - 13.1 = -Δt
当?t=0.01时, v =-13.149; 当?t=0.001时, v=-13.1049; 当?t=0.0001时,v =-13.10049; 当?t=0.00001时,v =-13.100049;
当?t=0.000001时,v =-13.1000049; …...
?h v ? ? ?13.1 ? 4.9?t ?t 当Δ t趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一
边, 还是从大于2
的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |Δ t |无限变小时, 平均速度 v 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的
瞬时速度是 –13.1.
h ? h lim ? ?13.1 ?t ?0 ?t
表示“当t =2, Δ t趋近于0时, 平均速度 v 趋近于确定值– 13.1”.
探
究:
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 2.函数f 在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
h ? h lim ?t ?0 ?t 2 ? 4.9 ? ?t ? lim ?t ?0 ?t ? lim
?t ?0
? ?9.8t0 ? 6.5
定义:
f ? f ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? x ?x
或 y ? | x ? x0 , 即
函数 y = f 在 x = x0 处的瞬时变化率是
称为函数 y = f 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?
f ? f f ? ? lim . ?x
?0 ?x
1. f ? 与x0 的值有关,不同的x0 其导数值一般也不相同 . 2.瞬时变化率与导数是同 一概念的两个名称.
定义:
函数 y = f 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ? f ?f lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? x ?x 称为函数 y = f 在 x = x0 处的导数, 记作 f ? 或 y? | x ? x0 , 即 f ? ? lim f ? f . 0 ?x ?0 ?x
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需 要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度为 f = x2 – 7x+15 . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是
f ?
2 Δy f ? f 4?x ? ? 7?x ? ? ?x ? 3 = ?x Δx ?x ?f ? lim ? ?3. 所以, f ? ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 同理可得 f ? ? 5.
和 f ?.
根据导数的定义,
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说 明在第2h附近, 原油温度大约以3 ? C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 ? C / h的速率上升.
练习 解:在第3h和第5h时,原油温度的瞬时变 化率就是f′和f′. 根据导数的定义: Δy f - f = =?x - 1 Δx ?x Δy 所以,f= lim ′ = -1 ? x?0Δ
x 同理:f= 3 ′ 说明在第3h附近,原油的温度大约 以1?/h的速率下降,原油温度以大约 以3?/h的速率上升.
例题2
求函数y=x2在x=1处的导数.
解: Δy = 2 - 12 = 2Δx +2 ,
Δy 2Δx + 2 = = 2 + Δx, Δx Δx Δy ? lim = lim = 2,?y ?|x=1 = 2.
Δx?0 Δx Δx?0
例3 已知函数 y = x 在1x = x0 处的附
近有定义,且 y’|x=x0 =
解 :?Δy = x 0 + Δx - x 0 ,
2
,求 x 的值.
0
x 0 + Δx - x 0 Δy ? = = Δx Δx Δx 1 = . x 0 + Δx + x 0
Δy 1 1 ? lim = lim = , Δx?0 Δx Δx?0 x 0 + Δx + x 0 2 x 0
1 1 1 由y’|x=x0 = , 得 = ,?x 0 = 1. 2 2 x0 2
归纳
求函数y=f在点x0处的导数 的基本
方法
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是:
求函数的增量 Δy = f - f.
Δy f - f = . 求平均变化率 Δx Δx
求得导数
Δy f ? = lim . Δx ?0 Δx
课堂小结
1.瞬时速度的定义
物体在某一时刻的速度称为瞬 时速度.
2.导数的定义 一般地,函数 y ? f ? x ? 在 x ? x0 处的瞬时变化率是
Δy lim = lim Δx ?0 Δx ?0 Δx Δx 我们称它为函数 y ? f ? x ? 在x ? x0 f ? x0 + Δx ? - f ? x0 ?
处的导数.
3.求导数的步骤 求 ?y;
?y 求 ?x ;
?y 取极限得 f?=lim . ?x?0 ?x
作 业
1、求函数y=x+1/x在x=2处的导数.
1 1 -Δx 解:Δy = + - = Δx + 2
+ Δx 2 2
-Δx Δx + Δy 1 2 = = 1, Δx Δx 2
Δy 1 1 3 3 ? lim = lim[1] = 1- = ,?y ?|x=2 = . Δx?0 Δx Δx?0 2 4 4
4
篇三 : 1.1.2导数的概念